艺考统计教师版.docx
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艺考统计教师版
统计
突破点
(一) 随机抽样
1.简单随机抽样
(1)定义:
设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法:
抽签法和随机数法.
2.系统抽样
在抽样时,将总体分成均衡的几个部分,然后按照事先确定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样).
3.分层抽样
在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
4.三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
均为不放回抽样,且抽样过程中每个个体被抽取的机会相等
从总体中逐个抽取
是后两种方法的基础
总体中的个数较少
系统抽样
将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
元素个数很多且均衡的总体抽样
分层抽样
将总体分成几层,分层按比例进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
考点一
简单随机抽样
1.抽签法的步骤
第一步,将总体中的N个个体编号;
第二步,将这N个号码写在形状、大小相同的号签上;
第三步,将号签放在同一不透明的箱中,并搅拌均匀;
第四步,从箱中每次抽取1个号签,连续抽取k次;
第五步,将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出.
2.随机数法的步骤
第一步,将个体编号;
第二步,在随机数表中任选一个数开始;
第三步,从选定的数开始,按照一定抽样规则在随机数表中选取数字,取足满足要求的数字就得到样本的号码.
[例1]
(1)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B.07
C.02D.01
(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________.
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
[解析]
(1)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
(2)①不是简单随机抽样.因为不满足总体的有限性.
②不是简单随机抽样.因为它是放回抽样.
③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.
[答案]
(1)D
(2)①②③④
考点二
系统抽样
系统抽样的步骤
[例2]
(1)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50B.40
C.25D.20
(2)将高一(九)班参加社会实践编号为1,2,3,…,48的48名学生,采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,29号,41号学生在样本中,则样本中还有一名学生的编号是________.
[解析]
(1)由系统抽样的定义知,分段间隔为
=25.故选C.
(2)根据系统抽样的概念,所抽取的4个样本的编号应成等差数列,因为在这组数中的间距为41-29=12,所以所求的编号为5+12=17.
[答案]
(1)C
(2)17
(3)某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号、29号、42号学生在样本中,那么样本中还有一个学生的学号是( )
A.10B.11
C.12D.16
解析:
选D 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13,所以样本中还有一个学生的学号是16,故选D.
(4)某校高三年级共有学生900人,编号为1,2,3,…,900,现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本,则抽取的45人中,编号落在[481,720]的人数为( )
A.10B.11
C.12D.13
解析:
选C 系统抽样,是抽多少人就把总体分成多少组,于是抽样间隔就是用总体数量除以样本容量:
=20.于是落在[481,720]内的人数为
=12,故选C.
[易错提醒]
用系统抽样法抽取样本,当
不为整数时,取k=
,即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N-nk)个个体,且剔除多余的个体不影响抽样的公平性.
考点三
分层抽样
进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:
(1)
=
;
(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
[例3]
(1)(2018·南昌模拟)某校为了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中,抽取81人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为30,那么n=( )
A.860B.720
C.1020D.1040
(2)(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
(3)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:
人).
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为________.
[解析]
(1)根据分层抽样方法,得
×81=30,解得n=1040.故选D.
(2)本题考查分层抽样方法及用样本估计总体.
从丙种型号的产品中抽取的件数为60×
=18.
(3)由题意知
=
,解得a=30.
[答案]
(1)D
(2)18 (3)30
(4)某校高一年级有学生400人,高二年级有学生360人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人,其中从高一年级学生中抽取20人,则从高三年级学生中抽取的人数为________.
解析:
设从高二年级学生中抽取x人,由题意得
=
,解得x=18,则从高三年级学生中抽取的人数为55-20-18=17人.
答案:
17
突破点
(二) 用样本估计总体
1.频率分布直方图和茎叶图
(1)作频率分布直方图的步骤
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);②决定组距与组数;③将数据分组;④列频率分布表;⑤画频率分布直方图.
(2)茎叶图的优点
茎叶图的优点是可以保留原始数据,而且可以随时记录,这对数据的记录和表示都能带来方便.
2.样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
定义与求法
优点与缺点
众数
一组数据中重复出现次数最多的数
众数体现了样本数据的最大集中点,不受极端值的影响.但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征
中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)
中位数等分样本数据所占频率,它不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
平均数
如果有n个数据x1,x2,…,xn,那么这n个数的平均数
=
平均数与每一个样本数据有关,可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低
(2)标准差、方差
①标准差:
样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,s=
.
②方差:
标准差的平方s2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2],其中xi(i=1,2,3,…,n)是样本数据,n是样本容量,
是样本平均数.
(3)平均数、方差公式的推广
若数据x1,x2,…,xn的平均数为
,方差为s2,则数据mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为m
+a,方差为m2s2.
考点一
频率分布直方图
[方法技巧]
1.绘制频率分布直方图时需注意的两点
(1)制作好频率分布表后,可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确;
(2)频率分布直方图的纵坐标是
,而不是频率.
2.与频率分布直方图计算有关的两个关系式
(1)
×组距=频率;
(2)
=频率,此关系式的变形为
=样本容量,样本容量×频率=频数.
[例1] 某班50名同学参加数学测验,成绩的分组及各组的频数如下:
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8;
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图.
解析:
(1)样本的频率分布表如下:
成绩分组
频数
频率
频率/组距
[40,50)
2
0.04
0.004
[50,60)
3
0.06
0.006
[60,70)
10
0.2
0.02
[70,80)
15
0.3
0.03
[80,90)
12
0.24
0.024
[90,100]
8
0.16
0.016
合计
50
1.00
(2)频率分布直方图如下:
1、为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第1小组的频数为6,则报考飞行员的学生人数是( )
A.36B.40
C.48D.50
解析:
选C 由题知,题图中从左到右的前3个小组的频率之和为1-(0.037+0.013)×5=0.75.又图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,所以第1小组的频率为0.75×
=0.125,所以报考飞行员的学生人数是
=48.
2、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为________;
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为________.
解析:
(1)由频率分布直方图总面积为1,得(0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060)×50=1,解得x=0.0044.
(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.0036+0.0044+0.0060)×50=0.7,故所求户数为100×0.7=70.
答案:
(1)0.0044
(2)70
3、(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:
[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
[解]
(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计值为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
故样本中分数小于50的频率为0.1,故分数在区间[40,50)内的人数为100×0.1-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×
=20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×
=30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,
男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
考点二
茎叶图
1.茎叶图的绘制需注意:
(1)“叶”的位置只有一个数字,而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一;
(2)重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,特别是“叶”的位置上的数据.
2.茎叶图通常用来记录两位数的数据,可以用来分析单组数据,也可以用来比较两组数据.通过茎叶图可以确定数据的中位数,数据大致集中在哪个茎,数据是否关于该茎对称,数据分布是否均匀等.
[例2] (2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:
件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
A.3,5B.5,5
C.3,7D.5,7
解析:
选A 由两组数据的中位数相等可得65=60+y,解得y=5,又它们的平均值相等,
所以
×[56+62+65+74+(70+x)]=
×(59+61+67+65+78),解得x=3.
1、如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.84,4.84B.84,1.6
C.85,1.6D.85,4
解析:
选C 依题意,所剩数据的平均数是80+
×(4×3+6+7)=85,所剩数据的方差是
×[3×(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.
考点三
样本的数字特征
[方法技巧]
频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数;
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
考法
(一) 与频率分布直方图交汇命题
[例3] 某城市100户居民的月平均用电量(单位:
度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数.
[解]
(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,得x=0.0075,
∴直方图中x的值为0.0075.
(2)月平均用电量的众数是
=230.
∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,
∴月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5,解得a=224,即中位数为224.
1、(2017·安徽黄山二模)全世界越来越关注环境保护问题,某监测站点于2017年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI),数据统计如下表:
空气质量指
数(μg/m3)
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,250]
空气质量
等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n,m的值,并完成频率分布直方图;
(2)由频率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数.
解:
(1)∵0.004×50=
,∴n=100,∵20+40+m+10+5=100,∴m=25.
=0.008;
=0.005;
=0.002;
=0.001.由此完成频率分布直方图,如图:
(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95,∵[0,50)的频率为0.004×50=0.2,[50,100)的频率为0.008×50=0.4,∴中位数为50+
×50=87.5.
2、(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标
值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
解:
(1)如图所示:
(2)质量指标值的样本平均数为
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.
考法
(二) 与茎叶图交汇命题
[例4]
(1)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:
分),已知甲组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17.4,则x,y的值分别为( )
A.7,8B.5,7
C.8,5D.7,7
(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:
则7个剩余分数的方差为________.
[解析]
(1)甲组数据的中位数为17,故y=7,乙组数据的平均数为
=17.4,解得x=7.
(2)由图可知去掉的两个数是87,99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4.s2=
[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=
.
[答案]
(1)D
(2)
[易错提醒]
在使用茎叶图时,一定要观察所有的样本数据,弄清楚这个图中数字的特点,不要漏掉了数据,也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.
考法(三) 与优化决策问题交汇命题
[例5] 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是( )
A.甲B.乙
C.丙D.丁
[解析] 由题目表格中数据可知,丙平均环数最高,且方差最小,说明成绩好,且技术稳定,选C.
[答案] C
[方法技巧]
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