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轴对称
轴对称
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
⑴轴对称图形:
如果_____个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够________,那么这个图形叫轴对称图形,这条直线叫做____________。
⑵轴对称:
对于____个图形,如果沿着一条直线对折后,它们能完全重合,那么称这两个图形成________,这条直线就是对称轴。
两个图形中的对应点叫做__________
1.下列几何图形中,
线段
角
直角三角形
半圆,其中一定是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.图9-19中,轴对称图形的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.如图既是轴对称又是中心对称的是( )
长方形有____________对称轴、等腰梯形有_________对称轴、平行四边形_______________对称轴,圆有________________对称轴;等边三角形有_______________条对称轴;
4.将16个相同的小正方形拼成正方形网格,并将其中的两个小正方形涂成黑色,请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑,使它成为轴对称图形.
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样
(2)经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点.
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴______________.
[关于坐标轴对称]
点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)
点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)
[关于原点对称]
点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y)
[关于坐标轴夹角平分线对称]
点P(x,y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是(y,x)
点P(x,y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是(-y,-x)
[关于平行于坐标轴的直线对称]
点P(x,y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x,y);
点P(x,y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x,2n-y);
考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.
(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形
1、经过轴对称变换将甲图案变成乙图案的是( )
2、已知:
如图,点P为∠MON内一点,点P与点A关于ON对称,点P与点B关于OM对称若.AB长为15cm,求△PCD的周长
3、△ABC在如图的直角坐标系中,写出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′中点A、B关于y轴对称点A′、B′的坐标分别是_______________________.并画出图形;
4、在平面直角坐标系中,A点的坐标(-4,3)
(1)求出点A关于y轴对称的点B的坐标;
(2)求点A关于直线x=a(0<a<4)的对称的点C的坐标,并求出线段AC的长度(用含a的代数式表示).
5、点P(1,2)关于直线y=1对称的点的坐标__________________;
6、在平面直角坐标系中,直线l过点M(3,0)且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2),△ABC关于直线l的对称图形是△A1B1C1,画出△A1B1C1,并求出A1、B1、C1的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0)其中a>0,点P关于y轴的对称点是点P1,点P1关于直线l的对称点是点P2,求P1P2的长(用含a的代数式表示).
7、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB=___________________________
考点四、线段垂直平分线的性质
(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连
线段的垂直平分线;两个图形关于某条直线对称,如果他们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
⑵线段是轴对称图形,它的对称轴是__________________
线段的垂直平分线上的点到______________________相等
(3)垂直平分线的判定:
____________________________________________________;
典例
1、下列说法:
①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的有____________________;
2、下列命题中正确的命题有____________________________;
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;③经过线段中点的直线只有一条;④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
3、下列说法中:
①P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB的垂直平分线;
②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;
③若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线;
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线.其中正确的有______________________;
4、如图,DE是
ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则
EBC的周长为_______________.
5、如图,若△ACD的周长为7cm,DE为AB边的垂直平分线,则AC+BC=__________cm.
6、如图,△ABC中,边AB垂直平分线DE交AC于E,△ABC周长28cm,AB=10cm,则△BCE周长______________________cm.
7.如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=5cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为.
8、如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=__度.
9、如图,在△ABC中,∠A=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB=CE,则∠E的度数是.
10、如图,△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC平分线,DE⊥BC于E,E是BC的中点,求∠C的度数。
11、如图,△ABC中,AB=AC,PB=PC,连AP并延长交BC于D,求证:
AD垂直平分BC
12、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于D.过C点作CG⊥AB于G,交AD于E.过D点作DF⊥AB于F.下列结论:
①∠CED=∠CDE;②
︰
︰
;③∠ADF=2∠ECD;
④
;⑤CE=DF.其中正确结论的序号是()
A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤
考点五、等腰三角形
⑴等腰三角形的两个_____________相等(简写成“________________”)
⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合(简称为“________________”)
特别的:
(1)等腰三角形是___________图形.
(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.
⑶如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的________也相等(简称为“____________________”)
(4)有两边相等的三角形是等腰三角形;
1、
(1)如图所示,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC外角∠DAC的平分线,试判断AE与BC的位置关系;并解释你的结论.
(2)如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,MN过点O,且MN∥BC,交AB、AC于点M、N,那么BM、MN、NC存在的数量关系为.
(3)如图,点0是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,BC=5.求△OEF的周长.
2、如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上,且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEB=________度.
3、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,分别以AB,AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE,使∠BAD=∠CAE=90°.
(1)求∠DBC的度数;
(2)求证:
BD=CE.
4、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,且BD=CE.
求证:
AD=AE.
5、如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件:
①OB=OC;②∠EBO=∠DCO;③∠BEO=∠CDO;④BE=CD.上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有___________________________
6、如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:
△ABC是等腰三角形.
7、在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于多少?
8、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三
角形纸片的底角等于_____________________________
9、如图,A、B两点在正方形网格的格点上,每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上,且△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C共有__________个.
10、在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有____________个.
考点六、等边三角形
⑴等边三角形的各____相等,各____相等并且每一个角都等于________
⑵三个角相等的三角形是__________三角形
⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形
特别的:
等边三角形的中线、高线、角平分线_________________________________________
典例1、下列推理中,错误的是( )
A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
2、如图,等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。
求证:
M是BE的中点。
3、已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于G.则可以推出
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
考点七、30°所对的直角边是斜边的一半
典例
1、如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直
于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于()
A.1mB.2mC.3mD.4m
2、如图:
△ADC中,∠A=15°,∠D=90°,B在AC的
垂直平分线上,AB=34,则CD=()
A.15B.17
C.16D.以上全不对
3、一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙,已知AO=BO=40cm,C0=D0=30cm,现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°,求桌面到地面的距离是多少?
甲
4、如图,AB=AC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∠BAC=120o,BC=6,则DE+DF=
5、在
中,
,
的垂直平分线交
于点F,交
于点
.如果EF=1,求
的长
考点八最短路径与最优路径
1.如图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短.
2、如图,点A是∠MON内的一点,试分别在边OM、ON上确定点B、点C,使△ABC的周长最小.要求画出草图并写出作图的主要步骤
3、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?
4、
(选做)如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为_______。
5、(选做)正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为。
6、如图,有两条公路OA、OB相交于点O,两条公路内有两个村庄M、N,现在为满足两个村庄饮用水和公路加水的需要,要打一口水井P,要求到两条公路和村庄的距离相同,请你帮忙设计一下,水井应该选在哪儿比较合适.(在图上注明即可)
7.如图,已知线段MN和∠ACB,求作一点P,使P到点M、N的距离相等,且到∠ACB的两边的距离相等.(不写作法,只保留作图痕迹)
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