模式2一元一次方程 教案.docx

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模式2一元一次方程教案

第三章一元一次方程

一、背景与意义分析

本课安排在第1章“有理数”之后,属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域。

方程有悠久的历史,它随着实践需要而产生,被广泛应用。

从数学科学本身看,方程是代数学的核心内容,正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。

从代数中关于方程的分类看,一元一次方程是最简单的代数方程,也是所有代数方程的基础。

本课中引出了方程、一元一次方程等基本概念,并且对“根据实际问题中的数量关系,设未知数,列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳。

以方程为工具分析问题、解决问题,即建立方程模型是全章的重点,同时也是难点。

分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系,是始终贯穿于全章主线,而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论,是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。

列方程中蕴涵的“数学建模思想”是本课始终渗透的主要数学思想。

在小学阶段,已学习了用算术方法解应用题,还学习了最简单的方程。

本小节先通过一个具体行程问题,引导学生尝试如何用算术方法解决它,然后再一步一步引导学生列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步依据相等关系列出含有未知数的等式——方程。

这样安排目的在于突出方程的根本特征,引出方程的定义,并使学生认识到方程是最方便、更有力的数学工具,从算术方法到代数方法是数学的进步。

算术表示用算术方法进行计算的程序,列算式是依据问题中的数量关系,算术中只能含已知数而不能含未知数。

列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系）,它打破了列算式时只能用已知数的限制,方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数,未知数进入式子是新的突破。

正因如此,一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然,因而有更多优越性。

二、学习与导学目标

１、知识积累与疏导：

通过现实生活中的例子,体会到方程的意义,领悟一元一次方程的定义,会进行简单的辨别。

２、技能掌握与指导：

能根据具体问题中的数量关系,列出方程,感悟到方程是刻画现实世界的一个有效模型。

利用率１００％。

３、智能的提高与训导：

在与他人交流探究过程中,学会与老师对话、与同学合作,合理清晰地表达自己的思维过程。

４、情感修炼与开导：

积极创设问题情景,认识到列方程解应用题的优越性,初步体会到“从算式到方程是数学的进步”的含义。

５、观念确认与引导：

通过经历“方程”这一数学概念的形成与应用过程,感受到“问题情境——分析讨论——建立模型——解释应用——转换拓展”的模式,从而更好地理解“方程”的意义。

结合例题培养学生观察、类比的能力和渗透数形结合思想。

三、障碍与生成关注

通过“问题情境”,建立“数学模型”,难度较大,为此要充分引导学生关注生活实际,仔细分析题目题意,促使学生朝“数学模型”方面理解。

四、学程与导程活动

（一）创设情景、引入新课

同学们知道南通市的东城区吗?

那宽广的人民东路延伸段正吸引着许多投资者的目光,南通市最大的环保热电厂已在东城区的新胜村拔地而起（图片展示）,让我们乘３６路公交车去感受一下吧！

假设３６路公交车无障碍匀速行驶,途经小石桥、国胜东村、观音山三地的时间如表所示：

地名

时间

小石桥

8:

00

国胜东村

8:

09

观音山

8:

17

新胜村在观音山、国胜东村之间,到观音山的路程有３千米,到国胜东村的路程有１千米,请问小石桥到新胜村的路程有多远?

先让学生读题,然后教师指出：

这是一个行程问题,而行程问题一般借助于直线型示意图,教师首先画出下图,标出两端地点。

　　小石桥　　　　　　　　　　　　　　　　观音山　　

最后师生共同逐句分析,并提问：

你从此题中可以获得哪些信息,让学生自由发挥,最后,教师作如下总结：

１、看表格有：

从小石桥到国胜东村有________分钟；从小石桥到观音山有_______分钟；

从国胜东村到观音山有______分钟。

２、你能画出汽车所经过四个地方的顺序图吗?

不妨试一试；对照示意图,让学生指出有关路程的信息。

教师最后整理成如下示意图：

　　　　　小石桥　　　　　　　　　　国胜东村　　　新胜村　　　　　　　　观音山

（二）动手实践、发现新知

你会解决这个实际问题吗?

不妨试一试。

（以同桌同学或前后两桌为一组,讨论交流一下此题怎样解,教师巡视之后,请两位同学上黑板板演,教师评讲时,让学生指出每个式子的意义。

）

如果学生中有人利用方程做出,教师分析左右两边的意义；如果没有,则作如下提示：

如果设小石桥到新胜村的路程为Ｘ千米,教师根据示意图,提出下列问题,让学生自主讨论口答：

１、小石桥到国胜东村有_____千米,小石桥到观音山有_____千米。

２、小石桥到国胜东村行车_____分钟,小石桥到观音山行车_____分钟。

３、从小石桥到国胜东村的汽车速度为_____千米／分。

让学生口答,请学生判断修正,并提出此题中有哪些相等关系?

从小石桥到国胜东村的汽车速度与从小石桥到观音山的汽车速度相等吗?

由此启发得出方程：

指出：

以后我们将学习如何从此方程中解出未知数X,从而得出小石桥到新胜村的路程。

（三）类比分析、总结提高

　　１、方法解题时,列出的算式中只能用已知数表示；而方程是根据问题的相等关系列出的等式,其中既含有已知数,又含有未知数,即方程是含有未知数的等式。

同学们也看到列方程比较方便,而算式较繁。

　　２、列方程的步骤

让学生根据例子,总结出列方程的三步骤：

（１）设字母表示未知数；（２）找出问题中的相等关系；（３）写出含有未知数的等式——方程。

３、对于上面问题,你还能列出其它方程吗?

如能,你依据哪个相等关系?

（学生讨论,代表发言）

（四）例题分析、揭示课题

同学们是否参加过学校的义务劳动呢?

下面一起讨论义务为学校搬运砖块的问题。

　　例１、学校组织６５名少先队员为学校建花坛搬砖,六（１）班同学每人搬６块,六（２）班同学每人搬８块,总共搬了４００块,问六（１）班同学有多少人参加了搬砖?

　　１、这个问题已知条件较多,题中的数量关系较复杂,列算式不易直接求出答案,这时,教师抓住时机,引导学生分组讨论,合作交流,帮助学生分析题意,分清已知量、未知量,寻找题中的相等关系。

先让学生试做,然后抓住时机,亮出如下表格,见机讲解。

六（１）班

六（２）班

总数

参加人数

每人搬砖数

６

８

共搬砖数

４００

　　２、　通过上面所做的题目分析看出,有些问题利用算术方法解比较困难,而用方程解决比较简单。

由上面题目分析也得出：

这些都是只含有一个未知数（元）,并且未知数的指数是１（次）的方程叫做一元一次方程（板书课题：

一元一次方程）

　　３、让学生根据一元一次方程的定义,举出一元一次方程的例子,师生对照定义进行分析评讲。

　　４、例２：

根据下列问题,设未知数并列出方程：

（１）一台计算机已使用１７００小时,预计每月再使用１５０小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间２４５０小时?

（２）一根长的铁丝围成一个长方形,使它的长是宽的1.5倍,长方形的长、宽各应是多少?

让２位学生上黑板板演,其余科学生在下面做,然后,师生共同批改,批改时,对照一元一次方程的定义及列方程的步骤讨论讲解,并指出方程左右两边的意义。

（五）总结巩固、初步应用

１师生共同小结归纳

上面的分析过程可以表示如下：

设未知数　　　　找相等关系　　　　　列方程

　实际问题　　　　　

一元一次方程　　　　

分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法。

２、练习：

（１）  环形跑道一周长,沿跑道跑多少周,可以跑?

（２）  甲种铅笔每枝0.3元,乙种铅笔每枝0.6元,用９元钱买了两种铅笔共２０枝,两种铅笔各买了多少枝?

（３）一个梯形的下底比上底多,高,面积是

求上底。

２、 作业：

课本７３页第１、５题。

五、笔记与板书提纲

课题　　例１　　例１示意图

定义　　例２

列方程的分析过程归纳

六、练习与拓展选题

根据生活经历,自编一道列方程应用题。

七、个别与重点辅导：

学生姓名（略）

八、反思与点评记录

第三章、一元一次方程：

　2.1 从算式到方程

教学目标：

1．了解什么是方程,什么是一元一次方程；

2．通过“列算式”和“列方程”解决问题的方法,感受方程是应用广泛的数学工具；

3．初步学会分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,渗透建立方程模型的思想；

4．经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程,树立多种方法解决问题的创新意识,品尝成功的喜悦,增强用数学的意识,激发学习数学的热情。

教学重点：

1．了解什么是方程、一元一次方程；

2．分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。

教学难点：

分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。

教学过程：

一、游戏激趣

同学们,大家小时候一定都说过儿歌吧?

那么这一首儿歌你一定说过（屏幕出示）：

1只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿,扑通一声跳下水；……。

现在,我们就来“比一比,说儿歌”（屏幕出示）。

要求是：

以这样的速度说（师说一段）,不能说错或停顿,如果停顿或者说错了就立即停止。

规则是：

每一大组各派一名代表,看谁说得又快又好；第一大组,谁来?

其他同学可听仔细了。

（进行比赛）

我们知道,这是一首永远也说不完的儿歌,你能不能想个方法用一句话把这首儿歌说完呢（屏幕出示）?

（根据学生回答,说出“x只青蛙x张嘴,2x只眼睛4x条腿,x声扑通跳下水”）（屏幕出示）

这样,我们用字母x代替了具体的数,就用一句话代表了所有情况,使问题变得方便、简捷。

二、          创设情境,引入课题

1、同学们都挺喜欢吃巧克力吧！

假如你妈妈从文峰买了42颗你最喜欢吃的巧克力,你准备怎么处理呢?

好东西要与好朋友分享,对吧?

如果你和你的好朋友一人一半,你分得多少呢?

我们也不能忘了孝敬长辈,假如分给奶奶的是分给你的2倍,那么你分了多少颗?

如果还要分给爷爷,且分给奶奶的不变,还是你的2倍,分给爷爷的比分给你的1.5倍少3个。

此时你又分得多少颗?

（让学生自己回答出两种解法——代数方法和算术方法）

2、刚才解决这个问题时,两位同学一人用了列算式的方法,一人用了列方程的方法（屏幕出示）。

今天这一节课我们就共同来研究“2.1节从算式到方程”。

3、什么是方程?

同学们还记得吗?

请大家回忆一下。

、

4、刚才的问题是用列方程的方法解答的请举手。

确实,方程也是解决问题的一种好方法。

（设计意图：

通过巧克力问题,1、让学生认识到列方程也是解决数学问题的一个好方法,甚至有时比算术方法要简单,2、引出方程的概念）

三、呈现问题,自主探索

1、请你用算术方法或列方程解决下列问题：

每一道题你都可以选择用算术方法还是列方程解决,只要想到方法的就到黑板上来写,不需要举手,如果列算术请写在左边,如果列方程请写在右边。

注意：

我们这一节课只研究根据实际问题列方程,怎样从方程中求出未知数,我们以后会深入讨论。

所以,今天的问题都只要求同学们列出算式或方程,不需要求出结果。

现在开始。

2、学生自由到黑板上写

3、现在请各位同学解释一下自己的方法。

（学生在座位上回答,教师适当提醒学生说出等式两边的含义和列方程所依据的相等关系。

针对解题格式上的问题加以提醒。

）

统计每道题用算术方法和用代数方法的人数。

4、通过解决刚才的这几个问题,对于做一道题时,是选择列算式还是列方程,你有什么感想?

（生答）

其实呀,方程确实是一种应用很广泛的数学工具,在现实生活中有好多好多的问题可以用方程解决。

下面我们不妨来试试看。

好吗?

（设计意图：

通过几道例题,1、让学生初步学会分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,2、渗透建立方程模型的思想）

四、巩固练习,提高发展

1、现在我们就用列方程的方法解决问题,请拿出学案纸,完成第一大题。

要求是：

（屏幕出示）根据下列问题,设未知数并列出方程,同样不需要求出结果。

2、学生独立完成。

3、哪位同学来讲讲你做的第一题,说说你的解题思路和过程。

4、通过刚才的研究,我们发现利用方程解决问题要经过哪些步骤呢?

先设未知数,然后根据相等关系列出方程,这样,就将实际问题转化成了数学问题。

（设计意图：

通过练习让学生继续学会分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。

）

五、合作学习,开拓创新

1、我们知道,数学来源于生活,又应用于生活。

今天,老师在来滨江初中的过程中,遇到了这样一个问题：

汽车匀速行驶,7：

00从实验初中出发,7：

30途经常青初中到达滨江初中是7：

50,吴庄在常青初中、滨江初中两地之间,距常青初中6千米,与滨江初中的距离是总路程的,问实验初中到吴庄的路程有多远?

现在,就请大家运用你所掌握的知识、方法,结合线段图解决它。

请拿出学案纸,看第二大题,只需要列式,并说出理由,不需要求出结果。

请大家先独立思考,然后学习小组内互相交流,互相讨论,看看谁想到的方法多。

现在开始。

2、学生完成

3、学生展示不同的方法。

（设计意图：

改变书上的引例,把它换成现实生活中的实例,鼓励学生探索、合作、交流,有利于激发学生的学习兴趣）

六、交流收获,归纳总结

各组同学都积极开动脑筋,想出了各种方法解决问题,看来同学们今天都是“学有所获”,我们共同来对今天的学习活动作一个总结与回顾。

通过本节课的学习,你有哪些收获?

七、课后作业,拓展视野

1．必做题：

阅读课本第72页“阅读与思考”；完成课本第75页第1题,第76页第5、6题。

2．选做题：

课本第74页第10题。

教学反思：

本节课我在本校执教的时候效果较好,而到滨江初中上这一节课,结果却不尽如人意,甚至没有能完成预定的教学任务。

通过这一节课,我感受最深的一点是：

要上好一节课不仅要埋头钻研教材,设计教学过程,还必须善于与学生交流,要学会从学生的角度看问题,也就是常说的要学会备学生,应从学生能否理解的角度来安排适当的教学程序,用有趣的资料激发学生的学习热情,更应主动地去了解学生对过去相应的知识的掌握程度,这样才能把握住施教的深浅及分寸,做到进行适当的引导,达到事半功倍的效果。

2.2从古老的代数书说起---一元一次方程的讨论

（1）

【教学目标】

1.经历运用方程解决实际问题的过程;

2.学习如何找出实际问题中的已知数和未知数,并分析它们之间的数量关系,列出方程;

3.通过具体的例子感受一些常用的相等关系式.

【对话探索设计】

〖探索1〗

（1）某校前年购买计算机x台,去年购买的数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍,去年购买的计算机的数量是________;今年购买的计算机的数量是________;三年总共购买的数量是_________.

（2）某校三年共购买计算机140台,去年购买的数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机?

解:

设前年购买计算机x台,那么,

去年购买的计算机的数量是________;

今年购买的计算机的数量是________;

根据关系:

三年共购买计算机140台（关系式:

前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台）,列得方程:

____________________________.

合并得________________.

系数化为1得______________.

答:

______________________.

归纳:

总量等于各部分量的和是一个基本的相等关系.

〖探索2〗

（1）把一些书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本,若这个班级有x名学生,则这些书有_______本.

（2）把一些书分给某班学生阅读,如果每人分4本,则还缺20本,若这个班级有x名学生,则这些书有_______本.

（3）把一些书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺20本.这个班有多少学生?

解:

设这个班级有x名学生,

根据第一关系,这批书共_________________本;

根据第二关系,这批书共_________________本;

这批书的总数是个定值,表示它的两个不同的式子应该相等.

根据这一相等关系列得方程:

________________________.

想一想,怎样解这个方程?

归纳:

表示同一个量的两个不同的式子相等,这也是我们列方程经常用到的相等关系.

〖练习〗

1.

（1）同样大的实验田,喷灌的用水量是漫灌的25%,若漫灌要用水x吨,则改用喷灌只需_________吨.

（2）灌溉两块同样大的实验田,第一块用喷灌的方式,第二块用漫灌的方式,喷灌的用水量是漫灌的25%,若两块地共用水300吨.每块地各用水多少吨?

解:

设第二块地（漫灌）用水x吨,

根据关系:

喷灌的用水量是漫灌的25%（关系式是:

喷灌的用水量=漫灌的的用水量×25%）,得

第一块地（喷灌）用水________吨.

根据关系:

两块地共用水300吨,可列方程:

__________________________________.

解得___________.

答:

___________________________.

〖作业〗

P79.练习,P84.1,6

〖补充作业〗

1.按要求列出方程:

（1）x的1.2倍等于36;

（2）y的四分之一比y的2倍大24.

2.某厂去年的产量是前年的2倍还多150吨,若去年的产量是950吨,求前年的产量.

解:

设前年的产量是x吨,根据关系:

去年的产量是前年的2倍还多150吨,得去年的产量为______________,

根据去年的产量是950吨列方程:

__________________.

解得___________.答_________________________.

2.2从古老的代数书说起---一元一次方程的讨论

（2）

【教学目标】

1.进一步经历运用方程解决实际问题的过程,初步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型;

2.学会合并（同类项）及移项,会解"ax+bx=c"及"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;

3.初步体会一元一次方程的应用价值,感受数学文化;

4.理解解方程的目标,体会解法中蕴涵的化归思想.

〖探索1〗

等式一边的项可以移到等式的另一边吗?

例如:

3+5=8这是一个等式.把左边的一项"3"移到右边,得到什么式子?

这时等式成立吗?

如果把"3"变号后移到的另一边呢?

换一个等式-6-7=-13试一试.

任写一个等式再试一试.

〖探索2〗

（1）方程x+3=-1的解是多少?

（1）把方程x+3=-1中左边的常数项”3”移到右边,就得到方程x=-1+3.所得的方程的解与原方程的解一样吗?

〖探索3〗

怎样求方程x-7=5的解?

甲的解法是:

这是一个表示减法运算的式子,x是被减数,7是减数,5是差.所以有x=5+7（理由是_______________________）,于是x=12.

乙的解法是:

这是一个等式,根据等式的性质1,等式两边________,结果仍相等,把方程的两边都加7,得x-7+7=5+7,于是x=12.

丙的解法是:

把方程左边的项-7,变号（即变成+7）后移到方程的右边,得x=5+7,于是x=12.

议一议,三种解法,你乐意用哪一种?

〖归纳〗

解方程时,把方程一边的某项变号后移到另一边,这种变形叫移项.

注意:

移项的要点不在移动,而在于变号.

想一想:

移项为什么要变号?

移项的根据是什么?

〖探索4〗

以下各方程的“移项”对不对?

为什么?

（1）x+5=7,移项得x=7+5;

（2）3-x=7,移项得-x=7-3;

（3）2x=7x,移项得2x+7x=0;

（4）2x=7x-6,移项得2x-7x=-6.

〖探索5〗

移项的目的是把方程化为ax=b的形式,以下的“移项”都达不到预期的目的.你认为应该怎样做才对?

（1）3x+6=0,移项得0=-3x-6;

（2）3x=5x-7,移项得3x+7=5x;

（3）3-x=5x,移项得3-x-5x=0;

（4）3x+20=7x-18,移项得-7x+18=-3x-20.

〖例题学习〗

P81.例1

〖练习〗

P81.练习

〖作业〗

P84.习题2,3,9

〖补充作业〗

1.一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位上的数与个位上的数对调,那么所得到的两位数比原两位数大36.求原两位数.

解:

设原两位数十位上的数为x,

那么,根据个位上的数是十位上的数的2倍,得个位上的数是________,

则原两位数记为___________.

因为对调后所得到的新两位数的十位上的数为______,个位上的数为______,新两位数应记为___________________.

根据新两位数比原两位数大36,列方程:

_____________________.

解这个方程得__________.答:

______________________________.

2.〖小调查〗今年6月份你家的固定电话的收费是多少?

找出发票,看看费用当中具体分为哪几项?

2.2从古老的代数书说起---一元一次方程的讨论（3）

【教学目标】

1.熟练应用合并（同类项）及移项,解"ax+bx=c"及"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;

2.进一步感受如何找出实际问题中的已知数和未知数,并分析它们之间的数量关系,列出方程;

3.初步体会一元一次方程的应用价值,感受数学文化.

〖练习〗P85.习题9

〖探索1〗

（1）有一列数,按一定的规律排成1,-3,9,-27,81,-243…,如果其中有一个数是x,那么跟在它后面的两个数依次为______,______.如果其中有一个数是y,那么它前面的哪个数是______,后面的那个数是______.

（2）有一列数,按一定的规律排成1,-3,9,-27,81,-243…,其中某三个相邻数的和是567,这三个数各是多少?

相信你能自己解决这个问题了!

〖例题学习〗P81.例2

想一想:

如果设这三个相邻数中的第二个数为y,怎么列方程?

解是多少?

〖探索2〗

（1）“全球通”移动电话的计费方法是:

月租费50元/月,本地通话费0.40元/分.一个月内,若通话200分,需交费_________元;若通话x分,需交费__________元.

（2）李老师5月份“全球通”移动电话消费130元,求通话的时间是多少分.

全球通

神州行

月租费

50元/月

0

本地通话费

0.40元/分

0.60元/分

〖探索3〗

“全球通”和“神州行”两种移动电话的收费方式如表:

用“全球通”每月收月租费50元/月,此外根据累计通话时间按0.40元/分加收通话费.用“神州行”,不收月租费,根据累计通话时间按0.60元/分收通话费.

（1）若一个月内在本地通话100分,按两种计费方式各需交多少元?

选择哪一种计费方式比较便宜?

通话时间若是300分呢?

（2）若累计通话t分,则用“全球通”要收费__________元;用“神州行”要收费__________元.

（3）当本地通话时间是多少分时,两种收费方式的收费一样?

（4）你认为在什么条件下选择“神州行”更便宜?

（5）请为你的家长在“全球通”和“神州行”两种移动电话的收费方式中选择一种,并说明理由.

〖补充作业〗

1.国庆