全国1卷概率压轴题源于竞赛和自招.docx
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全国1卷概率压轴题源于竞赛和自招
全国1卷概率压轴题源于竞赛和自招
1.(2019全国I理21)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:
对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施
以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时,
最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则
p0=0,
p8=1,
pi=api-1+bpi+cpi+1
(i=1,2,,7)
,其中
a=P(X=-1)
,b=P(X=0),
c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.
(i)证明:
{pi+1-pi}(i=0,1,2,,7)为等比数列;
(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解:
X的所有可能取值为-1,0,1.
P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β)
所以X的分布列为
(2)(i)由
(1)得a=0.4,
b=0.5,
c=0.1.
因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).
因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.
(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6++p1-p0+p0
=(p8-p7)+(p7-p6)++(p1-p0)=
由于p8=1,故p1=48-1,所以
48-1
p
31
.
44-11
p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=.
3257
p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈
率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=257≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
【点评】看似很复杂,实则简单。
在实际问题情境中,数列知识与概率相结合。
这在清北的自主招生或竞赛题中都有所见,此题可以视为2011清华大学七校联考自主招生考试中的15题的改编。
变式1:
(2011清华大学七校联考自主招生第15题)将一枚质量均匀的硬币连续抛掷n次,
以pn表示未出现连续3次正面的概率。
(1)求p1,p2,p3,p4;
(2)探究数列{pn}的递推公式,并给出证明;
(3)讨论数列{pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。
变式2:
(2012全国高中数学联赛第8题)某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率是.(用最简分数表示)
61
【解析】
,用Pk表示第k周用A种密码的概率,则第k周末用A种密码的概率为1-Pk.
1
243
于是P=1(1-P),k∈N*,即P
-1=-1(P-)由P=1
⎧P-1⎫是首项为3,
k+13k
k+143k4
1知,⎨k4⎬4
1
公比为-的等比数列。
所以P
-1=3(-1)k-1,即P
⎩⎭
=3(-1)k-1+1,故P=61.
3k443
k434
7243
【点评】淘宝博约书斋店铺的《全国卷高考数学压轴题的解题研究三部曲》做了深入剖析。
此书有很多特点。
1.把全国卷高考压轴题作了深入剖析,且全面结合竞赛和自招给出了变式和拓展,每一个压轴题都变成了微专题,有利于学生强化全国卷高考命题思路。
2.2019高考有很大的变化,其实就是对修订后的课标的直接体现,对2019高考试题特点进行了深入剖析。
比如备受关注的维拉斯,如果改成填空题,求范围,作为16题,是经典的好题。
3.上升到看问题的一般观念是解题质的飞跃是本书追求的境界。
子曰:
“不愤不启,不悱不发。
举一隅不以三隅反,则不复也。
”即“不到他努力想弄明白而不得的程度不要去开导他;不到他心里明白却不能完全表达出来的程度不要去启发他。
如果他不能举一反三,就不要反复给他举例了。
”孔子告诉我们了教育的时机和期望达到的目标——举一反三。
举一反三、触类旁通都是我们一直追求的境界,但怎么能够真正地做到呢?
老子《道德经》第四十八章:
为学日益,为道日损。
损之又损,以至于无为。
无为而无不为。
可以这样理解:
为学是量变,为道是质变。
在求学的过程中,一个人的知识会一天比一天增加,而求道的过程中,恰好相反,从知识中汲取精华,反而越来越少,少之又少,以至于很接近道的状态——无为,无为而无不为。
美国的著名心理学家伯尔赫斯·弗雷德里克·斯金纳说:
“当所学的东西都忘掉之后,剩下的就是教育。
”爱因斯坦曾经在一次演讲中说道:
如果你把学校教授给你的一切知识都忘记了以后,剩下的那部分内容就是教育,我们的生活就是去运用剩下的内容去思考,去迎接并战胜困难,去开创我们的事业,去追求我们的美好生活。
老子的“道”和斯金纳“剩下的”又是什么?
布鲁纳在《教育过程》的“结构的重要性”中希望学生的学习从特殊迁移上升到原理和态度的迁移,即学习一个一般观念,然后以此作为认识后续问题的基础,这些后继问题是开始所掌握的观念的特例。
奥苏贝尔认为“当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来时,意义学习便发生了,所谓认知结构,就是指学生现有的知识数量、清晰度和组织结构,它是由学生眼下能回想出的事实、概念、命题、理论构成的。
”奥苏贝尔认为同化理论的核心是:
学生是否习得信息,主要取决于他们认知结构中已有的观念。
Schoenfeld认为成为一个成功的问题解决者,与一个人的数学知识(资源)、自我控制、探索思路和观念有关。
康德说“人类的一切知识都是从直观开始,从那里进入到概念,而以理念结束。
”
观念决定视野,视野决定格局,格局决定境界;观念是思想的升华,决定了看问题的深度和层次。
4.、、、、、、
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