甘肃省兰州市届高三诊断考试数学文试题 Word版含答案.docx
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甘肃省兰州市届高三诊断考试数学文试题Word版含答案
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。
2.本试卷满分150分,考试用时120分钟。
答题全部在答题纸上完成,试卷上答题无效。
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则
A.B.C.D.
2.复数的实部是
A.B.C.D.
3.已知向量,满足,,,则
A.B.C.D.
4.从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于的概率为
A.B.C.D.
5.在中,内角,,的对边分别为,,,且=.则
A.B.C.D.
6.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的的值是
A.B.
C.D.
7.在直三棱柱中,,,则点到平面的距离为
A.B.C.D.
8.如图,程序输出的结果,则判断框中应填
A.
B.
C.
D.
9.已知不等式组所表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围为是
A.B.
C.D.
10.在直角坐标系中,设是曲线:
上任意一点,是曲线在点处的切线,且交坐标轴于,两点,则以下结论正确的是
A.的面积为定值B.的面积有最小值为
C.的面积有最大值为D.的面积的取值范围是
11.已知椭圆:
的左、右焦点分别为、,右顶点为,上顶点为,若椭圆的中心到直线的距离为,则椭圆的离心率
A.B.C.D.
12.已知定义在上的可导函数的导函数为,若对于任意实数,有,且为奇函数,则不等式的解集为
A.B.C.D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22~24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,,则.
14.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于.
15.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是.
16.若函数的图象与轴交于点,过点的直线与函数的图象交于、两点,为坐标原点,则.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
在等比数列中,已知.
(Ⅰ)求数列的通项公式.
(Ⅱ)若分别为等差数列的第3项和第5项,试求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,
∥,顶点在底面内的射影恰为点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)在上是否存在点,使得
∥平面?
若存在,确定
点的位置;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分)
兰州市为增强市民的环保意识,面向全市征召宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:
第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽
取6名志愿者参加广场的宣传活动,应从
第3,4,5组各抽取多少名志愿者?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这6名志愿者中
随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4
组至少有一名志愿者被抽中的概率.
20.(本小题满分12分)
已知双曲线:
的一条渐近线为,右焦点到直线的距离为.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点,已知,若,证明:
过、、三点的圆与轴相切.
21.(本小题满分12分)
已知函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若,函数在上为增函数,求实数的取值范围.
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,如果多答按所答第一题评分。
22.(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,已知切⊙于点,割线交⊙于、两点,的平分线和、分别交于点、.求证:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
23.(本小题满分10分)选修4-4:
极坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值.
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
B
C
D
B
B
C
A
A
B
8.由题意,S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积,由于12×11=132,故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11,10,由于i的值为10时,就应该退出循环,再考察四个选项,B符合题意
11.解析:
设椭圆的的焦距为,由于直线的方程为,所以,因,所以,解得或(舍),所以
二、填空题
13.14.15.16.
15.解析:
函数,则,
令得,因为函数有两个极值点,所以有两个零点,等价于函数与的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象,过点(0,-1)作的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜率,切线方程为.切点在切线上,则,又切点在曲线上,则,即切点为(1,0).切线方程为.再由直线与曲线有两个交点,知直线位于两直线和之间,其斜率2a满足:
0<2a<1,解得实数a的取值范围是.
16.解析:
∵,∴的解为,即,而恰为函数图像的一个对称中心,∴、关于对称
∴
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)为等比数列
∴
∴
∴…………6分
(Ⅱ)∵,,又因为为等差数列
∴
∴
∴…………12分
18.解:
(Ⅰ)证明:
连接,则平面,
∴
在等腰梯形中,连接
∵,,∥
∴
∴平面
∴…………6分
(Ⅱ)设是上的点
∵∥∴∥
因经过、的平面与平面相交与,要是∥平面,则∥,即四边形为平行四边形,此时,即点为的中点.
所以在上存在点,使得∥平面,此时点为的中点.……12分
19.解:
(Ⅰ)第3组的人数为0.3×100=30,
第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:
第3组:
×6=3;
第4组:
×6=2;
第5组:
×6=1;
即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.…………6分
(Ⅱ)记第3组的3名志愿者为,,,第4组的2名志愿者为,,第5组的1名志愿者为.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
(,),(,),(,),(,),(,),
(,),(),(,),(,),
(,),,),(,),
(,),(,),(,),共有15种.
其中第4组的2名志愿者,至少有一名志愿者被抽中的有:
(,),(,),(),(,),(,),(,),(,),
(,),(,),共有9种,………10分
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为…………12分
20.解:
(Ⅰ)依题意有,
∵
∴
∴,
∴
∴曲线的方程为……………6分
(Ⅱ)设直线的方程为,则,,的中点为
由得
∴,
∵,即
∴(舍)或
∴,点的横坐标为
∵
∴
∴过、、三点的圆以点为圆心,为直径
∵点的横坐标为
∴
∵
∴过、、三点的圆与轴相切……………12分
21.解:
(Ⅰ)函数的定义域为
当时,,所以在上为增函数;
当时,由得
则:
当时,,所以函数在上为减函数,
当时,,
所以函数在上为增函数.……………6分
(Ⅱ)当时,,
∵在上为增函数,
在恒成立,
即在恒成立,
令,,
,
令,
在恒成立,
即在单调递增,
即,
即在单调递增,
所以.…………………12分
22.证明:
(Ⅰ)切⊙于点,
∵平分
…………5分
(Ⅱ)
∽
同理∽,
…………10分
23.解:
(Ⅰ)由曲线:
得
即:
曲线的普通方程为:
由曲线:
得:
即:
曲线的直角坐标方程为:
…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆与直线无公共点,
椭圆上的点到直线的距离为
所以当时,的最小值为…………10分
24.解:
(Ⅰ)由得,
∴,即,
∴
∴…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令
则,
∴的最小值为4,故实数的取值范围是.…………10分
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