第十四章轴对称图形.docx
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第十四章轴对称图形
第十四章“轴对称”简介
七年级下册第14章是“轴对称”,主要包括轴对称和等腰三角形的有关内容。
本章共安排了三个小节和两个选学内容,教学时间约需12课时,具体分配如下(仅供参考):
14.1轴对称 3课时
14.2轴对称变换 3课时
14.3等腰三角形 4课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和课程学习目标
(一)本章知识结构框图
本章知识结构如下图所示:
(二)教科书内容
本章的主要内容是从生活中的图形入手,学习轴对称及其基本性质,欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。
在此基础上,利用轴对称变换,探索等腰三角形的性质,学习它的判定方法,并进一步学习等边三角形。
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象,是密切数学与现实联系的重要内容。
在本章第1小节“轴对称”中,教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历,从观察现实生活中的对称现象开始,引出轴对称图形和图形的轴对称的概念,从整体上概括出轴对称的特征。
结合探索对称点的关系,归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质,并结合这一性质的得出,讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理。
接下来,在第2小节“轴对称变换”中,通过观察一系列的图形,引出了轴对称变换并归纳其特征,通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动,让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。
用坐标表示轴对称,从数量关系的角度刻画了轴对称变换。
教科书从观察和实验入手,归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律,并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。
等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的所有性质外,还有许多特殊的性质。
由于它的这些特殊性质,使它比一般三角形应用更广泛。
而等腰三角形的许多特殊性质,又都和它是轴对称图形有关,这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因。
在本章第3小节“等腰三角形”中,利用等腰三角形的轴对称性,得出了“等边对等角”“三线合一”等性质,并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容。
在本章,轴对称的性质是本章的重点,其他轴对称变换的应用,利用轴对称设计图案,用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的。
另外,等腰三角形的性质和判定也是本章的重点,它们是证明线段和角相等的重要根据,应用也比较广泛。
按照整套教科书对于推理证明的安排,上一章“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理(证明)。
在这一章,对于一些图形的性质(如线段垂直平分线的性质、等腰(边)三角形的性质与判定等),仍是要求学生证明。
由于学生刚开始接触用符号表示推理,虽然教科书控制了证明难度,但是相对于上一章,推理的依据多了,图形、题目的复杂程度也增加了,因此会使一些学生感到无处下手,这是本章教学的一个难点,要注意帮助学生克服这一难点。
(三)课程学习目标
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索轴对称的基本性质,理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质;
2.探索简单图形之间的轴对称关系,能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用,能利用轴对称进行简单的图案设计;
3.了解线段垂直平分线的概念,探索并掌握其性质;了解等腰三角形、等边三角的有关概念,探索并掌握它们的性质以及判定方法;
4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题,在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,发展空间观念,激发学习空间与图形的兴趣。
二、本章编写特点
1.有机的整合“空间与图形”领域的相关内容,利用变换研究图形的性质
在以往的教科书中,等腰三角形的有关内容一般安排于介绍三角形的内容之中,利用三角形的全等研究等腰三角形的性质和判定。
在本套教科书中,等腰三角形的有关内容安排在了“轴对称”一章,学生学完了轴对称的相关性质之后,利用轴对称的有关知识研究等腰三角形的性质,再利用三角形的全等的知识给以证明,这是本章编排上的一个特点。
等腰三角形是一个很好的轴对称图形,它的许多性质都与它是轴对称图形有关。
利用它的轴对称性,不仅有助于发现等腰三角形的一些性质,而且也能为利用三角形全等的知识证明一些性质提供思路,在教科书的编写中,充分重视了这一点。
例如,教科书引出等腰三角形概念时,不是直接给出定义,而是直接通过一个“探究”栏目,让学生自己剪出一个三角形。
这个剪三角形的过程,就是利用轴对称得到一个等腰三角形的过程。
这个过程还保留下了中间折叠的痕迹,它就是等腰三角形的对称轴。
接下来教科书安排的“思考”栏目是前面“探究”的继续,受剪出等腰三角形的过程的启发,学生很容易想到它是一个轴对称图形,折痕就是它的对称轴。
通过找出其中重合的线段和重合的角利用轴对称变换的性质,可以很容易的引导学生得出等腰三角形的两个性质:
“等边对等角”以及“三线合一”。
在进一步证明这两个性质的过程中,关键是要添加辅助线,而有了前面的“探究”“思考”的铺垫,如何添加这个辅助线也就是水到渠成的了。
再如,利用等腰三角形的轴对称性,可以发现等腰三角形中许多相等的线段或角,如两底角平分线、两腰的中线、两腰的高等。
教科书也安排了这样一个“讨论”栏目,让学生利用等腰三角形的轴对称性去发现一些等腰三角形中的相等的线段和角,利用图形的变换研究图形的性质。
等腰三角形是一种轴对称图形,教科书将等腰三角形的相关内容安排在轴对称之后,就是要利用轴对称研究等腰三角形的有关性质,并进一步利用三角形的全等证明这些性质。
将图形的变换与图形的认识、图形的证明有机整合,利用变换研究图形,得到图形的性质,在通过推理证明这些结论。
2.注意联系实际
人们生活在三维空间,丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量真实的素材。
本章的内容具有丰富的实际背景,在现实世界中也有着广泛的应用,因此在教学中要注意联系实际,从实际出发引入概念,并将所学知识应用到实际生活中。
例如,轴对称现象在生活中是很常见的,教科书选用了从天安门到故宫的鸟瞰图作为章头图,在第1节的开头,也举出了如自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、日常生活用品、窗花等实际例子,让学生感受对称现象的无处不在,通过观察这些图形,引出轴对称的概念。
在实际教学中,可以结合当地实际选择一些轴对称图形的例子,这些素材不仅应包括人们所习惯的标准几何图形,更应包括丰富多彩的现实世界中的二、三维图形,使学生欣赏现实世界中与轴对称有关的图案,并能够从中发现轴对称的特征。
除了注意从实际例子引出轴对称内容的学习以外,教科书也给出了一些应用轴对称变换的例子,如利用轴对称的观点来解释现实生活中的有关现象、简单的利用轴对称变换设计图案、利用轴对称变换解决一些有关最大、最小的选址问题等等,教科书也注意体现所学知识的应用,体现一个具体──抽象──具体的过程。
3.注意让学生经历观察、实验、归纳 论证的过程
学习方式的转变是这次课程改革的一个重要目标,与其他教学内容相比,“空间与图形”的内容的教学更能激起学生对数学学习的情感体验,强调学生通过“做数学”来学习数学也是本章教科书的一个突出特点.在内容处理上,教科书加强了实验几何的成分,将实验几何与论证几何有机结合.论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用,而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具,在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用.对于本章中的一些概念、性质、公理和定理,教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目,让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动,探索发现几何结论,经历知识的“再发现”过程,在探究活动的过程中发展创新思维能力,改变学生的学习方式.在发现结论的基础上,再经过推理证明这些结论,使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续,使图形的认识与图形的证明有机整合。
例如,对于等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质的得出,教科书通过设置一个“探究”“思考”栏目,让学生剪出等腰三角形,并进一步利用轴对称的性质思考其中相等的线段和相等的角,进而发现等腰三角形的性质。
接下来,从上面的操作过程启发,通过做出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质。
这种处理,将实验几何与论证几何有机的整合在一起,使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程,把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论之后的自然延续,完成好由实验几何到论证几何的过渡。
三、几个值得关注的问题
1.注意知识间的联系
本章的内容较多,课程标准“空间与图形”领域中图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明各个部分的内容在本章都有涉及,教学时要注意把握各个部分内容之间的联系,有机的整合各个部分的内容。
本章从认识轴对称图形开始,又进一步介绍了两个图形关于某条直线对称(两个图形成轴对称),要注意这两个概念间的区别:
轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合,说的是一个具有特殊形状的图形,而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。
它们的联系:
定义中都有一条直线,都要沿这条直线折叠重合;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,这两个图形就是关于这条直线成轴对称,反过来,如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形。
从轴对称变换的角度来看,成轴对称的两个图形的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到,一个轴对称图形由它的一部分为基础,经过轴对称变换拓展而成。
在轴对称变换之后,教科书安排了用坐标表示轴对称的内容,从数的角度刻画轴对称的内容。
包括关于坐标轴对称的点或图形的坐标的变化以及由点或图形坐标的变化引起点或图形轴对称变换的内容。
这里的关键是要让学生感受图形轴对称变换之后点的坐标的变化,把“形”和“数”紧密的结合在一起,把坐标思想和图形变换的思想联系起来。
2.满足学生多样化的学习需求,为学生提供个性化学习的时间和空间
本章内容中有许多需要发挥学生想象和个性的活动,如欣赏轴对称图案,利用轴对称进行图案设计,探究对称轴是与坐标轴平行(垂直)时轴对称的坐标特点,发现等腰三角形中相等的线段等等,这些内容都为学生个性化的学习提供了空间。
教学时应有意识地满足学生多样化的学习需求真正为学生提供个性化学习的时间和空间。
例如,对于利用轴对称设计图案,不同学生可能会有不同的创意,也会有不同的操作方法(如折叠、剪纸、扎眼、计算机等)完成自己的创意,教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试,不能用唯一的标准判断全体学生的成果,要把关注点放在活动中的数学层面上,看学生是否真正理解了轴对称变换的特点。
3.注意推理证明的教学
对于推理证明的要求,教科书是按“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等分层次安排的。
本章的前一章是全等三角形,已经要求学生“用符号表示推理”,即证明。
因此,在这一章,不仅要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论,还要求学生对这些结论进行证明,使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续,进一步体会证明的必要性。
学过等腰三角形后,推理的依据逐渐多了,题目的复杂程度也增加了,因此,如何寻找证明的思路也成为本章教学的一个难点。
教学时,要克服这一难点,关键是要加强证明题前分析的教学,帮助学生学会分析证题思路,找出证明的途径。
因为学过的定理多了,从已知出发可以有多种途径选择,分析问题时要结合结论一起考虑,采用“两头凑”,教学时可向学生介绍这种方法。
另外,以前学生证明问题时,主要考虑利用全等三角形,也总习惯于找全等三角形。
虽然涉及利用等腰三角形性质的问题都可以利用全等三角形来解决,但要注意纠正这种不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势。
可结合具体问题让学生自己分析,寻找证明方法。
对于可以直接利用等腰三角形性质、判定,垂直平分线的性质的问题,应当让学生选择简便方法。
在与等腰三角形有关的一些命题的证明过程中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线。
虽然“三线和一”,但添加辅助线时,有时作那条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度也不同,需要具体问题具体分析,这一点要注意。
4.重视现代信息技术工具的应用
信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具.利用信息技术工具,可以很方便地制作图形,可以很方便地让图形动起来.许多计算机软件还具有测量功能,这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系,有利于发现图形的性质,这可以使得许多传统的数学教学做不到或做不好的事情变得容易起来。
在这一章,信息技术工具是大有用武之地的,许多计算机软件都有进行轴对称变换的功能,利用这个功能,可以方便的做出轴对称图形,并研究它的性质,教科书也专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目,利用计算机软件探索轴对称的性质,探索轴对称的点的坐标的特点,探索线段垂直平分线的性质,利用计算机软件进行图案设计等。
有条件的学校,应尽可能多的使用计算机或图形计算器等信息技术工具,帮助学生的数学学习。
14.1轴对称
教学目的
(1)加深学生对轴对称性质的理解,使他们学会利用这些性质去解决有关问题.
(2)通过对范例的分析、讲解,培养和训练学生解决问题的正确思想方法,达到启迪智慧,提高能力的目的.
教学过程
一、复习提问
师:
轴对称图形具有什么性质?
生:
轴对称图形具有两条性质:
(1)图形上对应点的连线被轴垂直平分;
(2)在轴对称下,对应线段或对应直线若相交,其交点必在对称轴上.
师:
性质1的逆定理是什么?
生:
性质1的逆定理是:
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
师:
上节课,我们作一个图形的轴对称图形,正是依据了这一逆定理.
二、讲解新课
师:
今天,我们要应用上述性质来解决一个实际问题.
[例1]如图1,在铁路a的同侧有两个工厂A、B,要在路边建一个货场C,使A、B两厂到货场C的距离的和最小.问点C的位置如何选择?
师:
同学们若仔细考虑一下,不难发现,例1实质上是一个求最短路线的实际问题,如果用数学语言叙述就是:
已知直线a的同侧有A、B两点,现欲在a上作出一点C,使AC+CB为最小.
(让学生准备白纸一张,在教师的启发下作出点C.)
师:
对同学们来说,这是一个陌生的问题,可能会感到无从下手.现在,我们不妨这样来思考:
(教师取出在透明纸上事先画好的图2挂在黑板上.)
师:
若A、B是直线a两侧的已知点,现要在a上作出一点C,使AC+CB为最小,怎么办呢?
请同学们在白纸上作出点C.
生:
这个问题容易解决,连结AB,设其交直线a于点C,则点C即为所求.
[当一个问题比较困难,不好解决时,我们往往采取“退一步”的方法,如寻求问题在简单情况下的解,或问题在特殊条件下的解等等,以便帮助我们找到原问题的解法.这种“以退为进”的思想方法是数学中常用的方法,应有意识地教给学生.]
师:
若将纸片的下半部分沿直线a向上旋转一个角度,此时A、B两点不在同一个平面上了,如图3所示.试在直线a上求一点C,使AC+CB为最小.譬如大家可设想有一小虫,在纸面上要从A点爬到B点,问它沿怎样路线爬才最近?
生:
将纸片的下半面绕直线a旋转回图2的情况(即将原纸片展平),在展平后的纸面上连结AB,设其交a于点C,则点C即为所求.
[将特殊情况推广到一般情况,也是数学中常用的思考问题的方法,让学生从初中起就受到这一训练,对提高他们的能力是大有好处的.]
师:
若将图3中直线a下方的半个纸面继续沿直线a旋转,直至与上半面叠合(教师边讲边演示),这时A、B即处于直线a的同侧了(图4).
大家很容易看出图4实际上是图3的另一种特殊情况.显然,其解可用一般方法来求得.即:
将含有点A的半个面,沿直线a旋转,使其变为图2的情形,再求解.用数学语言可描述如下:
作点A关于直线a的对称点A',连结A'B,设其交直线a于点C,则C点即为所求的点.
(教师引导学生将手中的白纸沿a对折,然后再展开,去理解为什么要作点A关于直线a的对称点A'.)
师:
请同学们作出点C并具体地写出作法.
(学生作图略.)
师:
由轴对称的性质1可以知道,对称轴是对应点连线的垂直平分线,即相互对称的点到轴上任一点的距离相等.因而,当考虑某一点和轴上的点之间的距离时,这个点可以用它的对称点来“代换”.如本例,当用点A来考虑问题感到困难时,便可用点A的轴对称点A'来“代换”.由于“代换”后,点A'和点A到轴上任一点的距离都相等,故AC=A'C,因而原问题中对AC+CB最小的要求,可变换成对A'C+CB最小的要求.由于A'和B此时已处于a的两侧,因而变换后的新问题成了一个显而易见的问题,这就最终达到了我们解决原问题的目的.
下面,大家利用轴对称的这条性质来证明我们作出的点C确是符合要求的.
(学生证明略.)
[例2]如图5,AD是等腰三角形ABC的顶角A的外角平分线,E是AD上异于A的任意点,求证:
BE+EC>AB+AC.
师:
由于AD是∠A的外角平分线,所以AC和AF是关于AD对称的对应直线,
BE+EC′>AB+AC'了,从图上可以看出,这个结论的正确性是显而易见的.
(具体证明略.)
[这一例子的目的是为了进一步加深学生对性质1的理解,并提高学生对性质1的运用能力.]
[例3]如图6,在∠AOB的OA边上取两点P和S,再在OB边上取两点Q和T,使OQ=OP,OT=OS,PT和QS相交于点X,求证:
OX平分∠AOB.
师:
这道例题是同学们已经做过的一道练习题,过去我们用全等三角形的性质证明过,证明过程需要几经周折,若能用轴对称性质来证明,则要简明多了.怎样证呢?
请大家先思考些问题.
这个图形是否是轴对称图形?
它的对称轴是哪条直线?
哪些点和线是相互对应的?
生:
(回答略.)
师:
由于∠AOB关于它的角平分线成轴对称图形,又OP=OQ,OS=OT,所以
因而连结对应点的线段PT和QS也相互对应,
根据轴对称性质2,对应线段的交点X必在对称轴上(即∠AOB的平分线上),所以OX平分∠AOB.
三、小结
这节课,我们重点讲解了轴对称性质的应用.轴对称的两条性质是利用轴对称解决问题的基础,应深刻理解和掌握.将一个图形变为它的对称图形,我们称为“对称变换”,利用这种“变换”,我们常常可以将原问题变得更加简单和直观.关于这方面的知识,我们在今后的学习中还会碰到.
四、作业
1.讨论题:
如图,若在本节所讲的例1中,将作法改为:
(1)作点B关于直线a的对称点B';
(2)连结AB'交a于点D.
试问这样作出的点D和原作法中的点C是否重合?
为什么?
(这道题是为了让学生学习如何应用轴对称的性质2去解决有关的几何问题,以免学生忽视对性质2的应用.)
2.阅读课本并做课本习题(略).
3.思考题:
在∠XOY内有一点P.试在角的两边OX、OY上分别找出点Q、R,使△PQR的周长PQ+QR+PR最小.
教案说明
(1)这节课所讲的例1,是轴对称的一个典型应用问题,它的解答方法对初二学生来说是陌生的,不少学生学完后,对这种解法总是感到迷惑,“怎么会想到要作点A的轴对称点A'?
”为了解决这一问题,在设计本教案时,并不注重例题解答的本身,而是将重点放在试图启发学生在思考中自己找出解题方法.这样做,突出了解题背景,使学生对这一问题有较全面的认识,以便深刻理解这一解法的实质.同时,在解题中,学生还会受到正确认识问题和思考问题方法上的训练,这对培养学生的能力是有利的.
(2)在本课的讲解中,应注意加深学生对轴对称性质的理解.对接受能力较强的同学来说,可引导他们从轴对称变换这种较高的观点上来理解本节课所讲的内容.虽然,在目前初中的教学中,对此还不作要求,但对有条件的学校和班级来说,适当补充有关轴对称应用的例题,对提高学生的能力是大有好处的.本节教案中的例2,就是一个这样的例子.另外,作业中的思考题3,也可作为一个例子.
14.1轴对称
(二)
教学目标
1.理解轴对称的概念和轴对称的性质及判定,并会初步运用它们来解决问题.
2.会画简单图形关于某直线的对称图形.
3.渗透图形间运动、联系的观点及对称的感受.
教学重点和难点
重点是轴对称的概念以及画出简单的关于某直线的对称图形;难点是轴对称的性质及几何极值问题.
教学过程设计
一、从图形的运动过程引出轴对称的概念的教学
1.概念的发生过程.
教师给出如图的三组教具,引导学生观察并逐一回答以下几个问题.
(1)每组中的两个三角形形状、大小有何关系?
答:
形状、大小完全相同,或称能完全重合,或两三角形全等.
(2)从运动的角度来看,分别由其中的一个三角形怎样得到另一个三角形?
答:
图1(a)中可平移得到;图1(b)中可沿MN线折叠得到;图1(c)中可绕点O旋转180°得到.
让学生演示上述三个过程.教师指出:
两图形重合,可以通过平移、对称等方式得到,而对称方式也有两种,它们是几何中常用的两种对称,今天学习第一种.引出课题.
2.对轴对称概念的准确描述及理解.
(1)让学生用语言准确简练地描述图形(b)的运动过程,得到轴对称的概念及对称点、对称轴的概念.
(2)教师应强调以下几点:
①轴对称涉及两个图形,它们能完全重合,因此轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系;
②概念对两个图形的重合方式有限制,它们的位置关系必须满足沿某一条直线对折后能重合.
二、学习轴对称的性质和判定定理
引导学生操作图1(b)的教具,由轴对称的概念得出轴对称的三条性质及一种判定方法——课本上的四个定理.
注意四个定理的作用:
1.定理1在解决折叠问题中有着很重要的应用,需认清对应元素及关系.
但定理1的逆命题不正确,即全等的图形不一定关于某直线对称.反例图形如图1(a),(c).
2.定理2可用来确定关于某直线对称图形的对称轴.它的逆命题即定理4可用来判定两个图形关于某直线对称,是作关于某直线对称的图形的主要依据.
3.定理3说明,如果成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交,那么,它们和轴三线交于一点,可用它来简化作图;但定理3的逆命题不正确,反例图形如图2,梯形ABCD与梯形A'B'C'D'(AB∥CD∥l∥C'D'∥A'B').
三、轴对称的作图
例1如图3(a)~(e),画出下列图形关于直线l的对称图形.
求作:
图3(a)中点P关于l的对称点;图3(b)中线段AB关于l的对称线段;图3(c)中△ABC关于l的对称三角形;图3(d)中△ABC关于l的对称三角形;图3(e)中直线m关于l的对称直线.
说明:
作图方法可总结为
①作点P关于l的对称点时,垂直——延长——截取等长,当P在对称轴上时,对称点仍是P本身;
②作线段或封闭图形关于轴的对称图形时,先找每一顶点的对称点,然后再按对应顺序顺次连结,即图3中(c),(d)的作法可推广到作多边形关于某直线的对称图形;
③作直线m关于轴l的对称直线时,可找出m上任一点A关于轴的对称点A',利用定理3作出过l与m的交点O和A'的直线即可.
四、轴对称性质的应用
1.最短路线问题.
例2如图4(a),要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,修在河边什么地方,可使所用的水管最短?
引导学生画图分析题意并用数学语言叙述问题如下:
已知:
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- 第十四 轴对称 图形