线性变换练习题.docx
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线性变换练习题.docx
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线性变换练习题
线性变换习题
一、填空题
1.设就是的线性变换,,,就是的一组基,则在基下的矩阵为_______________,又则_________。
2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵,定义n维列向量空间的线性变换:
,则= ,= 。
3.设上三维列向量空间的线性变换在基下的矩阵就是,则在基下的矩阵就是。
4.如果矩阵的特征值等于1,则行列式=。
5.设A=,就是P3上的线性变换,那么的零度=。
6.若,且,则的特征值为。
7.在中,线性变换D(),则D在基下的矩阵为。
8.在中,线性变换在基下的矩阵就是。
9.设的三个特征值为,,,则++=,=。
10.数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为维线性空间,它与同构。
11.已知n阶方阵满足,则的特征值为。
12.已知3阶矩阵的特征值为1,2,3,则。
13.设为数域上的线性空间的线性变换,若就是单射,则=。
14.设三阶方阵的特征值为1,2,-2,则=。
15.在中,线性变换D(),则D在基下的矩阵
为。
16.已知线性变换在基下的矩阵为,则在基下的矩阵为。
17.设上三维列向量空间的线性变换在基下的矩阵就是,则在基下的矩阵就是。
18.设线性变换在基的矩阵为,线性变换在基下的矩阵为,那么在基下的矩阵为、
19.已知n阶方阵满足,则的特征值为。
20.已知线性变换在基下的矩阵为,则在基下的
矩阵为。
21.在中,若向量组,,线性相关,则。
22.若线性变换在基下的矩阵为,则在基下的矩阵为
矩阵为。
23.若,且,则的特征值为。
二、选择题
1.下列哪种变换一定就是向量空间的线性变换()。
A.B.
C.D.
2.当阶矩阵适合条件()时,它必相似于对角阵。
A.有个不同的特征向量B.就是三角矩阵
C.有个不同的特征值D.就是可逆矩阵
3.设就是向量空间上的线性变换,且,则的所有特征值为()。
A.2B.0,2C.0D.0,2,1
4.设就是3维向量空间上的变换,下列中就是线性变换的就是()。
A.=B.=
C.=D.=
5.设就是向量空间的线性相关的向量组,就是的一个线性变换,则向量组在下的像()。
A.线性无关B.线性相关C.线性相关性不确定D.全就是零向量
6.n阶方阵A有n个不同的特征值就是A可以对角化的()。
A.充要条件B.充分而非必要条件
C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件
7.设就是向量空间的线性变换且,则的特征值()。
A.只有1B.只有C.有1与D.有0与1
8.如果方阵与对角阵相似,则=()。
A、B、C、D、
9.设、为阶矩阵,且与相似,为阶单位矩阵,则()。
A.B.与有相同的特征向量与特征值
C.与相似于同一个对角矩阵D.
10.设4级矩阵与相似,的特征值就是1,2,3,4,则的行列式就是()。
A.-24B.10C.24D.不能确定
11.设就是维线性空间的线性变换,那么下列说法错误的就是()。
A、就是单射B、就是满射
C、就是双射D、就是双射就是单位映射
12.设为3阶矩阵,且均不可逆,则错误的就是()。
A、不相似于对角阵B、可逆C、D、
13.设为3阶矩阵,且其特征多项式为,则错误的就是()。
A、相似于对角阵B、不可逆C、D、
14.维线性空间的线性变换可以对角化的充要条件就是()。
A.有个互不相同的特征向量B.有个互不相同的特征根
C.有个线性无关的特征向量D、不存在个互不相同的特征根
15.设就是3维向量空间上的变换,下列中就是线性变换的就是()。
A.=B.=
C.=D.=
16.设就是向量空间上的线性变换,且,则的所有特征值为()。
A.2B.-1,1C.0D.0,2,1
17.维线性空间的线性变换可以对角化的充要条件就是()。
A、有个互不相同的特征向量B、有个互不相同的特征根
C、有个线性无关的特征向量D.就是可逆线性变换
18.2、设矩阵A的每行元素之与均为1,则()一定就是的特征值。
A、0B、1C、2D、3
19.
第一页
设就是3维向量空间上的变换,下列中就是线性变换的就是()。
A.=B.=
C.=D.=
20.设,则下列各式成立的就是()。
A、B、
C、D、
三、计算题
1.设表示实数域上的次数小于3的多项式,再添上零多项式构成的线性空间,而,,就是的一组基,线性变换满足
求在已知基下的矩阵
(2)设,求。
2.设就是二维列向量空间的线性变换:
设,定义。
(1)求值域的基与维数;
(2)求核的基与维数。
3.设线性变换在基下的矩阵就是
(1)求矩阵以及线性变换的特征值与特征向量;
(2)判断就是否可以对角化(即线性变换就是否在某组基下的矩阵为对角形),若不能对角化,说明理由;若可以对角化,求可逆阵,使为对角形。
4.令表示实数域上的三元列向量空间,令,若,作变换。
(1)证明为上的线性变换;
(2)求及其维数;(3)求及其维数。
5.设矩阵,
(1)求的特征值与特征向量;
(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵。
6.令表示实数域上的三元列向量空间,,,,。
(1)若,证明为的一组基;
(2)求到的过渡矩阵;
(3)若,作变换,证明为上的线性变换;
(4)求及其维数;
(5)求及其维数。
7.设就是的线性变换,。
(1)求及其维数;
(2)求及其维数。
8.设线性变换在基下的矩阵就是。
(1)求矩阵以及线性变换的特征值与特征向量;
(2)判断就是否可以对角化(即线性变换就是否在某组基下的矩阵为对角形),若不能对角化,说明理由;若可以对角化,求可逆阵,使为对角形矩阵。
9.令表示实数域上的三元列向量空间,令,若,作变换。
(1)证明为上的线性变换;
(2)求及其维数;(3)求及其维数。
10.设为的基,且线性变换在此基下的矩阵为。
(1)求的特征值与特征向量;
(2)求可逆矩阵,使就是对角矩阵。
11.设三维线性空间的线性变换在基下的矩阵为。
(1)求的值域及其维数;
(2)求的核及其维数。
12.设表示实数域上的次数小于3的多项式,再添上零多项式构成的线性空间,而,,就是的一组基,线性变换满足,,
(1)求在已知基下的矩阵;
(2)设,求。
13.给定的两组基;。
定义线性变换:
。
(1)写出由基到基的过渡矩阵;
(2)写出在基下的矩阵;
(3)写出在基下的矩阵。
14.设线性变换在基下的矩阵就是,求可逆矩阵,使得为对角形矩阵。
15.设。
(1)求的全部特征值;
(2)求的属于每个特征值的特征向量;
(3)求一个可逆矩阵,使为对角形。
16.设,且在的基下的矩阵=。
问
(1)就是否可以对角化?
(2)若能对角化,求出的一个基,使在此基下的矩阵为对角矩阵。
17.设数域P上三维线性空间V的线性变换在基下的矩阵A。
(1)求在基,下的矩阵;
(2)设,求在基下的坐标。
四、证明题
1.设就是数域上的维向量空间的线性变换,又就是的一个基,证明。
2.设,都就是向量空间的线性变换,就是,的不变子空间,证明也就是的不变子空间。
3.设就是数域上线性空间的线性变换且。
证明:
(1)的特征值为1或0;
(2);(3)。
4.设就是向量空间的两个子空间,就是的一个线性变换,证明:
若都就是的不变子空间,则也就是的不变子空间。
5.设就是向量空间的一个线性变换,都就是的不变子空间。
证明:
也就是的不变子空间。
6.证明:
线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。
7.设就是数域上的维线性空间的线性变换,且(恒等变换)。
(1)证明:
的特征值只能为1或-1;
(2)用分别表示的属于特征值1与的特征子空间,证明:
。
8.设为数域上的维线性空间的线性变换。
证明:
。
9.设,且,、证明、其中为恒等变换。
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