分式方程的概念及解法.docx
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分式方程的概念及解法
分式方程的概念,解法
知识要点梳理
要点一:
分式方程的定义
分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释:
1.分式方程的三个重要特征:
①是方程;②含有分母;③分母里含有未知量。
2.分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知
数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:
关于的方程和
都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程。
要点二:
分式方程的解法
1.解分式方程的其本思想
把分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,将分式方程转化
为整式方程,然后利用整式方程的解法求解。
2.解分式方程的一般方法和步骤
(1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)验根:
把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公
分母等于零的根是原方程的增根。
注:
分式方程必须验根;增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零。
3.增根的产生的原因:
对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。
规律方法指导
1.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.
经典例题透析:
类型一:
分式方程的定义
1、下列各式中,是分式方程的是()
A. B. C. D.
举一反三:
【变式】方程中,x为未知量,a,b为已知数,且,则这个方程是()
A.分式方程 B.一元一次方程 C.二元一次方程 D.三元一次方程
类型二:
分式方程解的概念
2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x=0这样的分式方程可以是______________.
举一反三:
【变式】在中,哪个是分式方程的解,为什么?
类型三:
分式方程的解法
3、解方程
举一反三:
【变式】解方程:
(1)=;
(2)+=2.
类型四:
增根的应用
4、当m为何值时,方程会产生增根()
A.2 B.-1 C.3 D.-3
举一反三:
【变式】.若方程=无解,则m= 。
学习成果测评
基础达标
选择题(请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内)
1.要把分式方程化成整式方程,方程两边需要同时乘以().
A.2x-4 B.x C.2(x-2) D.2x(x-2)
2.方程的解是().
A.1 B.-1 C.±1 D.0
3.把分式方程的两边同时乘以(x-2),约去分母得().
A.1-(1-x)=1 B.1+(1-x)=1
C.1-(1-x)=x-2 D.1+(1-x)=x-2
填空题
4.已知若(a、b都是整数),则a+b的值是______.
5.已知,则______________.
6.已知,则分式的值为______________.
解答题
7.解方程
(1);
(2).
8.观察图示的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律:
(1)写出第五个等式,并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示.
(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式.
综合探究
解答题
9.先阅读下列一段文字,然后解答问题.
已知:
方程的解是x1=2,x2=;
方程的解是x1=3,x2=;
方程的解是x1=4,x2=;
方程的解是x1=5,x2=.
问题:
观察上述方程及其解,再猜想出方程的解,并写出检验.
10.阅读理解题:
阅读下列材料,关于x的方程:
的解是x1=c,x2=;
的解是x1=c,x2=;
的解是x1=c,x2=;…….
(1)请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程(m≠0)与它们的关系,猜想它的解是什么,并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证,可以得出结论:
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数,方程右边的形式与左边完全相同,只把其中未知数换成了某个常数,那么这样的方程可以直接得解,请用这个结论解关于x的方程:
.
答案与解析:
选择题
(提示:
关键是要将分式方程化成整式方程,所以选项A、B、C均不能达到目的.)
(提示:
本题不用考虑选项A、B、C,因为x=1或者-1时,原方程没有意义.只需要将x=0带入原方程检验即可.)
(提示:
本题有两个地方需要注意:
(1)去分母时第二个分式的分子要带括号,这样可以避免符
号出错;
(2)方程的右边也要乘以(x-2).)
填空题
(提示:
本题的关键是找出通项,,即可求出a、b的值.)
5.(提示:
先将两边平方,可得x2+=14,然后将所求代数式取倒数,求得
=15,最后再取倒数即可.)
6.(提示:
由得出x-y=-3xy,带入所求分式的分子和分母即可.)
解答题
7.
(1)3(提示:
按解方程的步骤,注意不要跳步.)
(2)无解(提示:
本题要注意解方程后一定要检验.)
8.
(1);图示略.
(2)(提示:
找到通项是本题关键,建议大家先关注第
(2)问.)
综合探究
解答题
9.x1=11,x2=-;代入检验即可.
10.
(1)x1=c,;代入检验.
(2).
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