概率论测试项目(总).doc
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概率论测试项目
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目录
一、概率论与随机过程相关外文资料
二、随机变量与随机过程的概念
三、绘制正态分布的密度函数的图形
四、用统计软件解决随机过程计算问题
五、中心极限定理的仿真实验
六、《概率论与随机过程》学习总结
一、概率论与随机过程相关外文资料
1、摘要翻译
采用业绩衡量的做法日益广泛,是寻求可持续竞争优势的公司取得成功的关键因素。
因此,有必要制定一种系统的方法,使公司更加注重业绩衡量。
本文提出了一种基于OPI概念的企业经营绩效指标(OPI)。
顾客到达从泊松过程和指数分布..为了支持该方法的有效使用,给出了OPI的统计性质,并构造了一步的操作过程。
该方法不仅可以评价和判断当前的性能是否达到六西格玛的水平,而且可以提高参数估计的精度。
为了验证该方法的实用性和可行性,本文将该方法应用于一个实际的运行绩效评价和改进案例研究中。
结果表明,该方法为实现六西格玛提供了一种更为有效的方法,可以在实际操作管理和持续改进中实现。
2、论文中有关的概率论与随机过程问题
该论文介绍了OPI(经营绩效指数)的发展,以及OPI的定义和统计特性。
还介绍了OPI与六西格玛的关系,以及OPI的估计和置信区间。
文中给出了一种基于顾客从泊松过程到商店的概念的经营绩效指数(OPI)的操作步骤。
在章节中给出了一个真实的案例研究。
4说明了该方法的应用。
5结论和今后研究的途径在章节中作了总结。
该论文在介绍OPI的发展时对顾客到商店过程进行了分析,发现到达一家商店的顾客人数N(t)符合泊松分布。
顾客到达商店的间隔时间的平均值遵循指数分布。
二、随机变量与随机过程的概念
1、随机变量
概念:
在做实验时,常常是相对于试验结果本身而言,我们主要还是对结果的某些函数感兴趣。
例如,在掷骰子时,我们常常关心的是两颗骰子的点和数,而并不真正关心其实际结果,就是说,我们关心的也许是其点和数为7,而并不关心其实际结果是否是(1,6)或(2,5)或(3,4)或(4,3)或(5,2)或(6,1)。
我们关注的这些量,或者更形式的说,这些定义在样本空间上的实值函数,称为随机变量。
因为随机变量的值是由试验结果决定的,所以我们可以给随机变量的可能值指定概率。
例:
某足球队外出比赛,赛-场看做次随机试验,结果有3个:
胜、负、平,分别用心表示,则样本空间为S=(er,e,ey).为了评定最后的比赛名次,得要将试验结果数量化,通常按胜一场记2分,负一场记0分,平一场记1分的规则记分若令X表示该足球队赛一场的得分数,那么容易看到它具有下列特征.
(1)它是取值0,1,2的一个变量,而且它的取值依赖于试验结果e,这种依赖关系可以用一个样本点e的函数来表示,即
2,e=e1
X=X(e)=0,e=e2
1,e=e3
(2)若由过去的比赛记录统计,该足球队外出比赛获胜的概率为1/2,打平或输球的机E率均为1/4.于是X的取值有概率规律:
P{X=2}=1/2,P{X=0}=1/4,P(X=1)}=1/4.同样,对任意给定的实数x,
{X≤x}={e|X(e)≤x}是一个事件,因而可求出其概率
例如:
当x=-0.1时,有
P{X≤-0.1}=P{e|X(e)≤-0.1}=P(φ)=0;
当x=0.3时,有
P{X≤0.3}=P{e|X(e)≤0.3}=P{e2}=1/4;
当x=1时,有
P{X≤1}=P{e|X(e)≤1}=P{e2,e3}=1/2;
当z=2.001时,有
P{X≤2.001}=P{e|X(e)≤2.001}=P{S}=1;
这就是说,变量x的取值是有一定概率规律的,所以把X称为随机变量.
分类:
离散型
离散型(discrete)随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。
例如某地区某年人口的出生数、死亡数,某药治疗某病病人的有效数、无效数等。
离散型随机变量通常依据概率质量函数分类,主要分为:
伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。
连续型
连续型(continuous)随机变量即在一定区间内变量取值有无限个,或数值无法一一列举出来。
例如某地区男性健康成人的身长值、体重值,一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。
有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中,如:
均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。
性质:
随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响,可能取各种不同的值,故其具有不确定性和随机性,但这些取值落在某个范围的概率是一定的,此种变量称为随机变量。
随机变量可以是离散型的,也可以是连续型的。
如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量,被测定量的取值可能在某一范围内随机变化,具体取什么值在测定之前是无法确定的,但测定的结果是确定的,多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。
随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于,后者的测定结果仍具有不确定性,即模糊性。
引入随机变量的意义:
引入随机变量,使我们可以研究一个随机试验中中所有的可能结果(即随机事件),特别是随机事件有可列个或连续取值以至于无限时。
引入随机变量的关键是由于随机变量的引入,才使我们研究随机现象有了有力工具。
我们知道概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科,也就是从表面上杂乱无章、形式偶然的现象中探索出现象的规律性的一门数学学科(这里的规律性,无非是指各种试验结果以多大概率出现这一问题)。
正是因为如此,探求这个规律性的工具应该适用于各种形式的随机现象,而且还应该简便、有力。
分布函数F(x)就是这样一个工具,但这个函数是在引入随机变量后定义的,F(x)=P{ξ 分布函数可以把各种类型的随机试验的结果的概率分布用一个统一的形式表示出来,它就是一个普通的函数,它有很好的分析性质,便于处理,它的引入使得许多概率论问题得以简化而归结为普通函数的运算,这样就能利用数学分析的结果研究随机现象规律性。 2、随机过程 概念: 在概事论中研究的对象是随机变A.随机变的特点是: 每次试验的结果都是以一定的概率出现的、事先未知但又是确定的“数值”.在实际问题中,常常需要研究在试验过程中随时间而变化的随机变册,即随时间的改变而随机变化的过程有时,在试验过程中随机变t也可能随其他某个参数变化,这就要研究随某个参数的改变而随机变化的过程.我们把这类随某个参数(可以是时间)的改变而随机变化的过程称为随机过程,把这个参数统称为时间.问题在于如何描述和研究这样一个随机变化的过程. 例: 如果从L=1开始,每隔单位时间掷一次骰子,共掷n次,观察各次掷得的点数,这就是随机过程.若记第k次掷得的点数为Xk(k=1....n),容易想到这随机过程可用维随机变量(X1X2X3......Xn)来描述.抽象化,可以说一个n维随机变量就是一个简单的随机过程,若记T={1,2.....,n},则(X1X2X3......Xn)也可用随机变量族{X.k∈T}来表示记Xk(k=1,2,....,n)所有可能的取值的全体为I.通常称T为该过程的参数集,I为它的状态空间。 对该过程一次观察的结果(x1,x2,x3......xn)是一随机出现的n维向量,可称为是它的一个样本向量,其中xk是xk的观察值(k=1,2,....,n),在一次试验中,,随机过程取一个样本向量,但究竟取哪一个带有随机性,这也就是说在试验前不能确取哪个样本向量,但是在大量的观察中样本向量出现是有统计规律性的如果已知X1X2X3......Xn的联合分布则这一随机过程的统计特性就就完全确定. 分类: 随机过程的种类很名,根据不同的标准便得到不同的分类按照随机过程X(t)的时间和状态是连续还是离散,可分成以下4类 (1)连续型随机过程 如果一随机过程{X(t),tET)的参数集T是连续集,且对于任意的I∈T,X (1)是连续型随机变量,则称{X(t),t∈T}为连续型随机过程. (2)离散型随机过程 如果一随机过程(X(t),iET}的参数集T是连续集,且对于任意的t∈T,X(t)是离散型随机变量则称(X(t),t∈T}为离收型随机过程. (3)连续型随机序列 如果一随机过程{X(t),t∈T}的参数集T是离散集,且对于任意的t∈T,X(t)是连续型随机变量,则称(X(t),t∈T)为连续型随机序列. (4)离散型随机序列 如果一随机过程{X(t),t∈T}的参数集T是离散集,且对于任意的t∈T,X(t)是离散型随机变量,则称{X(D),t∈T)为离散型随机序列. 对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。 有正态过程、二阶过程、独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程等。 贯穿这些过程类的有个最重要最基本的过程,布朗运动和泊松过程,它们的结构比较简单,便于研究而应用又很广泛。 从它们出发,可以构造出许多其他过程。 三、绘制正态分布的密度函数的图形 1、在A4处输入-5,A5处输入-4.8,选择A4和A5下拉生成以-5到5的公差为0.2等差数列。 2、在B4处输入公式“=NORMDIST(A4,0,1,0)”(第二个参数表示算术平均值,第三个参数表示标准偏差值,第四个参数表示返回累积分布函数。 )选择B4下拉到与A列数值为5的齐平位置。 3、在C列、D列、E列重复2步骤操作,但是公式中改变第二个或者第三个参数的值。 4、全选择B列、C列、D列、E列有数值处,插入折线图表,得到正太分布密度函数图形。 通过分析观察四组参数不同的正太分布密度函数图形可以得到,σ越大正太分布密度函数峰值越小图形越平缓,μ的值为正太分布密度函数图对称轴的所在位置。 四、用统计软件解决一些概率论与随机过程计算问题 题1: 已知随机变量,试求 1、在A2处输入0,A3处输入1,选择A2和A3下拉到数值为100停止。 2、在B2处输入公式“=BINOM.DIST(A2,100,0.38,0)”,选择B2下拉到与A列数值为100齐平的位置。 3、在E5处输入公式“=SUM(B35: B102)”,计算结果为题目所求。 题2: 已知随机变量,试求 1、在A105处输入0,A106处输入1,选择A105和A106下拉到数值为100停止。 2、在B105处输入公式“=POISSON(A105,6,0)”,选择B105下拉到与A列数值为100齐平的位置。 3、在E111处输入公式“=SUM(B111: B205)”,计算结果为题目所求。 题3: 某单位设置一电话总机,共有200个电话分机,设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,并假定各个分机是否要使用外线通话是相互独立的。 问总机要至少要有多要条外线,才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时是可供使用? 设要n条外线,x~b(200,5%),E(x)=10D(x)=9.5 P(x P((x-10)/(sqrt(9.5))<(n-10)/(sqrt(9.5)))>=90%Φ(1.28)=90% (n-10)/(sqrt(9.5)>1.28n=14 1、在I2处输入200 2、在I3处输入0.05 3、在I4处输入公式“=I2*I3”
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