关于行列式的一般定义和计算方法.docx

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关于行列式的一般定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法

n阶行列式的定义

a11

a12

a1n

n阶行列式

a21a22

a2n

=

（1）

（j1j2jn）a1j

a2j

2

anj

n

j1j2

jn

1

an1

an2

ann

a11a12a13

Da21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32

a31a32a33a13a22a31a12a21a33a11a23a32（1

2N阶行列式是N!

项的代数和;

3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;

特点:

（1）（项数）它是3!

项的代数和;

（2）（项的构成）展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.

其一般项为:

（3）（符号规律）三个正项的列标构成的排列为123,231,312.

它们都是偶排列;

三个负项的列标构成的排列为321,213,132,

它们都是奇排列.

§行列式的性质

性质1：

行列式和它的转置行列式的值相同。

a11

a12

a1n

a11a21

an1

即a21a22

a2n=

a12a22

an2；

an1

an2

ann

a1na2n

ann

行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.

a

b

c

d

如:

D=

=ad-bc,

=bc-ad=-D

c

d

a

b

以ri

表第i

行，Cj表第j列。

交换

i,j两行记为ri

rj,交换i,j两列记作

Ci

Cj。

性质3：

如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值

等于零。

性质4：

把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k

的结果等于用这个常数k乘这个行列式。

（第i行乘以k，记作rik）

推论1：

一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行

列式符号的前面。

推论2：

如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行

列式值等于零。

推论3：

如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

ka

i1

kai2

kain

k

ai1

ai2

ain

an1

an2

ann

an1

an2

ann

性质5：

如果行列式

行列式D

D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么

等于两个行列式D1和D2的和。

a11

a12

a1j

b1

a1n

a11

a12

a1j

a1n

a11

a12

b1

a1n

a21a22

a2j

b2

a2n

a21a22

a2j

a2n

a21a

22

b2

a2n

=

+

an1

an2

anj

bn

ann

an1

an2

anj

ann

an1a

n2

bn

ann

性质6：

把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或

另一列）的对应元素上，行列式值不变。

推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和（m>2），则此行列式等于m个行列式之和。

定义：

行列式

aij

如果满足：

aij

a

ji

（i,j

1,

n）；

则称此行列式为对称行

列式。

一个

n阶行列式，如果它的元素满足：

aij

aji

i,j

1,2

n；试证：

当

n

为奇数时，此行列式为零。

每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD

性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。

按行：

ai1Aj1

ai2Aj2

ainAjn

0

i

j

按列：

a1iA1j

a2iA2j

aniAnj

0

i

j

将性质7与Laplace定理合并为下列结论：

n

D

i

j

aik

Ajk

（1）

k

1

0

i

j

n

D

i

j

和

aki

Akj

（2）

0

i

j

k

1

行列式的计算

1．利用行列式定义直接计算

例1计算行列式

0

0

1

0

0

2

0

0

Dn

n1

0

0

0

0

0

0

n

解Dn中不为零的项用一般形式表示为

a1n1a2n2

an11ann

n!

.

该项列标排列的逆序数t（n－1n－2⋯1n）等于（n1）（n

2），故

2

（n

1）（n2）

Dn（

1）

2

n!

.

2．利用行列式的性质计算

例2一个n阶行列式Dn

aij的元素满足

aij

aji

i,j

1,2,

n,

则称Dn为反对称行列式，证明：

奇数阶反对称行列式为零.

证明：

由aijaji知aiiaii，即

aii0,i1,2,,n

故行列式Dn可表示为

0

a12

a13

a1n

a12

0

a23

a2n

Dn

a13

a23

0

a3n

a1n

a2n

a3n

0

由行列式的性质AA

0

a12

a13

a1n

a12

0

a23

a2n

Dna13

a23

0

a3n

a1n

a2n

a3n

0

0

a12

a13

a1n

a12

0

a23

a2n

（

1）n

a13

a23

0

a3n

a1n

a2n

a3n

0

（

1）nDn

当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元

素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3计算n阶行列式

a

b

b

b

b

a

b

b

Db

b

a

b

bbba

解：

这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，

把第2，3，⋯，n列都加到第1列上，行列式不变，得

a

（n

1）b

b

b

b

a

（n

1）b

a

b

b

Da

（n

1）b

b

a

b

a

（n

1）b

b

b

a

1

b

b

b

1

a

b

b

[a

（n

1）b]

1

b

a

b

1

b

b

a

1

b

b

b

0

ab

0

0

[a（n1）b]0

0

ab

0

000ab

[a（n1）b]（ab）n1

4．降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4计算n阶行列式

a

0

0

0

1

0

a

0

0

0

0

0

a

0

0

Dn

0

0

0

a

0

1

0

0

0

a

解将Dn按第1行展开

a

0

0

0

0

a

0

0

0

a

0

0

0

0

a

0

Dna0

0

a

0

（1）n1

0

0

0

a

0

0

0

a

1

0

0

0

an

（1）n1

（1）nan2

an

an2.

5．逆推公式法

逆推公式法：

对n阶行列式Dn找出Dn

与Dn－1

或Dn与Dn－1

n－2之间的一

D

种关系——称为逆推公式（其中

Dn

n－1

n－2等结构相同），再由递推公式求出

D

D

Dn的方法称为递推公式法。

例5证明

x

1

0

0

0

0

x

1

0

0

Dn

0

0

0

x

1

an

an1

an2

a2

a1

x

xn

axn1

axn2

a

xa,（n2）

1

2

n1

n

证明：

将Dn按第1列展开得

x

1

0

0

0

0

x

1

0

0

Dn

x

0

0

0

x

1

an1

an2

an3

a2

a1

x

1

0

0

0

x

1

0

0

（1）n1an

0

0

x

1

anxDn1

由此得递推公式：

DnanxDn1，利用此递推公式可得

DnanxDn1anx（an1xDn2）

anan1xx2Dn2

anan1xa1xn1xn

6．利用范德蒙行列式

例6

计算行列式

1

1

1

x1

1

x2

1

xn

1

D

x12

x1

x22

x2

xn2

xn

x1n1

x1n2

x2n1

x2n2

xnn1

xnn2

解

把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以

此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

1

1

1

x1

x2

xn

D

x12

x22

xn2

（xixj）

nij

1

x1n1

x2n1

xnn1

7．加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例7

计算n阶行列式

x

a1

a2

an

a1

xa2

an

Dn

a1

a2

an

a1

a2

xan

1

a1

an

解：

Dn

0

Dn

0

1

a1

a2

an

第i行减第1行

1

x

0

0

i

2,,n1

1

0

x

0

（箭形行列式）

100x

naj

1

a1

a2

an

j1

x

0

x

0

0

0

0

x

0

0

0

0

x

n

a

xn1

j

x

j1

8．数学归纳法

例8计算n阶行列式

x

1

0

0

0

0

x

1

0

0

Dn

0

an

0

an1

0

an2

x

a2

a1

1

x

解：

用数学归纳法.当n=2时

D2

x

1

a2

x

x（xa1）a2

a1

x2

a1x

a2

假设n=k时，有

Dkxka1xk1a2xk2ak1xak

则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得

Dk1xDk

ak1

x（xk

a1xk1

ak1x

ak）ak1

xk1

a1xk

ak1x2

akxak1

由此，对任意的正整数n，有

Dnxna1xn1an2x2an1xan

9．拆开法

把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列

式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

a1

1

a2

an

例9

计算行列式

Dn

a1

a2

2

an

a1

a2

an

n

a1

a2

an

1

a2

an

a1

a22

an

0a2

2

an

解：

Dn

a1

a2

an

n

0

0

ann

a1

a2

an

0

2

an

1Dn1

0

0

n

a12

n

1Dn

1

⋯⋯

n

ai

12

n1

i1

i

上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体

问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。

学习中多练习，多总结，才能更好地

掌握行列式的计算。

ax

byaybzazbx

xyz

（1）ay

bzaz

bxax

by

（a3b3）yzx;

az

bxax

byay

bz

zxy

证明

ax

byay

bzaz

bx

ay

bzaz

bxax

by

az

bxax

byay

bz

x

ay

bzaz

bx

yay

bzaz

bx

ay

az

bxax

by

bzaz

bxax

by

zax

byay

bz

xax

byay

bz

xay

bz

z

y

zaz

bx

a2yaz

bx

x

b2z

xax

by

zax

by

y

x

yay

bz

x

y

z

y

z

x

a3y

z

x

b3z

x

y

z

x

y

x

y

z

x

y

z

x

y

z

a3y

z

x

b3y

z

x

z

x

y

z

x

y

x

y

z

（a3b3）y

z

x

z

x

y

关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）

a2abb2

（2）2aab2b（ab）3;

111

证明

a2

abb2c2c1a2aba2b2

a2

2a

a

b

2b

2a

ba

2b

2a

1

1

1

c3

c1

1

0

0

（1）31ab

a

2

b

2

2

（b

a）（b

a）aba（ab）

a

3

b

a

2b

2a

1

2

1111

abcd

（3）a2b2c2d2

a4b4c4d4

（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）;证明

1

1

1

1

a

b

c

d

a2

b2

c2

d2

a4

b4

c4

d4

1

1

a

1

a

1

a

0

b

c

d

（c2,c3,c4减数字去第一

0

b（b

a）

c（c

a）

d（d

a）

0b2（b2a2）c2（c2a2）d2（d2a2）

列的）

（b

a）（c

a）（d

a）

1

1

1

b

a）

c

d

a）

b2（b

c2（c

a）d2（d

（b

a）（c

a）（d

1

c

1

d

1

a）0

c（c

b

a）

d（d

b

ba）

0

b）（cb

b）（d

（b

a）（c

a）（d

a）（c

b）（d

b）c（c

1

a）

d（d

1

a）

b

b

=（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）

x

1

0

0

0

0

x

1

0

0

1

n1

n1

n

（4）

xn

a

0

0

x

1

ax

ax

0

anan1an2

a2xa1

证明

用数学归纳法证明

当n

2时D

2

x

1

x2ax

a

命题成立

a

x

a

1

2

2

1

假设对于（n

1）阶行列式命题成立

即

Dn1xn1a1xn2

an2xan1

则Dn按第一列展开

有

1

0

0

0

D

n

xD

a

（1）n1x

1

00

n1

n

1

1

x

1

xDn1anxna1xn1

an1xan

因此

对于n阶行列式命题成立

6设n阶行列式Ddet（aij）,

把D上下翻转、或逆时针旋转

90、或依副对角线翻转

依次得

an1

ann

a1n

ann

ann

a1n

D1a

a

D2a

a

D3a

a

11

1n

11

n1

n1

11

n（n

1）

证明D1

D2

（1）2DD3

D

证明

因为D

det（aij）

所以

an1

ann

a11

a1n

n1an1

ann

D1a

a

（

1）

11

1n

a21

a2n

a11

a1n

a21

a2n