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双变量关联性分析
第十三章双变量关联性分析
在医学研究中,常会观察到两个变量之间在数量上存在某种协同变化的关系,例如随着体内凝血酶浓度的升高,其凝血时间随之降低等。
这类关系在统计学上称为两个随机变量之间的关联性。
如何判断两变量间的关联性是否确实存在,以及如何描述关联的方向与密切程度是本章所要介绍的内容。
需要指出的是,关联性只反映变量间数量上的关系,但数量上的关联并不表示专业上的因果关系,其是否反映了变量间的因果关系还需其他手段加以确认。
本章介绍两个定量变量间的直线相关和两个分类变量间关联性的统计分析方法。
第一节直线相关
一、直线相关的概念及其统计描述
例13.1某医师测量了15名正常成年人的体重(kg)与CT双肾体积(ml)大小,
数据如表13.1所示。
据此回答两变量是否有关联?
其方向与密切程度如何?
表13.115名正常成年人体重和双肾体积的测量值
编号
体重(kg)
双肾体积(ml)
1
43
217.22
2
74
316.18
3
51
231.11
4
58
220.96
5
50
254.70
6
65
293.84
7
54
263.28
8
57
271.73
9
67
263.46
10
69
276.53
11
80
341.15
12
48
261.00
13
38
213.20
14
85
315.12
15
54
252.08
初步判断两变量间关系最直观有效的方法就是在平面直角坐标系中绘图,其
中一个变量用x表示,另一变量用y表示,在平面直角坐标系中可绘制这些实测
由上图可见,两变量的散点分布大致呈直线趋势,其数量变化的方向相同。
在统计学上两个随机变量之间呈直线趋势的关系被称为直线相关(linear
correlation),又称简单相关(simplecorrelation),其性质可由图13.2所示散点图作直观说明。
图13.2(a)、(b)中散点近似呈椭圆形分布,其变化趋势接近一直线,其中图13.2(a)中两变量同时增大或减小,变化趋势同向,称为正相关(positivecorrelation)。
图13.2(b)中一个变量随着另一个变量的增大而减小,变化趋势相反,
称为负相关(negativecorrelation)。
如全部数据点恰好散布在一条直线上,称为完全相关,这种特殊情况在实际医学研究中并不存在。
图13.2(c)中各点总的趋势杂
乱无章或大致呈圆形散布,则该两变量间无相关,也称零相关(zerocorrelation)。
图13.2(d)中各点散布也非直线趋势,亦属无相关,由于统计学中提到的相关通常是指直线相关,故无相关是指无直线关系,但可能存在非直线相关。
二、相关系数的意义及计算
定量描述两个变量间直线关系的方向和密切程度的指标,称为直线相关系数
(linearcorrelationcoefficient),又称Pearson积矩相关系数(Pearsonproductmoment
coefficient),其公式为:
邋xy-x?
y/n
.[(邋x2-(x)2/n][邋y2-(y)2/n]
相关系数r没有单位,取值范围在[-1,1]之间,其正负表示两变量间直线相关的方向,大于0为正相关,小于0为负相关,等于0为零相关。
相关系数的绝对值大小表示两变量间直线相关的密切程度,绝对值越接近于1,说明相关密切程度越高;绝对值越接近于0,说明相关密切程度越低。
现结合图13.1解释相关系数的含义。
经横纵坐标上x与y处两条相互垂直的直线可将此图分为4个象限,若两变量呈正相关,多数数据处于第一、三象限,此时式(13.1)的分子为正数,r>0;若两变量呈负相关,多数数据处于第二、四象限,此时式(13.1)的分子为负数,r<0。
其中一个极端是所有数据均位于经过点(x,y)的直线上,即全部数据点要么都在第一、三象限,要么都在第二、四象限,此时式(13.1)的分子各项的正负号完全相同,相加后得到其最大或最小值,r=1或r=-1,分别对应于完全正相关或完全负相关;另一个极端是所有数据围绕点(x,y)成圆形均匀分布在4个象限内,此时式(13.1)的分子各项相加后正负号相互抵消,分子为0,r=0,即零相关。
通过以上解释可知,式(13.1)中位于分子的离均差乘积和(lxy)可反映两变量直线相关的方向和密切程度。
如同在单变量描述中,用离均差平方和的平均值即方差来反映数据的离散程度,以消除样本含量不同的影响一样,可将两变量的离均差乘积之和取平均,得到样本协方差,以便不同样本含量的问题比较其相关性。
协方差用符号Cov表示,计算公式为:
Cov(x,y)=—xy(13.2)
n-1
协方差的取值大小与x、y的量纲有关,不同实际问题中的协方差不可直接
比较。
为了消除量纲的影响,将两变量分别进行标准化(每个观察值减去均数再
除以其标准差)后再计算协方差,使之成为无单位的系数,便于不同问题进行比较。
如此得到标准化的协方差,即相关系数的另一种形式:
(13.3)
rCov(x,y)I:
SxSy
当上式右端分别为总体协方差和总体标准差时(其各自分子除以n而非
n-1),左端便是总体相关系数,习惯上记为P。
若PM0称两总体有直线相关关系;若=0,则称两总体无直线相关关系。
例13.2计算例13.1中体重与双肾体积之间的样本相关系数由式(13.1)分别算出
22
Ixx=-Cx)/n=2555.733
lyy二'y2-(、y)2/n=20270.495
lxy八xy-(二x^y)/n=6301.038
xy
':
:
.;'lxx1yy
推断总体上这种相关关系是否存在
三、相关系数的统计推断
用样本计算出来的相关系数r是一个样本统计量,存在抽样误差,需要对总体相关系数T是否为0作假设检验。
假定随机变量x和y均服从正态分布,可用以下方法进行推断:
1.t检验
r一0tr=_-(13.4)
Sr
式中,Sr为样本相关系数r的标准误,计算公式为:
Sr彳兴(13.5)
当H。
成立时,tr服从自由度为'••二n-2的t分布。
2.查表法
根据自由度;「=n-2,查相关系数界值表(附表14),|r|越大,P值越小;|r|
越小,P值越大。
以上两方法若得到P<.,则拒绝H。
,可认为两变量间存在直线相关关系;
若P■:
•,则不拒绝H。
,尚不能认为两变量间存在直线相关关系。
例13.3例13.2中算得r=0.875,试检验该相关系数是否具有统计学意义
(1)建立检验假设,确定检验水准
Ho=0,即体重和双肾体积之间无直线相关关系
Hi:
r=0,即体重和双肾体积之间有直线相关关系
:
=0.05
(2)计算检验统计量
由式(13.4)和式(13.5)得
=6.517
r=0.875
1-r21-0.8752
n-2'■15-2
■■■■=n—2=13
⑶确定P值,作出统计推断
查t界值表(附表3),得P<0.001,按〉=0.05水准,拒绝H0,接受H1,相
关系数有统计学意义,可以认为体重和双肾体积之间有直线相关关系。
如果直接查相关系数界值表(附表14),・;:
y13,605,13=0.514,8001,13=0.760,
P<0.001,此结果与t检验法一致。
假设检验是回答两变量间的相关关系是否具有统计学意义,P值越小并不表
示相关性越强,回答相关的强弱需要计算总体相关系数r的置信区间。
由于一般
情况下(—0时)■的抽样分布并不对称,故先对r按式(13.6)作z变换:
将式(13.7)的上、下限代入式(13.8),即得到总体相关系数T的(1-〉)置信区间。
例13.3(续)继例13.2中算得r=0.875后,试估计总体相关系数「的95%
置信区间
将r=0.875代入式(13.6),得
、110.875,)ln(
〔In(口)ln()=1.3540
21-r21-0.875
将z=1.3540,Z0.05/2=1.96和n=15代入式(13.7),得z的95%置信区间
(0.7882,1.9198);将z的上、下限分别代入式(13.8),得
T的下限:
e2z-1e(207882)-1
2z(2>0.7882)°.6574
e1e1
2z(21.9198)
「的上限:
1仝"=09579
2z(21.9198)
e1e1
故体重和双肾体积总体相关系数的95%置信区间为(0.6574,0.9579)
四、相关分析应用中应注意的问题
1.进行相关分析前应先绘制散点图
散点图能使我们直观地看出两变量间有无线性关系并发现可能的离群点(outlier),当散点有线性趋势时,才能进行相关分析。
2.直线相关分析的统计推断要求两个随机变量均服从正态分布
若某一变量是人为选定而非随机变量,如研究大鼠某项生理指标与不同给药剂量的关系,给药剂量通常是研究者人为控制的非随机变量,不服从正态分布,则不宜做直线相关分析。
3.出现离群点时慎用相关
图13.3(a)中可见一个明显远离主体数据的离群点,计算时是否包含此点可分别得到负相关或零相关两种不同结论。
对离群点的处理需认真核实数据的收集和录入过程,或进行重复观察。
4.相关关系不一定是因果关系
如测量某小学各年级学生的右手长度及其算术计算能力,可能会得到这两个
变量有统计学意义的相关关系,但显然两者并非因果关系,可能是学生年龄与二者的潜在联系造成了这种假象。
因此需结合专业知识及其他研究方法,才能对两变量间的相关是否确为因果关系作出判断。
5.分层资料不可盲目合并
图13.3(b)显示,将无相关性的两样本合并后造成正相关的假象;图13.3(c)显示,将原本具有相关性的分层资料合并后无相关性。
(a)(b)(c)
图13.3误用相关的几种情况
第二节秩相关
一、秩相关的概念及统计描述
前述直线相关适用于二元正态分布资料,对于不服从正态分布、总体分布未知、存在极端值或原始数据用等级表示的资料,都不宜用积矩相关系数来分析相关性。
此时,可采用秩相关(rankcorrelation),也称等级相关来分析两个变量间相关的方向与密切程度。
该法不以特定的总体分布为前提,属于非参数统计方法。
其中最常用的统计量是Spearman秩相关系数L,又称等级相关系数,其值同样在[-1,1]之间,无单位,rs<0为负相关,rs>0为正相关。
类似于直线相关,秩相关系数rs是总体秩相关系数。
的估计值。
计算Spearman秩相关系数可将n对实测值xi与yi(i=1,2,3,-n,,分别从小到大编秩(相同秩次取平均值),然后将秩次代入式(13.1)得到。
例13.4某研究者对15例30~50岁成年男子的舒张压(mmHg)与夜间最低血氧含量分级进行研究,结果见表13.2,试分析两者的关联性。
表13.215例成年男子的舒张压与夜间最低血氧含量分级测量值
编号舒张压秩次夜间最低血氧秩次
(1)
X
(2)
P
(3)
含量分级y
(4)
qi
(5)
1
75
1
1
2
2
80
2.5
1
2
3
80
2.5
2
5.5
4
90
5.5
1
2.0
5
90
5.5
2
5.5
6
90
5.5
2
5.5
7
90
5.5
3
9.5
8
95
8.5
2
5.5
9
95
8.5
3
9.5
10
100
10.5
3
9.5
11
100
10.5
3
9.5
12
110
12
4
13.5
13
115
13
4
13.5
14
120
14
4
13.5
15
125
15
4
13.5
合计
一
120
一
120
将两变量X、y成对的观察值分别从小到大编秩,以pi表示Xi的秩次,qi表示y的秩次,分别见表13.2中第(3)、(5)栏,观察值相同的取平均秩;将Pi、q直接替换式(13.1)中的x和y,即用秩次作为分析变量值,直接计算Pearson积矩相关系数。
Ipp八Pi2-CPi)2/n=273.5
Iqq八q2-Cqi)2/n=263.0
lpq八Zi-Cq)/n=240.5
1^=0.897
lpp1qq
判断由样本算得的秩相关系数是否有统计学意义,也应作假设检验。
二、秩相关系数的假设检验
总体秩相关系数:
?
s的假设检验,可用以下方法进行推断:
当n<50寸,可查等级相关系数界值表(附表15),若rs超过临界值,则拒绝H。
;当n>50时,贝U采用式(13.4)和式(13.5)作t检验。
例13.5对例13.4的秩相关系数作假设检验。
(1)建立检验假设,确定检验水准
H。
:
匚=0,即舒张压与夜间最低血氧含量分级无相关关系出:
匚=0,即舒张压与夜间最低血氧含量分级有相关关系
:
-=0.05
(2)计算检验统计量
(3)确定P值,作出统计推断
本例中n=15<50,查等级相关系数界值表(附表15),得嘔卜金凹=0.779,PvO.001,按】-0.05水准,拒绝H。
,接受比,可以认为舒张压与夜间最低血氧含量分级之间有正相关关系。
第三节分类变量的关联性分析
两个定量变量的关联性可用Pearson积矩相关系数或秩相关系数来描述;而两个分类变量间的关联性可用Pearson列联系数(contingencycoefficient)等统计量
来描述,其假设检验可采用列联表(contingencytable)的独立性2检验。
一、2X2列联表的关联性分析
例13.6为研究青少年在校情况与对艾滋病知晓情况之间的关系,某研究者在某地共调查了384名青少年,并对每名青少年按是否在校和对艾滋病是否知晓两种属性交叉分类,如表13.3所示。
试问两变量是否存在关联性?
表13.3某地青少年是否在校与对艾滋病是否知晓的交叉分类表
是否在校
是否知晓
-合计
是
否
是
156
62
218
否
27
139
166
合计
183
201
384
本例中,关联性问题对应的检验假设:
H0:
青少年是否在校与对艾滋病是否
知晓之间互相独立;H1:
青少年是否在校与对艾滋病是否知晓之间互相关联。
两变量x和y互相独立,即指变量x的概率分布与变量y的概率分布无关,否则称这两变量之间存在关联性。
根据随机事件独立性的定义,若两个随机事件同时发生的联合概率等于每个事件发生的边际概率相乘,则两随机事件是相互独立的。
如表13.3中,无论在校与否,是否知晓艾滋病的概率称为各自的边际概
156+2762+139
率(可用15627=0.48和62139=0.52来估计)。
同样,无论是否知晓艾滋病,
384384
在校与否的概率也称为各自的边际概率(可用15662=0.57和27139=0.43来
384384
估计)。
于是在独立性假定满足的条件下,“是否在校”和“对艾滋病是否知晓”组成的四种情况下的联合概率就等于相应边际概率的乘积。
如在校且同时知晓艾
滋病的联合概率为在校的边际概率与知晓艾滋病的边际概率相乘(218/384)(183/384)=0.27,余类推。
为了便于公式表示,将2^2列联表的一般形式整理如表13.4。
表中Aj为两变量不同水平组合下(x,yj)的实际观察频数,二j为相应的联合概率;ni为变量x取水平i时的合计频数,二ri为相应边际概率;mj为变量y取水平j时的合计频数,■:
cj为相应边际概率,i=1,2,j=1,2,n1n2=m1•m2=n,二门*r2二二d*c2=1。
表13.42X2列联表的一般形式及概率表达
y1
y2
合计
X1
A11(二11)
A12C-12)
n1(二r1)
X2
A21C21)
A22C"22)
n2C"r2)
合计
m1(二d)
m2(二c2)
n
(1)
这里进行关联性检验的统计量仍为第十一章中的2拟合优度统计量:
2
2八D
Tij
其中,Aj为实际频数,Tj为理论频数。
H。
成立时,该统计量服从2分布。
此公式中理论频数的计算如下:
若独立性假设H。
成立,则两变量不同水平组合所对应的在表13.4每一格子
中的联合概率等于相应变量的边际概率的乘积:
(13.9)
i,j=1,2
若分别用比和mj来估计边际概率行和二cj,代入(13.9)式,得到各联合概
nn
率估计值:
例如前述在校且同时知晓艾滋病的联合概率(昭)为在校的边际概率
二巴二空与知晓艾滋病的边际概率Z二巴二183相乘为
n384n384
n,叶218183
=\—\」1=1——I——1=0.27
11nn384384
于是,在H。
成立的条件下,理论频数Tj的估计公式为
nim:
Tj二n:
?
j-Li,j=1,2(13.10)
n
不难看出,此2值的计算与两样本率比较的2检验公式(11.2)完全一样。
四格表的专用公式(11.5)也仍然适用。
在计算理论频数的过程中,由于用样本估计值代替了两个独立参数£和2,故此处2分布的自由度为其计算公式中累计求和次数减1再减去所估计参数个数,即、•.=4-1-2=1或、=(2-1)(2-1)=1o
现就例13.6的数据作两变量关联性分析。
(1)建立检验假设,确定检验水准
H0:
青少年是否在校与对艾滋病是否知晓之间互相独立
H1:
青少年是否在校与对艾滋病是否知晓之间互相关联
:
=0.05
(2)计算检验统计量
将表13.3中数据代入式(11.5)得到:
22
(ad—be)n(156勺39—62江27)汇384一「l“
==115.508
(ab)(ed)(ae)(bd)218166183201
'■-=1
⑶确定P值,作出统计推断
查/2界值表(附表9),得护a■/20.005,1=7.88,P<0.005,按口=0.05水准,
拒绝H。
,接受H1,可以认为青少年是否在校与对艾滋病是否知晓之间有关联
关于两个分类变量关联的程度,我们可用Pearson列联系数来描述,其计算
公式为
(13.11)
本例中,Pearson列联系数为:
0作假设
列联系数介于0和1之间,理论上也应对总体列联系数是否不等于
检验,但这个检验等价于上述两分类变量独立性的2检验
需要特别强调的是,虽然表13.3的数据和第十一章中两样本率比较的四格表
数据看上去非常相似,甚至2检验公式及应用条件也完全相同,但在抽样机制
和所回答问题上二者却有着根本区别。
两样本率比较是从两个总体中分别抽取样本(区分两总体的分组变量不必是随机变量),两样本有各自的频数分布,所检验的是两个总体的概率分布是否不同。
而这里的分类变量关联性与前述直线相关一样,是从同一个总体中进行随机抽样,对样本中的每个个体,考察其两种属性的关系,要检验的是两个分类变量之间是否存在关联性或者说是否独立。
二、RXC列联表的关联性分析
例13.7为研究自我效能感与领导行为类型是否有关,某研究者抽样调查了来自某省各三甲医院的238名护士长,并对每个个体按自我效能感和领导行为类型两种属性交叉分类,如表13.5所示。
试分析两变量的关联性。
表13.5自我效能感与领导行为交叉分类表
自我效能感
领导行为类型
合计
pm
pM
Pm
PM
低
67
25
13
17
122
高
32
12
34
38
116
合计
99
37
47
55
238
(1)建立检验假设,确定检验水准
Ho:
自我效能感与领导行为类型之间无关联
H1:
自我效能感与领导行为类型之间有关联
:
-=0.05
(2)计算检验统计量
将表13.5数据代入式(11.8)计算2值:
2A2
2=n
(1)
nRnC
672252132172322122
=238(—
122991223712247122551169911637
342382d、
1)
1164711655
=34.213
、、=(4-1)(2-1)=3
(3)确定P值,作出统计推断
查/2界值表(附表9),尸"20.005,盯12.84,P<0.005,按a=0.05水准,
拒绝H。
,接受H1,可以认为自我效能感与领导行为类型之间有关联,其列联系
数为
小结
1•两变量关联性分析的目的在于推断从某一总体中随机抽取的同一份样本
观测出的两个变量间是否存在关联性,以及这种关联性的密切程度如何,这种关
联并不表示专业上的因果关系。
2•对于服从二元正态分布的同一样本中两个定量变量,须先作散点图,观察到存在线性趋势后方可计算Pearson相关系数;对于不服从正态分布的资料或有序分类变量,应采用Spearman秩相关系数来分析其关联性;对于两个反映属性的分类变量,可作交叉分类的频数表,用Pearson列联系数和独立性2检验来分析其关联性。
3•在研究设计上,用于关联性分析的两个变量应均为随机变量,关联性是对两随机变量是否独立进行推断。
对于直线相关或秩相关分析,若其中一个变量是人为设定的,不宜作关联性分析。
若两个分类变量中其中之一为固定分组,比
2检验
较组间频率分布是否相同,其统计推断计算公式与关联性分析的独立性
所用公式恰好相同,但不宜计算Pearson列联系数或讨论关联性。
关联性分析所回答的问题是同一样本两种属性之间是否独立,而非比较不同总体的频率分布是否不同。
(王彤)
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