中考一轮复习第25讲《圆的位置关系》讲学案.docx
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中考一轮复习第25讲《圆的位置关系》讲学案
中考数学一轮复习第25讲《圆的位置关系》
【考点解析】
知识点一点与圆、直线和圆的位置关系
例.(2016安徽)﹣如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为( )
A.B.2C.D.
【考点】点与圆的位置关系;圆周角定理.
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC与⊙O交于点P,此时PC最小,利用勾股定理求出OC即可解决问题.
【解答】解:
∵∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠PBC=90°,
∵∠PAB=∠PBC,
∴∠BAP+∠ABP=90°,
∴∠APB=90°,
∴点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC交⊙O于点P,此时PC最小,
在RT△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,
∴OC==5,
∴PC=OC=OP=5﹣3=2.
∴PC最小值为2.
故选B.
【变式】
(2016,湖北宜昌)在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以O为圆心,OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为( )
A.E、F、GB.F、G、HC.G、H、ED.H、E、F
【考点】点与圆的位置关系.
【专题】应用题.
【分析】根据网格中两点间的距离分别求出,OE,OF,OG,OH然后和OA比较大小.最后得到哪些树需要移除.
【解答】解:
∵OA==,
∴OE=2<OA,所以点E在⊙O内,
OF=2<OA,所以点E在⊙O内,
OG=1<OA,所以点E在⊙O内,
OH==2>OA,所以点E在⊙O外,
故选A
【点评】此题是点与圆的位置关系,主要考查了网格中计算两点间的距离,比较线段长短的方法,计算距离是解本题的关键.点到圆心的距离小于半径,点在圆内,点到圆心的距离大于半径,点在圆外,点到圆心的距离大于半径,点在圆内.
知识点二切线的性质与判定
【例题】(2016海南)如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接BC.若∠P=40°,则∠ABC的度数为( )
A.20°B.25°C.40°D.50°
【考点】切线的性质.
【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数,然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数.
【解答】解:
如图,∵AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,
∴∠PAO=90°.
又∵∠P=40°,
∴∠∠PAO=50°,
∴∠ABC=∠PAO=25°.
故选:
B.
【点评】本题考查了切线的性质,圆周角定理.圆的切线垂直于经过切点的半径.
【变式】
(2016·山东潍坊)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是( )
A.10B.8C.4D.2
【考点】切线的性质;坐标与图形性质.
【分析】如图连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H,先证明四边形OAMH是矩形,根据垂径定理求出HB,在RT△AOM中求出OM即可.
【解答】解:
如图连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H.
∵⊙M与x轴相切于点A(8,0),
∴AM⊥OA,OA=8,
∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°,
∴四边形OAMH是矩形,
∴AM=OH,
∵MH⊥BC,
∴HC=HB=6,
∴OH=AM=10,
在RT△AOM中,OM===2.
故选D.
知识点三切线长定理
【例题】(2016广西南宁)在图“书香八桂,阅读圆梦”读数活动中,某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目(2016•南宁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.
【考点】切线的判定.
【专题】计算题;与圆有关的位置关系.
【分析】
(1)连接OD,由BD为角平分线得到一对角相等,根据OB=OD,等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,进而确定出OD与BC平行,利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径,即可得证;
(2)由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似,由相似得比例求出OA的长,进而确定出AB的长,连接EF,过O作OG垂直于BC,利用勾股定理求出BG的长,由BG+GC求出BC的长,再由三角形BEF与三角形BAC相似,由相似得比例求出BE的长即可.
【解答】
(1)证明:
连接OD,
∵BD为∠ABC平分线,
∴∠1=∠2,
∵OB=OD,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OD∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠ODA=90°,
则AC为圆O的切线;
(2)解:
过O作OG⊥BC,
∴四边形ODCG为矩形,
∴GC=OD=OB=10,OG=CD=8,
在Rt△OBG中,利用勾股定理得:
BG=6,
∴BC=BG+GC=6+10=16,
∵OD∥BC,
∴△AOD∽△ABC,
∴=,即=,
解得:
OA=,
∴AB=+10=,
连接EF,
∵BF为圆的直径,
∴∠BEF=90°,
∴∠BEF=∠C=90°,
∴EF∥AC,
∴=,即=,
解得:
BE=12.
【点评】此题考查了切线的判定,相似三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.
【变式】
(2016贵州毕节)如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD=CB,以BC为直径作⊙O,交BD于点E,连接CE,过D作DF⊥AB于点F,∠BCD=2∠ABD.
(1)求证:
AB是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,DF=,求⊙O的直径BC的长.
【考点】切线的判定.
【分析】
(1)由CD=CB,∠BCD=2∠ABD,可证得∠BCE=∠ABD,继而求得∠ABC=90°,则可证得AB是⊙O的切线;
(2)由∠A=60°,DF=,可求得AF、BF的长,易证得△ADF∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
【解答】
(1)证明:
∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠CBE=90°,
∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE,
∴∠BCE=∠DCE,
即∠BCD=2∠BCE,
∵∠BCD=2∠ABD,
∴∠ABD=∠BCE,
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°,
∴CB⊥AB,
∵CB为直径,
∴AB是⊙O的切线;
(2)∵∠A=60°,DF=,
∴在Rt△AFD中,AF===1,
在Rt△BFD中,BF=DF•tan60°=×=3,
∵DF⊥AB,CB⊥AB,
∴DF∥BC,
∴∠ADF=∠ACB,
∵∠A=∠A,
∴△ADF∽△ACB,
∴=,
∴=,
∴CB=4.
【典例解析】
【例题1】
(2016·湖北荆州·3分)如图,过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,OP交⊙O于点C,点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点,连接AD、CD,若∠APB=80°,则∠ADC的度数是( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
【分析】根据四边形的内角和,可得∠BOA,根据等弧所对的圆周角相等,根据圆周角定理,可得答案.
【解答】解;如图,
由四边形的内角和定理,得
∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°,
由=,得
∠AOC=∠BOC=50°.
由圆周角定理,得
∠ADC=∠AOC=25°,
故选:
C.
【点评】本题考查了切线的性质,切线的性质得出=是解题关键,又利用了圆周角定理.
【例题2】
(2016·湖北黄石·8分)如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:
直线CD是⊙O的切线.
【分析】
(1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形,然后利用勾股定理求得AC的长即可;
(2)连接OC,证OC⊥CD即可;利用角平分线的性质和等边对等角,可证得∠OCA=∠CAD,即可得到OC∥AD,由于AD⊥CD,那么OC⊥CD,由此得证.
【解答】
(1)解:
∵AB是⊙O直径,C在⊙O上,
∴∠ACB=90°,
又∵BC=3,AB=5,
∴由勾股定理得AC=4;
(2)证明:
∵AC是∠DAB的角平分线,
∴∠DAC=∠BAC,
又∵AD⊥DC,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠DCA=∠CBA,
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠OAC+∠OBC=90°,
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,
∴DC是⊙O的切线.
【点评】此题主要考查的是切线的判定方法.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
【例题3】
(2016·辽宁丹东)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:
∠BDC=∠A;
(2)若CE=4,DE=2,求AD的长.
【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质.
【分析】
(1)连接OD,由CD是⊙O切线,得到∠ODC=90°,根据AB为⊙O的直径,得到∠ADB=90°,等量代换得到∠BDC=∠ADO,根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A,即可得到结论;
(2)根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°,根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC,根据相似三角形的性质得到,解方程即可得到结论.
【解答】
(1)证明:
连接OD,
∵CD是⊙O切线,
∴∠ODC=90°,
即∠ODB+∠BDC=90°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即∠ODB+∠ADO=90°,
∴∠BDC=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠A,
∴∠BDC=∠A;
(2)∵CE⊥AE,
∴∠E=∠ADB=90°,
∴DB∥EC,
∴∠DCE=∠BDC,
∵∠BDC=∠A,
∴∠A=∠DCE,
∵∠E=∠E,
∴△AEC∽△CED,
∴,
∴EC2=DE•AE,
∴16=2(2+AD),
∴AD=6.
【中考热点】
【热点1】
(2016·黑龙江哈尔滨)如图,AB为⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交⊙O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 4 .
【考点】切线的性质.
【分析】OC交BE于F,如图,有圆周角定理得到∠AEB=90°,加上AD⊥l,则可判断BE∥CD,再利用切线的性质得OC⊥CD,则OC⊥BE,原式可判断四边形CDEF为矩形,所以CD=EF,接着利用勾股定理计算出BE,然后利用垂径定理得到EF的长,从而得到CD的长.
【解答】解:
OC交BE于F,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵AD⊥l,
∴BE∥CD,
∵CD为切线,
∴OC⊥CD,
∴OC⊥BE,
∴四边形CDEF为矩形,
∴CD=EF,
在Rt△ABE中,BE===8,
∵OF⊥BE,
∴BF=EF=4,
∴CD=4.
故答案为4.
【热点2】
(2016·湖北随州·3分)如图
(1),PT与⊙O1相切于点T,PAB与⊙O1相交于A、B两点,可证明△PTA∽△PBT,从而有PT2=PA•PB.请应用以上结论解决下列问题:
如
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