高二上学期第一次月考数学试题 含答案.docx
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高二上学期第一次月考数学试题含答案
2019-2020年高二上学期第一次月考数学试题含答案
一、选择题:
(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知a、b是异面直线,直线c∥直线a,则直线c与直线b()
A.异面B.相交C.平行D.不可能平行
2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为()
A.12B.C.3D.
3.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成的角为()
A.45°B.30°C.60°D.90°
4.正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)的底面边长为6cm,侧棱长为5cm,则它的正视图的面积等于()
A.B.C.12D.24
5.给出下列四个命题:
①垂直于同一平面的两条直线相互平行;②平行于同一平面的两条直线相互平行;
③若一条直线平行于一个平面内的无数条直线,那么这条直线平行于这个平面;
④若一条直线垂直于一个平面内的任一条直线,那么这条直线垂直于这个平面.
其中真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()
A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥
7.将边长为a的正方形沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D﹣ABC的体积为()
A.6a3B.12a3C.a3D.a3
8.设l,m是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题中正确的是()
A.若l∥α,α∩β=m,则l∥mB.若l⊥α,m⊥α,则l∥m
C.若l∥α,m∥α,则l∥mD.若l∥α,m⊥l,则m⊥α
9.某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形,则此四面体的四个面中面积的最大值为()
A.B.4C.D.
10.若某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则此几何体的体积是()cm3
A.πB.2πC.3πD.4π
11.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是()
A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值
12.已知三棱锥中,底面为边长等于2的等边三角形,底面,,那么直线与平面所成角的正弦值为()
A.B.C.D.
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题5分)
13.已知某球体的体积与其表面积的数值相等,则此球体的半径为.
14.直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于;
15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90º,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为___________
16.在平面内,三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径.在空间中,三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R=______________________。
三、解答题:
(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共6小题70分。
)
17.如图,矩形所在的平面,、分别是、的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
.
18.已知等腰直角三角形,其中,.点、分别是、的中点,现将△沿着边折起到△位置,使⊥,连结、.
(1)求C到平面PAB的距离;
(2)求直线PC与平面ABCD成角的正弦值。
19.如图所示,三棱锥中,、、两两垂直,,,点为中点.
(1)若过点的平面与直线BC垂直,分别与棱,相交于点M,N,在图中画出该截面多边形,并说明点M,N的位置(不要求证明);
(2)求点到平面的距离.
20.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC=CC1,AB⊥BC.点M,N分别是CC1,B1C的中点,G是棱AB上的动点.
(1)求证:
B1C⊥平面BNG;
(2)若CG∥平面AB1M,试确定G点的位置,并给出证明.
21.如图,四棱锥,底面是的菱形,侧面是边长为的正三角形,O是AD的中点,为的中点.
(1)求证:
;
(2)若PO与底面ABCD垂直,求直线与平面所成的角的正弦值.
22.如图,正四棱锥中底面边长为,侧棱与底面所成角的正切值为.
(1)求正四棱锥的外接球半径;
(2)若E是PB中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值.
高二数学月一参考答案
1.D2.C3.C4.A5.B6.D7.D8.B9.C10.B11.D12.D
13.314.15.516.
17.
(1)取的中点,连接,,为中点,
为的中位线,
又,
四边形为平行四边形,
又平面,平面
平面
(2)平面,平面,
,,平面
取的中点,连接,,
又,
平面
平面
18.
(1)2
(2)
19.
(1)当为棱中点,为棱中点时,直线BC垂直于平面.
(2)因为,,
所以直线平面,
,
.
又
所以,
设点是的中点,连接,则,
所以
,
.
又,
而,
设点到平面的距离为,则有,
即,∴,即点到平面的距离为.
20.解:
(1):
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC=CC1=BB1,点N是B1C的中点,
∴BN⊥B1C
∵AB⊥BC,AB⊥BB1,BB1∩BC=B
∴AB⊥平面B1BCC1
∵B1C⊂平面B1BCC1
∴B1C⊥AB,即B1C⊥GB
又∵BN∩BG=B,BN、BG⊂平面BNG
∴B1C⊥平面BNG
(2)当G是棱AB的中点时,CG∥平面AB1M.
证明如下:
连接AB1,取AB1的中点H,连接HG、HM、GC,
则HG为△AB1B的中位线
∴GH∥BB1,GH=BB1
∵由已知条件,B1BCC1为正方形
∴CC1∥BB1,CC1=BB1
∵M为CC1的中点,
∴
∴MC∥GH,且MC=GH
∴四边形HGCM为平行四边形
∴GC∥HM
又∵GC⊈平面AB1M,HM⊂平面AB1M,
∴CG∥平面AB1M
21.
(1)连接,,
由题意可知,均为正三角形.
所以,.
又,平面,平面,
所以平面,
又平面,
所以.
(2)又平面.即为三棱锥的高.
在中,,
在中,,,
边上的高,
所以的面积
.
设点到平面的距离为,由得,
,
又,
所以,解得.
故点到平面的距离为.
设直线与平面所成的角为
则,
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
22.
(1)连结AC,BD交于点O,连结PO,则PO⊥面ABCD,
∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角,∴tan∠PAO=.
又AB=,则PO=AOtan∠PAO=.
设F为外接球球心,连FA,
易知FA=FP,设FO=x,则
(2)连结EO,由于O为BD中点,E为PD中点,所以.
∴就是异面直线PD与AE所成的角.
在Rt中,.∴.
由,可知面.所以,
在Rt中,,
即异面直线PD与AE所成角的正切值为.
.
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