高中各种函数图像与性质精编版.docx
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高中各种函数图像与性质精编版
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高中各种函数图像及其性质
一次函数
(一)函数
1、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
(二)一次函数
1、一次函数的定义
一般地,形如y
kxb(k,b是常数,且k
0)的函数,叫做一次函数,其中
x是
自变量。
当b0时,一次函数ykx,又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是ykxb,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式.
⑵当b0,k0时,ykx仍是一次函数.
⑶当b0,k0时,它不是一次函数.
⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.
2、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:
正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0
时,?
直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
(1)解析式:
y=kx(k是常数,k≠0)
(2)必过点:
(0,0)、(1,k)
(3)走向:
k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,?
图像经过二、四象限
(4)增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
(5)倾斜度:
|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx
+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
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注:
一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b,0)两点的一条直线,我们称它为直
k
线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
(1)解析式:
y=kx+b(k、b是常数,k0)
(2)必过点:
(0,b)和(-b,0)
k
(3)走向:
k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限
k0b0
k0b0
直线经过第一、二、三象限
直线经过第一、二、四象限
k0b0
k0b0
直线经过第一、三、四象限
直线经过第二、三、四象限
(4)增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:
|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像的平移:
当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
kkxbk0
函数
k,b
k
0
符号
b0
b
0
y
y
图象
O
xO
x
k
0
b0
b0
b
0
b0
y
y
y
y
OxOxOxOx
性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小
4、一次函数y=kx+b的图象的画法.
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根据几何知识:
经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直
线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:
是先选取
它与两坐标轴的交点:
(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0b<0b=0
经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
k<0
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而
得到(当b>0时,向上平移;当
b<0时,向下平移)
6、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数
一次函数
概
念
一般地,形如y=kx(k
是常数,
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那
k≠0)的函数叫做正比例函数,其
么y叫做x的一次函数.当b=0时,是y=kx,
中k叫做比例系数
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
X为全体实数
范
围
图
象
一条直线
必过点
(0,0)、(1,k)
(0,b)和(-b,0)
k
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走向k>0时,直线经过一、三象限;k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限
k<0时,直线经过二、四象限k>0,b<0直线经过第一、三、四象限
k<0,b>0直线经过第一、二、四象限
k<0,b<0直线经过第二、三、四象限
增减性k>0,y随x的增大而增大;(从左向右上升)
k<0,y随x的增大而减小。
(从左向右下降)
倾斜度|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
图像的
b个单位;
平
b>0时,将直线y=kx的图象向上平移
移
b<0时,将直线y=kx的图象向下平移
b个单位.
6、直线yk1x
b1(k1
0)与yk2x
b2(k2
0)的位置关系
(1)两直线平行
k1
k2且b1
b2
(2)两直线相交
k1
k2
(3)两直线重合
k1
k2且b1
b2
(4)两直线垂直
k1k2
1
7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
8、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:
当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
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9、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形
式,所以解一元一次不等式可以看作:
当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.
10、一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程
ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数
y=
a
c
的
x
b
b
图象相同.
(2)二元一次方程组
a1xb1yc1的解可以看作是两个一次函数
y=
a1x
c1
和
a2xb2yc2
b1
b1
y=
a2x
c2的图象交点.
b2
b2
二次函数
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如yax2
bxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做
二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,
二次项系数a
0,而b,c可
以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
①
一般式:
f
x
ax2
bx
c
a
0
②
顶点式:
f
x
a
x
m
2
na
0
③
零点式:
f
x
a
x
x
x
x
a0
1
2
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fxax2bxca0a0a0
图像
x
b
x
b
2a
2a
定义域
对称轴
x
b
2a
顶点坐标
b
4ac
b2
2a
4a
值域
4ac
b2
4ac
b2
4a
4a
b
递减
b
递增
2a
2a
单调区间
b
递增
b,
递减
2a
2a
当
b2
4ac
0时,二次函数的图像和
x轴有两个交点
M1
x1,0,M2
x2
0,
线段M1M2x1
x2
b2
4ac
a
a
.
当
b2
4ac
0时,二次函数的图像和
x轴有两个重合的交点
M
b
0
.
2a
特别地,当且仅当
b0时,二次函数
f
x
ax2
bxc
a
0为偶函数.
1.二次函数基本形式:
yax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
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a的符号开口方向顶点坐标
a0向上0,0
a0向下0,0
2.yax2
c的性质:
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
a0
向上
0,c
a0向下0,c
.
yax
2
3
h的性质:
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
a
0
向上
h,0
a0向下h,0
4.
yax
2
hk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
a
0
向上
h,k
a
0
向下
h,k
对称轴
性质
x
0时,y随x的增大而增大;x
0时,y随
y轴
x0时,y有最小值0.
x的增大而减小;
x
0时,y随x的增大而减小;x
0时,y随
y轴
x0时,y有最大值0.
x的增大而增大;
对称轴性质
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y随
y轴
x的增大而减小;
x
0时,y有最小值c.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,y随
y轴
x
0时,y有最大值c.
x的增大而增大;
对称轴
性质
x
h时,y随x的增大而增大;
xh时,y
X=h
x
h时,y有最小值0.
随x的增大而减小;
x
h时,y随x的增大而减小;
xh时,y
X=h
x
h时,y有最大值0.
随x的增大而增大;
对称轴
性质
X=h
x
h时,y随x的增大而增大;
xh时,y
随x的增大而减小;
x
h时,y有最小值k.
X=h
x
h时,y随x的增大而减小;
xh时,y
随x的增大而增大;
x
h时,y有最大值k.
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
2
h,k
;
yaxhk,确定其顶点坐标
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⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
2
y=ax
y=ax+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2
2
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)+k
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴yax2bxc沿y轴平移:
向上(下)平移m个单位,yax2bxc变成
yax2bxcm(或yax2bxcm)
⑵yax2bxc沿轴平移:
向左(右)平移m个单位,yax2bxc变成
ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
四、二次函数y
ax
h
2
2
bx
c的比较
k与yax
从解析式上看,
y
a
x
2
k与y
ax2
bxc是两种不同的表达形式,后者通过配
h
2
b2
b,k
4acb2
方可以得到前者,即
y
a
x
b
4ac
,其中h
.
2a
4a
2a
4a
五、二次函数yax2
bxc图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数yax2
bxc化为顶点式ya(x
h)2
k,确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图
.一般我们
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选取的五点为:
顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、
与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数y
ax2
bx
c的性质
1.
当a
0时,抛物线开口向上,对称轴为
x
b
,顶点坐标为
b,4acb2
.
2a
2a
4a
当x
b时,y随x的增大而减小;当x
b
时,y随x的增大而增大;当x
b
2a
2a
2a
时,y有最小值4ac
2
b.
4a
2.
当a
0时,抛物线开口向下,对称轴为
x
b
,顶点坐标为
b,4acb2
.当
2a
2a
4a
x
b
时,y随x的增大而增大;当x
b
时,y随x的增大而减小;当
x
b时,
2a
2a
2a
y有最大值4ac
b2
.
4a
七、二次函数解析式的表示方法
1.
一般式:
y
ax2
bx
c(a,b,c为常数,a
0);
2.
顶点式:
y
a(x
h)2
k(a,h,k为常数,a
0);
3.
两根式:
y
a(x
x1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写
成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交
点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数
y
ax2
bxc中,a作为二次项系数,显然a0.
⑴当a
0时,抛物线开口向上,
a的值越大,开口越小,反之
a的值越小,开口越
大;
⑵当a
0
时,抛物线开口向下,
a的值越小,开口越小,反之
a的值越大,开口越
大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a
的大小决定开口的大小.
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
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⑴在a
0
的前提下,
当b
0时,
b
0
,即抛物线的对称轴在
y轴左侧;
2a
当b
0
时,
b
0
,即抛物线的对称轴就是
y轴;
2a
当b
0
时,
b
0
,即抛物线对称轴在
y轴的右侧.
2a
⑵在a
0
的前提下,结论刚好与上述相反,即
当b
0
时,
b
0
,即抛物线的对称轴在
y轴右侧;
2a
当b
0时,
b
0
,即抛物线的对称轴就是
y轴;
2a
当b
0
时,
b
0
,即抛物线对称轴在
y轴的左侧.
2a
ab的符号的判定:
对称轴x
b
在y轴左边则ab
0,在y轴的右侧
则ab
0,概括的说就是“左同右异”
2a
3.常数项c
⑴当c0时,抛物线与
⑵当c0时,抛物线与
⑶当c0时,抛物线与
y轴的交点在x轴上方,即抛物线与
y轴的交点为坐标原点,即抛物线与
y轴的交点在x轴下方,即抛物线与
y轴交点的纵坐标为正;
y轴交点的纵坐标为0;
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