HaoR奥数读本数列提高版.docx
- 文档编号:8419342
- 上传时间:2023-01-31
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:248.60KB
HaoR奥数读本数列提高版.docx
《HaoR奥数读本数列提高版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《HaoR奥数读本数列提高版.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
HaoR奥数读本数列提高版
第一部分少数数列
【学习目标】
1掌握数列概念;
2掌握数列排列的一般规律;
⑶培养对多个数字之间相互关系的敏感力,根据掌握的知识快速找到数列的主要特征。
按照一定次序排列起来的一列数,叫做数列,数列中的每一项叫做这个数列的项。
比如1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,这就是一个数列,1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21这也是一个数列,这两个数列中都有规律,数列的项都是整数,1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21这个数列的项都是单数,2、4、6、8、10、12、14、16、18、20,这个数列中的项都是双数,而3、6、9、12、15、18、21、24、27,这个数列中的数字也有规律,就是它们都是3的倍数,等等,还有很多很多,比如一个数列中的数字是这样的:
5、15、20、25、30、35、40,这个数列中的数字排列规律是什么?
我们发现数列中的数字都是5的倍数并且后面的数字总是比前面的数字大5。
我们观察和研究数列是为了通过分析和判断发现所给出数字之间隐含的变化规律。
数列的排列规律,主要从相邻两数的和、差、积、商来考虑,更复杂的情况要考虑相邻的三个甚至四个数。
【技巧总结】
规律1:
该类数列前后数字之间是简单的递增或递减关系,并且差值是固定的。
这个数列也叫等差数列,我们后面要学习。
例如:
5,8,11,14,(),()
后面的数字比前面一个数字多3。
基础练习1:
(1)2,4,6,8,(),()
(2)4,7,10,13,(),()
(3)28,23,18,13,(),()
(4)24,20,16,12,(),()
(5)32,27,22,17,(),()
规律2:
该类数列前后数字之间是简单的乘除关系,并且倍数或者商是固定的。
这个数列也叫等比数列。
例如:
2,4,8,16,(),()
后面的数字是前面一个数字乘以2。
基础练习2:
(1)3,6,12,24,(),()
(2)5,10,20,40,(),()
(3)7,21,63,189,(),()
(4)320,160,80,40,(),()
(5)243,81,27,9,(),()
规律3:
该数列的每一项的值都与序号相关。
基础练习3:
(1)4,9,16,(),(),49
(2)81,(),49,36,()
(3)1,2,4,8,(),()
规律4:
该类数列前后数字之间是简单的递增或递减关系,但是差值也是逐渐增加或者递减的(也是一个有规律的数列)。
例如:
1,2,5,10,(),()
后面的数字比前面的数字大,并且这个大的数字是逐渐增加的。
拓展提高1:
(1)4,5,7,10,(),()
(2)0,5,15,30,(),()
(3)0,3,9,18,(),()
(4)27,21,16,12,(),()
(5)50,41,33,26,(),()
规律5:
该数列从第三个数字起,每一项数字都是前面两个数字的和。
由此可以看出数列可以编排得很复杂,认真想一想,是不是会有很多的变化呢?
拓展提高2:
(1)0,1,1,2,3,5,8,(),()
(2)2,2,4,6,10,16,(),()
(3)1,2,2,4,8,32,(),()
(4)1,4,5,9,14,(),()
(5)(),89,(),34,21,13,8,5,3,2,1
规律6:
该数列由两个数列组成,就是单数位置上是一个数列,双数位置上是另外的一个数列。
拓展提高3:
(1)3,2,6,4,12,6,(),()
(2)2,5,4,5,6,5,8,5,(),()
(3)3,1,5,2,7,3,9,5,(),()
(4)1,2,2,4,3,8,4,16,(),()
(5)1,1,2,2,3,3,5,4,8,(),()
规律7:
该数列特殊在于从第2项开始,单数位置和双数位置上的不一样,只于前一项相关。
拓展提高4:
(1)30,15,14,7,6,(),()
(2)1,2,4,5,10,(),()
(3)3,6,5,10,9,(),()
上面我们练习总结了小学奥数可能遇到的7类数列的规律,实际做题时,我们可以依据上面的总结规律在做题,耐心、仔细地按上面的7条依次寻找数列中数字项目的规律。
第二部分多数数列
【学习目标】
1掌握数列的一般表示方法;
⑵掌握多数数列的排列规律;
有时候,数列中的数字项很多,比如一个数列,它当中的数字是从1到100,那么怎么把这个数列写出来呢?
是像下面这么写吗?
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100。
按照这么写的话,如果要列出一个数列,它的数字项是1到600,是不是要写满整整一页?
如果中间写错了怎么办?
如果数列的数字项是从1到100000呢?
!
你写一个上午也写不完啊!
前面,我们已经学习了有规律的数列,知道了这些数列的数字项都是前后有一定关系的,只要我们沿用这些规律或者关系,就可以用简单方法来表示数字项有很多的数列了。
比如上面列出的1到100的数列,我们就可以简单书写如下:
1,2,3,4,……,100
可能的变换形式是:
1,2,3,…,99,100。
1,2,3,。
。
。
99,100
1,2,3,4,。
。
。
。
。
。
100
一般的书写方式:
列出前面的3或者4项,通过这3项或者4项可以表示这个数列数字项的排列规律,中间的可以用“…”或者“……”【用的也有“。
。
。
”或者“。
。
。
。
。
。
”】来表示,最后的一项必须写上。
对于数列,我们可以用{}这个符号来把这个数列包起来,注意不是(),也不是[]。
有了上面的书写规范,我们就可以轻松表示多项数列了。
2,4,6,…,98,100相当于{2,4,6,…,98,100}
表示一个数列,这个数列中的数字项从2开始,都是双数(也叫偶数),后一项总是比前一项多2,一直到100。
1,3,5,……,99相当于{1,3,5,……,99}
表示一个数列,这个数列中的数字项从1开始,都是单数(也叫奇数),后一项总是比前一项多2,一直到99。
1,1,2,3,5,8,13,……,1597相当于{1,1,2,3,5,8,13,……,1597}
表示一个数列,这个数列中的数字项从1开始,数字项的规律是:
从第3项开始,后一项总是前两项的和,一直到1597结束。
有了上面对于多数数列的表示方法,我们还可以用它来表示其他涉及多项运算的情况。
比如:
要表示从1加到100可以这样表示:
1+2+3+4+……+100,注意:
这里就不能写成{1+2+3+4+……+100}。
再比如,要表示从2加到98,其中数列中的每一项都是前一项加2:
2+4+6+8+……+98
这里需要弄明白一个问题,你怎么知道这里面有多少项呢?
我们发现:
这数列中的数字都是双数,第一项是2,就是1×2,第二项是4,就是2×2,第三项是6,也就是3×2,也就是说,这数列中的数字实际上是它的序号乘以2,那么一直到98,就是49×2,所以数列总共有49项。
下面的数列有多少项呢?
1+3+5+7+……+99
通过对前面两个数列的分析,我们知道如果要知道数列有多少项关键在于弄明白数字项的数值和它所在序号之间的关系,比如1+2+3+4+……+100,这个数列中的数字项的值就是等于它的序号,而2+4+6+8+……+98这个数列中的数字项的值等于序号乘以2,所以弄明白了序号与数字项的值之间的关系,得到数列有多少项就很轻松了。
在1+3+5+7+……+99这个数列中,我们通过观察发现,数字项的值等于序号乘以2再减1,比如1=1×2-1,3=2×2-1,5=3×2-1,7=4×2-1,……,一直到99=50×2-1,所以,这个数列有50项。
这一部分,我们主要学习了多数数列的表示方法,前面我们讲解的少数数列的7个规律,也同样适合多数数列。
【边练边讲】
1、数列(1,3,7),(2,6,14),(3,9,21),……的每一项都是由3个数组成,问这个数组的第76项内的三个数是多少?
2、一个数组的每一项都是由三个数组成,它们依次是(1,5,9),(2,10,18),(3,15,27)……问:
第93个数组内的三个数是多少?
3、在下面的数组中找出与其他数组规律不同的数来,划掉它们,并补上合适的数。
(2,3,5),(4,6,10),(6,8,15),(8,12,20)
4、一个数列的每一项由4个数组成,他们依次是(1,3,6,9),(1,6,12,18),(1,9,18,27),……问:
第43个数组内四个数的和是多少?
5、有一列由三个数组成的数组,他们依次是(1,5,10)、(2,10,20)、(3,15,30)、……问:
第99个数组内的三个数的和是多少?
6、从1开始的自然数按照如图所示的规律排列:
123
45678
9191112131415
那么,第5行第3个数是多少?
7、下面括号里的两个数都是按照一定规律组合的,在□里填上适当的数。
(100,96),(97,88),(91,75),(79,□)
8、【2004年全国小学奥林匹克竞赛决赛B卷试题】
观察下面数的规律,第20行左起第一数字是多少?
1
357
911131517
19212325272931
……
第三部分等差数列
【学习目标】
1掌握等差数列的概念;
2掌握等差数列的通项公式、求和公式、项数公式;
⑶学习等差数列的一些应用。
前面我们学习了少数数列和多数数列,我们知道了数列就是按照一定的顺序排列的数。
数列有很多种,比如有限数列和无限数列,有限数列就是数列中的项数是有限的,也叫有穷数列,无限数列是指数列中的项数是无穷多的数列;单数数列和双数数列,数列里的项的值为单数的数列叫单数数列,也叫奇数数列,数列里项的值为双数的数列叫双数数列,也叫偶数数列;还有自然数数列和整数数列,数列里的项为自然数的数列叫自然数数列,数列里的项为整数的数列叫整数数列等等。
数列知识在日常生活中有很多的应用,比如我们知道了楼梯每一级的高度就可以计算出楼房的高度,选择一定的存款方式就可以计算出一定时间后自己能有多少的利息,我们根据数列知识可以很快计算出超市货架的货物数量,如果你观察过植物花朵的瓣数,你可能会发现花朵的瓣是个神奇的数字,花瓣的数字就是1、2、3、5、8、13、……,这其实是个数列,在数学上是有专有名称的,叫裴波那契数列(又叫黄金分割数列),植物会数学吗?
它们不会的,可是为什么它们的花瓣数就是这些神奇的数字呢?
!
说明数学就蕴藏在日常生活中,等待我们去发现和运用。
数列中的每一项叫作数列的项,排列在第一个位置上的数叫作数列的第一项,也叫首项,排列在第二个位置上的数叫作数列的第二项,排列在第三个位置上的数叫作数列的第三项,……,排列在第十九个位置上的数叫作数列的第十九项,数列中的最后一项叫末项,也叫尾项,数列中总共有的项的个数叫做项数。
如果数列项很多,这样的表述是不是比较繁琐?
下面我们就要学习数列的规范表述方式。
通常情况下,为了方便表达和运用,我们把数列的第一项用a1表示,第二项用a2表示,第三项用a3表示,……,第十九项用a19表示,如果这个数列有很多但不确定有多少的时候我们会说这个数列有n项,相应地第n项就用an表示了。
是不是觉得有点陌生?
这样的数学表述方式比较简便,以后会慢慢习惯的,随着习惯这样的表述后,你会接纳到更多的数学知识。
今天我们学习的数列叫等差数列,我们前面也有过接触,比如2,4,6,8,10,12,14,还有4,7,10,13,16,19,22等,等差数列有什么特征呢?
就是从第二项起,每一项与它的前一项的差等于一个固定的值,这个固定的值我们叫常数,也叫公差,我们用d来表示,等差数列的和用Sn来表示。
我们学习等差数列有什么用处呢?
第一:
我们根据等差数列的特征可以很快计算出数列的和,无论是整个数列或者是一个范围段的数字项的和。
第二:
给出数列的特征后,我们可以确定数列中的其他项。
熟悉上面两项后,对于更复杂多变的数列你会有得心应手的处理。
当然,首要的也是最关键的是我们要学习和掌握等差数列的规律和特征。
我们知道,等差数列就是从第二项起,每一项与它的前一项的差等于一个常数,那么有没有一个方式来表示这样的描述呢?
有的,那就是等差数列的每一项都可以用一个或几个数学符号来表示,因为具有普遍性并且适合数列中的每一项,我们称它为公式,相对于数列则有个确定的称谓,叫通项公式。
它的具体表述是这样的:
如果一个等差数列的第一项为a1,这个数列的差为d,有N项话,那么它的第N项的值就等于a1+(n-1)×d。
也就是:
an=a1+(n-1)×d
末项=首项+公差×(项数-1)
这是我们学习的第一个公式。
先举个简单点的例子:
比如:
一个等差数列是2,4,6,8,10,12,14,……,我们根据通项公式,a1=2,d=2,那么an=a1+(n-1)×d=2+(n-1)×2=2+n×2-1×2=n×2,所以你可以很快地计算出199项是多少了,a199=199×2=398。
再比如:
如果一个等差数列的前4项依次是4,7,10,13,你知道它的第100项是多少吗?
根据上面的公式,第一项是4,这个等差数列的差是3,第100项应该是4+(100-1)×3=301。
我们再来看等差数列的求和。
求和:
1+2+3+……+99+100。
一般我们用的是首尾相加法,就是1+2+3+……+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+……+(50+51)=101+101+101+……+101=101×50=5050
这是个等差数列,它的等差数是1,为了计算它的和我们应用了首尾相加法,我们知道它有100项,刚好有50个101,所以和等于5050。
想一想,现在只是计算到100,如果计算到100000呢?
如果等差的值是其他的数呢?
是不是每次我们都要这么计算呢?
!
数学是让人聪慧的学科,等差数列太多了,我们应该根据等差数列的特征来推导出计算和的简便方法。
先看简单的,求和:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13。
前面我们用的是首尾相加法来计算,这个方法有个弊端,就是要考虑项数,如果项数是单数的话首尾相加法不够明了,比如:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)+7=14+14+14+14++14+14+7=14×6+7=84+7=91
或者
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=(1+12)+(2+11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)+13=13+13+13+13+13+13+13=13×7=91
是不是不够利索?
!
下面我们用倒序相加法来做就比较简单了。
看下图:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
就相当于求上面的蓝色球的个数。
而我们把球的堆叠方式换一下,
是不是求和问题就简单了呢?
每一行都等于14,总共有13行,球数是13×14=182,而正常的球数应该是它的一半,就是91。
我们用数字来表示,假设和为S13
S13=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
S13=13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
S13+S13=S13×2=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+(13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)+(7+7)+(8+6)+(9+5)+(10+4)+(11+3)+(12+2)+(13+1)=14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14=14×13=182
所以S13=91
图示的方法理解了吗?
是不是不用考虑项数的单数还是双数的问题了?
!
我们应用这个方法可以推导出等差数列的求和公式。
想一想,等差数列千变万化,如果都这么来算也挺麻烦的,我们能不能推导出适合等差数列的通用的计算方法呢?
我们先看计算S13=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13的计算,用的是倒序相加法。
那么怎样计算Sn=a1+a2+a3+……+an-2+an-1+an呢?
看下面的图示:
等差数列的求和公式:
Sn=(a1+an)×n÷2
等差数列的总和=(首项+末项)×项数÷2
这是我们学习的第二个公式。
举例:
求和:
1+2+3+……+100
首项等于1,末项等于100,共有100项,根据公式:
S100=(1+100)×100÷2=101×100÷2=5050
再来看一个例子:
求和:
2+5+8+……+65+68
这个例子我们知道首项和末项的值,知道公差等于3,可是不知道有多少的项数,怎么办呢?
还记得我们前面学习的第一个公式吗?
末项=首项+公差×(项数-1)
也就是68=2+3×(项数-1),那么项数就等于21。
以后我们要尽可能地用规范化的符号来表述数学认识,应该是68=2+3×(d-1),计算得d=23。
所以S=2+5+8+……+65+68=(2+68)×23÷2=805。
计算等差数列的项数可以通过前面我们学到的通项公式推导出来。
因为an=a1+(n-1)×d
所以an-a1=(n-1)×d
进一步:
(an-a1)÷d=(n-1)
(an-a1)÷d+1=n
所以n=(an-a1)÷d+1
总结:
计算等差数列的相关公式:
(1)通项公式:
第几项=首项+(项数-1)×公差
即:
an=a1+(n-1)×d
(2)项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1
即:
n=(an-a1)÷d+1
(3)求和公式:
总和=(首项+末项)×项数÷2
即:
Sn=(a1+an)×n÷2
【边练边讲】
1、求和S=2+6+10+14+……+122+126
2、已知数列2、5、8、11、14、……、47应该是其中的第几项?
3、在等差数列1、5、9、13、17、……、401中,401是第几项?
第50项是多少?
4、有从小到大排列的一列数,共有100项,末项为2003,公差为3,求这个数列的和。
5、在等差数列6、13、20、27……中,第几个数是1994?
6、一个剧场头排设置了19排座位,第一排有39个座位,往后每一排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
7、在12与60之间插入3个数,使这5个数成为一个等差数列。
8、在6和38之间插入7个数,使他们成为等差数列,求这9个数的和是多少?
9、在一个等差数列中,第一项是7,第六项是37,公差是多少?
10、求和1+5+9+13+17+21+……+101
11、请看这列数:
1,5,9,17,21,25,29
⑴如果其中少了一个数,这个数是几?
应该排在哪?
⑵如果其中多了一个数,这个数是几?
为什么?
12、【2000年吉林省小学数学夏令营数学计算竞赛】
计算:
2000+1999-1998-1997+1996+1995-1994-1993+……+8+7-6-5+4+3-2-1
第四部分数表、数图、数阵和数组
【学习目标】
1了解数表、数图、数阵、数组的表现样式;
⑵应用前面学到的知识,快速完成数表、数图、数阵、数组中的填数。
数表:
一些数按一定规律分布在表格中。
数图:
一些数按一定规律分布在图形中。
数阵:
一些数按照一定规律排列而成的某种图形。
数组:
将一些数按照一定顺序排列形成的集合。
上面的概念不好区别,看下面的图示就会清楚一些。
数表、数图、数阵、数组区别在于数字的组织表现形式的不同,但应用的规律还是我们前面学过的。
数字排列在这些图形、表格、数阵中因为位置的不同而出现了一些变化,这也往往是解题的突破口,解题时要灵活思考,综合运用。
在前面的学习中,我们了解和掌握了在数字排列中寻找一些规律,这些基础知识很重要。
世间万物皆有象(表面的现象就是表象),通过数学的学习和应用我们能很好地揭示现象所隐含的内涵,这有助于我们进一步由现象到本质去挖掘事物及其变化的规律并加以应用。
1在数图中找规律
我们来学习在数图中发现规律,就是发现图形之间的变化规律。
比如:
根据前面图形中数的排列规律,在?
处填入合适的数。
每个图形中的数字看似没有规律,但图形之间的数字规律却很明显:
图形之间,第一个图形、第二个图形和第三个图形,相对应的数字排列为(5、7、9),(10,12,14),(9,11,13),我们发现它们都是相差为2的数列,那么问题就变为(14,16,?
),确定?
的数字,很明显为18。
当然还可以很简单的推理,下面的数字都比上面的大4或者右边的都比左边的大5,那么按照这个规律也可以推出?
值为18。
上面的比较简单,我们来看一个略微复杂一点的问题:
观察正方形中四个数的关系,在第三个图形的空缺处填写数字。
(天津市数学学科竞赛题)
咋一看,每个图形中的数字似乎没规律,图形之间也没有什么规律可寻。
静下心来慢慢观察、分析,4×3=12,7×3=12,5×3=15,这个说明图形还是有规律的(×3),9-4=5,12-7=5,那么5下面的应该是5+5=10,而9-5=4,12-8=4,那么15下面的数字应该为10-4=6。
在图形中发现规律有一个方法是通过图形中给定的数字来构建一个等式,这个等式可以应用于给定的其他图形。
比如:
根据前面图形中数的排列规律,在空缺处填入合适的数。
通过观察第一个图形,我们发现有这样的等式:
8+4×2=16,还可以8÷2×4=16;通过观察第一个图形,我们发现有这样的等式:
8÷4×7=14,这样,我们发现了可以同时应用于第一个和第二个图形的计算等式(也就是规律),但第三个4不能被3整除,但9可以,我们知道乘除是等同的、全是乘除的时候是可以换位置的,也就是乘除不分先后,那么就可以列为4×9÷3=12,所以,空缺处应该填入12。
寻找等式的时候一般情况下以最小数或者最大数、或者图形中间的数字为中心来构建等式。
总结一下我们应对类似题目的一般方法和技巧。
首先,我们看各个图形对应位置上的数字是否有规律可寻;
其次,我们在第一个或者第二个图形中总结规律,然后得到验证后应用于第三个图形;
再者,我们在第一个或者第二个图形中发现计算等式,然后得到验
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- HaoR 读本 数列 提高
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)