中考数学几何一题多解docx.docx
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初中几何一题多解
1.如图:
已知AB=AC,
E是AC延长线上一点,且有BF=CE,连接FE交BC于D.求证:
FD=DE.
证法一
证明:
过E点作
EM〃AB交DC延长线于M点,则ZM=ZB,又因为ZACB=ZB
ZACB=ZECM=ZM,所以CE=EM,又EC=BF从而EM=BF,ZBFD=ZDEM
则左DBFM^DME,故FD=DE;
证法二
证明:
过E点作EM//AB交DC延长线于M点,则ZM=ZB,又因为ZACB=ZBZACB=ZECM=ZM,所以CE=EM,又EC=BF从而EM=BF,ZBFD=ZDEM则ADBF^ADME,故FD=DE;
证法三
证明:
过F点作FM〃AE,交BD于点M,
则Z1=Z2=ZB所以BF=FM,
又Z4=Z3Z5=ZE
所以ADMF^ADCE,故FD=DE.
2.在/XABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,且BD=CE,DE连线交BC于F,求证:
DF=EF.
证法一如图1,过D作AE的平行线,交BC于G,易证BD=DG,又/.BD=CE,
DG=CE
ZDFG=ZEFC.•.DF=EE 证法二 如图2,过E点作AB的平行线交BC的延长线于G,同证法一易证EG=CE,.-.EG=BD. 同证法一可得ZXBDFg^GEF. .・.DF=EF. 证法三如图3,延长BC到G,使CG=BF,连接EG,易证△BDF£/\CEG. A ・.・EG=DF, XVZDFB=ZEFC=ZG,「・EG=EF,.\DF=EF. 证法四 如图4,延长CB到G,使BG=CF,连结DG,同证法三易证ZsCEF些ZXBDG, DG=EF,IDG=DF/.DF=EF A 图4 证法五 如图5,过B点作BG平行且等于CE,连接FG,易证Z\BDF竺ZkBGF. A 得DF=FG.后证FG=EF(等角对等边),得DF=EF. 证法六 过D点作DG平行且等于BC,连接FG、CG,同证法五易证△CEF竺Z\CGF,.・.EF=FG,再证FG=DF,得DF=EF. 证法七 如图7,过点D作BC的平行线交AC于G,得BD=CG. CE=GC,又DG//BC,DF=EF 证法八 如图8,过E点作BC的平行线交AB的延长线于G,同证法七,根据平行线等分线段定理求证DF=EF. 3.如图,在ZkABC中,ZABC=ZACB=80°,点P在AB上,且ZBPC=30°,求证: AP=BC。 证法一 过A作BC边上的垂线AD,ABD^D ZABC=ZACB=80°,AB=AC, 又知过A作CP延长线的垂线AE,VZBPC=30°,/.AE=-AP, 2 AAAEC^ACDA,...AEYD。 .・.AP=BC。 证法二 •••AB=AC,.I以AB为边向外做等边ZXABD, 以A为圆心、AB为半径的0Ao §C=0C,.IZBDC=-ZBAC=10°,同理ZBCD=-ZBAD=30°,22 .•.ZDBC=140°o作ZCAE=10°,ZACE=140°,两线相交于点E。 易证△DBCM/XACE,.-.BC=CEo,/zacp=zcae=io°,: .AE//PC, VZPAE=ZE=30°,易证四边形APCE为等腰梯形。 /.AP=CE,.,.BC=AP» 证法三 过A点作BC的垂线,ZECP=10°易证△APC^ACEA,.L就得到AP=EC» 较易证明/DEC=30。 ,可得CD=-CEo 证法四 .•.过A作AD±BC交BC于D。 VZBAD=ZCAD=-ZBAC=10°,/.BD=sin10°AB,2 ATAp ...一——=———(正弦定理),ZAPC=150°,ZACP=10°, sinZAPCsinZACP 证法五 二.四边形一题多解 证法一 易知AADF'ABCE为等腰三角形,故Z1=ZF,Z2=ZE,又CD〃AB,故Z3=/F,Z4=ZE,从而Z1=Z3,Z2=Z4,而Zl+Z2+Z3+Z4=180°,故Z3+Z4=90°,表明ZCOD=90°,所以DF±CE. 证法二如图5,连接MN,贝! |CD=BF,且CD〃: BF,故BFCD为平行四边形,则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN〃DM,得平行四边形CDMN,易见CD=DM,故CDMN也是菱形,根据菱形的对角线互相垂直,结论成立. 证法三 如图6,连接BM、AN,可证AAFN中,BN=BF=BA,则AAFN为直角三角形,即DFXAN, 利用中位线定理可知AN〃CE,故DFXCE. 证法四如图7,作DG〃CE交AE延长线于G,则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF_LDG,而DGCE,故DF±CE 2.如图: 已知梯形ABCD,AD/7BC,,以AB、BD为边,作平行四边形ABDE,AD的延长线交CE于F.求证: EF=FC. 证法一 AD〃BC,将AB平移到DC由平行四边形ABDE.IAB//=DE•..DG〃=AB,/.DG=ED•..AD〃BC,艮PDF//BC,/.EF=FC 证法二 连接BE交AD于O 平行四边形ABDE,OB=OE •..AD〃BC,艮POF^BC,/.EF=CF 证法三 AD/7BC,艮PAF^BC 将BD平移到CG的位置,并交AF延长线于G可证△AEF^AGCF,.・.FE=FC 3.如图,在正方形ABCD中,点E是BC边上的点,ZAEP=90°,EP交正方形外角的平分线CP于点P,求证: AE=PE. 证法一 如图一,在AB上取一点Q,使BQ=BE,则AQ=AB—BQ=BC—BE=EC 又,/ZAQE=ZECP=135°,且ZQAE=ZCEP,/.AAQE三AECP,AE=PE 证法二 如图二,过点P作PH1BC于点H,设正方形的边长为sBE=m,CH=n ZBAE=ZHBE,tanZBAE=tanZHBE —=—-—,整理得(“-MS-〃)=o,.•./〃=〃aa-m ・・・EH=EC+CH=i—m+〃=i=AB,AQ=AB—BQ=BC—BE=EC 又ZAQE=ZECP=135°,.・.RtAABE=RtAEHP,.・.AE=PE
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