全国硕士研究生入学统一考试数学三真题.docx

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全国硕士研究生入学统一考试数学三真题

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题

（总分：

150.00，做题时间：

180分钟）

一、选择题（总题数：

10，分数：

50.00）

1.当x→0时，

时x7的（   ）。

（分数：

5.00）

 A.低阶无穷小

 B.等价无穷小

 C.高阶无穷小 正确答案

 D.同阶但非等价无穷小

解析：

因为当x→0时，

，正确答案为C。

2.函数

，在x=0处（   ）。

（分数：

5.00）

 A.连续且取极大值

 B.连续且取极小值

 C.可导且导数为0

 D.可导且导数不为0 正确答案

解析：

3.设函数f（x）=ax-blnx（a＞0）有两个零点，则

的取值范围是（   ）。

（分数：

5.00）

 A.（e,+∞） 正确答案

 B.（0,e）

 C.

 D.

解析：

4.设函数f（x,y）可微，且f（x+1，ex）=x（x+1）2，f（x,x2）=2x2lnx，则df（1,1）=（   ）。

（分数：

5.00）

 A.dx+dy

 B.dx-dy

 C.dy 正确答案

 D.-dy

解析：

5.二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为（   ）。

（分数：

5.00）

 A.2,0

 B.1,1 正确答案

 C.2,1

 D.1,2

解析：

令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故应选B。

6.设A=（a1，a2，a3，a4）为4阶正交矩阵，若矩阵

， k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=（   ）。

（分数：

5.00）

 A.a2+a3+a4+ka1

 B.a1+a3+a4+ka2

 C.a1+a2+a4+ka3

 D.a1+a2+a3+ka4

 正确答案

解析：

因为A=（a1，a2，a3，a4）为4阶正交矩阵，所以向量组a1，a2，a3，a4是一组标准正交向量组，则r（B）=3，

， 故线性方程组Bx=0的通解为ka4，而

，故线性方程组Bx=β的通解为x=a1+a2+a3+ka4，其中k为任意常数，故应选D。

7.已知矩阵

，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取（   ）。

（分数：

5.00）

 A.

 B.

 C.

 正确答案

 D.

解析：

8.设A，B为随机事件，且0

（分数：

5.00）

 A.

 B.

 C.

 D.

 正确答案

解析：

9.

（   ）

（分数：

5.00）

 A.

 B.

 正确答案

 C.

 D.

解析：

10.设总体X的概率分布为

，利用来自总体的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为（   ）。

（分数：

5.00）

 A.

 正确答案

 B.

 C.

 D.

解析：

二、填空题（总题数：

6，分数：

30.00）

11.若

=________。

（分数：

5.00）

填空项1:

__________________ （正确答案：

）

解析：

12.

________。

（分数：

5.00）

填空项1:

__________________ （正确答案：

6

）

解析：

13.设平面区域D由曲线

与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为________。

（分数：

5.00）

填空项1:

__________________ （正确答案：

）

解析：

14.差分方程Δyt=t的通解为________。

（分数：

5.00）

填空项1:

__________________ （正确答案：

）

解析：

15.多项式

中x3项的系数为________。

（分数：

5.00）

填空项1:

__________________ （正确答案：

-5

）

解析：

，所以展开式中含x3项的有-x3，-4x3，即x3项的系数为-5。

16.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数________。

（分数：

5.00）

填空项1:

__________________ （正确答案：

）

解析：

三、解答题（总题数：

6，分数：

70.00）

17.已知

存在，求a的值。

（分数：

10.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

要想极限存在，则左右极限相等；

）

解析：

18.求函数

的极值。

（分数：

12.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

）

解析：

19.设有界区域D是x2+y2=1和直线y=x以及x轴在第一象限围城的部分，计算二重积分

。

（分数：

12.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

）

解析：

设n为正整数，y=yn（x）是微分方程xy'-（n-1）y=0满足条件

的解。

（分数：

12）

（1）.求yn（x）。

（分数：

6）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

）

解析：

（2）.求级数

的收敛域及和函数。

（分数：

6）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

）

解析：

20.设矩阵

仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。

（分数：

12.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

当b=3时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则

）

解析：

在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，

。

（分数：

12）

（1）.求X的概率密度。

（分数：

4）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

）

解析：

（2）.求Z的概率密度。

（分数：

4）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

）

解析：

（3）.求

。

（分数：

4）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（

）

解析：