初一数学体系讲义第4讲平行线的性质.docx
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初一数学体系讲义第4讲平行线的性质
初一数学(新课)班讲义(57期)
第四讲平行线的性质
一、新课课题
(一)平行线具有的性质:
如图1
性质1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行,同位角相等。
性质2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行,内错相等。
性质3:
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行,同旁内角互补。
归纳性质:
同位角。
两条平行线被第三条直线所截,。
。
同位角。
简单说成:
两直线平行。
。
(二)证明性质的正确性:
1、性质1→性质2:
如图1,
∵a∥b(已知)
∴∠1=∠2()
又∵∠3=∠1(对顶角相等)。
∴∠2=∠3(等量代换)。
2、性质1→性质3:
如右图,
∵a∥b(已知)
∴∠1=∠2()
又∵()。
∴(等量代换)。
(三)命题、定理:
命题“两直线平行,内错角相等”的题设是,结论
是;这个命题是(真/假)命题。
这个真命题也叫做
。
(四)两条平行线的距离:
1、如图2,已知直线AB∥CD,E是直线CD上任意一点,
过E向直线AB作垂线,垂足为F,这样做出的垂线段
EF的长度是平行线的距离。
2、结论:
两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置而改变
二、新课讲解
例题1:
如图3,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°。
求∠AGD的度数。
解:
∵EF∥AD(已知)
∴∠2=(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴AB∥(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∵∠BAC=70°,
∴∠AGD=。
变式练习1-1:
如图4所示,已知:
AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,且AB∥CD。
求证:
∠1+∠2=90°。
证明:
∵AB∥CD,(已知)
∴∠BAC+∠ACD=180°,()
又∵AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,()
∴,,()
∴°=90°。
即∠1+∠2=90°。
变式练习1-2:
如图5,已知:
AB∥CD,MG平分∠AMN,NH平分∠DNM,求证:
MG∥NH。
小结:
(1)若两条平行线被第三条直线所截,则一组同旁内角的角平分线互相。
(2)若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的角平分线互相。
例题2:
如图6,点A在直线MN上,且MN//BC,求证:
∠BAC+∠B+∠C=180°。
变式练习2-1:
如图7,直线,∠1=∠2,求证:
∠3=∠4。
变式练习2-2:
如图8,已知AC∥DE,且∠A=∠D,请说明∠B=∠DCE。
例题3:
如图9所示,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC的度数。
变式练习3-1:
如图10所示,AB∥CD,AD∥BC,∠A的2倍与∠C的3倍互补,求∠A和∠D的度数。
变式练习3-2:
如图11所示,已知,AB∥CD,BC∥DE,若∠B=55°,求∠D的度数。
三、巩固与提高
(A组)基础训练
1、如图12所示,AB∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
2、如图13所示,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠BDC等于()
A.78°B.90°C.88°D.92°
3、下列说法:
①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是()
A.①B.②和③C.④D.①和④
4、如图14所示,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF为()
A.35°B.30°C.25°D.20°
5、如图15所示,如果DE∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是______;
如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________,根据是________。
6、如图16所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、后的两条路平行,若第一
次拐角是30°,则第二次拐角为________。
7、如图17所示,AB∥CD,∠D=80°,∠CAD:
∠BAC=3:
2,则∠CAD=______,∠ACD=_____。
8、下列命题的题设是什么?
结论是什么?
(1)“两条直线相交,只有一个交点”的题设是_________________,结论是________________。
(2)“如果,那么a=b”,是______(真/假)命题。
9、如图18,平行光线AB、DE照射在平面镜上,经反射得到光线BC与EF,已知∠1=∠2,
∠3=∠4,则光线BC与EF平行吗?
为什么?
图18
10、如图19,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF。
(1)AE与FC会平行吗?
说明理由
(2)AD与BC的位置关系如何?
为什么?
(3)BC平分∠DBE吗?
为什么?
(B组)能力提高
1、如图20,AB∥CD,∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,
则∠E:
∠F=()。
A.2:
1B.3:
1
C.3:
2D.4:
3
2、如图21所示,已知AB∥CD,∠A=∠AMN,说明MN∥CD。
3、如图22,CD⊥AB,EF⊥AB,∠E=∠EMC。
求证:
CD是∠ACB的平分线。
4、如图23,已知:
E、F分别是AB和CD上的点,DE、AF分别交BC于G、H,∠A=∠D,
∠1=∠2,求证:
∠B=∠C。
5、如图24,已知:
AB//CD,求证:
∠B+∠D+∠BED=(至少用三种方法)
图24
四、趣味数学
金匠偷金子了吗?
希伦给金匠一定量的金子(设其重量为W)制造皇冠。
当希伦收到那顶皇冠时,他请阿基米德鉴定它是否含有全部的金子,或金匠是否偷走了一些而代之以较廉价的金属。
公元前1世纪著名的罗马建筑师维特鲁威是这样记载的:
“阿基米德反复琢磨这一问题,一天他偶然来到洗澡间,在那儿,他注意到,当他坐进浴缸里,漫出浴缸的水的数量等于他浸在浴缸中的身体所排出的水量。
这一点向他暗示了解决这一问题的方法,于是他立即欣喜地跳出浴缸,光着身子向家奔去,并大声喊着他已发现了他寻找的东西。
因为当他跑的时候,他反复大声地用希腊语叫道,我找着啦!
我找着啦!
”
他找到了什么?
阿基米德领悟到:
既然金是密度最大的金属,那么,重量为W的纯金皇冠的体积会比同样重量搀假的金皇冠的体积要小些。
他让一个容器装满水并投进重量为W的金子。
然后他将溢出来的水收集起来,这些水的体积与该金子的体积相等。
下一步他让另一个容器装满水,皇冠在监督之下被放入水中。
果然,它排出的水体积较大,证明那位卑劣的金匠偷去了希伦国王的金子。
五、考考你(共5小题,每小题20分,共100分)
1、(2010年山东聊城)如图25,l∥m,∠1=115°,∠2=95°,则∠3=()
A.120°B.130°C.140°D.150°
2、(2011四川南充市)如图26,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=60°,下列结论成立的是()
A.∠C=60°B.∠DAB=60°C.∠EAC=60°D.∠BAC=60°
3、(2010湖北孝感)如图27,直线AB、CD相交于点O,OT⊥AB于O,CE∥AB交CD于点C,
若∠ECO=30°,则∠DOT=()
A.30°B.45°C.60°D.120°
4、(2011浙江绍兴)如图28,已知AB∥CD,BC平分ABE,∠C=34°,则∠BED的度数是()
A.17°B.34°C.56°D.68°
5、(2011浙江丽水)如图29,有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上。
如果∠1=20°,那么∠2的度数是()
A.30°B.25°C.20°D.15°
六、课外作业
1、如图30所示,∠BAN=70°,∠CNG=70°,∠EMN=110°,可以推出AB∥CD,AG∥EF。
请完成下列填空:
解:
∵∠BAN=70°,∠CNG=70°,(已知)
∴∠BAN=∠CNG。
∴_______∥_______()
又∵∠ANM=∠CNG()
∴∠ANM=70°()
∴∠ANM+∠EMN=110°+70°=180°,
∴AG∥EF()
2、如图31,AB∥EF,∠B=35°,∠F=42°,求∠BCF。
初一数学(新课)班补充讲义(57期)
第四讲平行线的性质
【能力拓展】
1、
密封线
如图1,已知AB∥CD,分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,请从你所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性。
图1
(1)图1
(2)图1(3)图1(4)
结论:
(1)________________
(2)_______________
(3)________________(4)_______________
选择结论:
____________,
说明理由:
2、如图2,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,∠B-∠D=24°。
求:
∠GEF。
【课堂小测】(每小题20分,共100分)
1、(2010年滨州)如图1,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,且交CD于D点,若∠CDE=150°,则∠C为()
A.120°B.150°C.135°D.110°
2、(2011湖南怀化)如图2,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°,则∠3等于()
A.100°B.60°C.40°D.20°
3、(2010江西)一大门的栏杆如图3所示,BA垂直于地面AE于A,CD平行于地面AE,则
∠ABC+∠BCD=°。
4、(2010年宁德市)如图4,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=35°,
那么∠2是_______°。
5、(2011四川广安,12,3分)如图5所示,直线a∥b.直线c与直线a,b分别相交于点A、
点B,AM⊥b,垂足为点M,若∠1=58°,则∠2=_________°
图3
初一数学(新课)班讲义第四讲参考答案(57期)
一、新课课题
(一)相等;内错相等;同旁内角互补;相等;内错相等;两直线平行,内错相等;
同旁内角互补;两直线平行,同旁内角互补。
(二)两直线平行,同位角相等;两直线平行,同位角相等;∠1+∠4=180°;邻补角互补;
∠2+∠4=180°;
(三)如果两条平行线被第三条直线所截,那么内错角相等,真,定理;
二、新课讲解
例题1:
∠3;DG;∠DGA,110°;
变式练习1-1:
两直线平行,同旁内角互补;已知;角平分线的性质;
变式练习1-2:
证明:
∵AB∥CD,(已知)
∴∠AMN=∠DNM(两直线平行,内错角相等)
又∵MG平分∠AMN,NH平分∠DNM(已知)
∴,,(角平分线的性质)
∴(等量代换)
∴MG∥
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