四边形内角和与平行四边形的性质及判定方法.docx
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四边形内角和与平行四边形的性质及判定方法
四边形内角和与平行四边形的性质及判定方法
课题
四边形内角和与平行四边形的性质及判定方法
教学目标
1.能熟练掌握平行四边形的判定方法,能应用其性质进行解决问题;
2.掌握多边形内角和的计算公式;
3.能够掌握特殊四边形的判定――正方形,矩形,菱形及梯形的运用
重点、难点
主要是对于平行四边形的判定,利用多边形内角和计算公式进行计算,对于特殊四边形的判断,注意必须满足的判定条件
考点及考试要求
能应用四边形的判定进行几何证明题的解决
教学内容
四边形知识点详解:
一、多边形
多边形的内角和:
多边形内角和等于
多边形的外角和:
多边形外角和等于3600
过n边形的一个顶点共有(n-3)条对角线,n边形共有
条对角线.
过n边形的一个顶点将n边形分成(n-2)个三角形.
二、平行四边形
1.平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,平行四边形的定义要抓住两点,即“四边形”和“两组对边分别平行”.
2.两条平行线间的距离:
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做两条平行线间的距离.
两条平行线间的距离是一个定值,不随垂线段位置改变而改变,两条平行线间的距离处处相等.
3.平行四边形的性质:
文字表达:
①平行四边形的两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;
③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.
符号语言表达:
四边形ABCD是平行四边形
4.平行四边形的判定:
文字表达:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言表达:
AB∥CD,BC∥AD
四边形ABCD是平行四边形
AB=CD,BC=AD
四边形ABCD是平行四边形.
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD
四边形ABCD是平行四边形.
OA=OC,OB=OD
四边形ABCD是平行四边形.
∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB
四边形ABCD是平行四边形.
三、矩形、菱形、正方形
1、菱形的性质:
①菱形的四条边都相等.②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.③具有平行四边形所有性质.
2.菱形的判定:
①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.②一组邻边相等的平行四边形是菱形.
③四条边都相等的四边形是菱形.
3.矩形的性质:
①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质.
4.矩形的判定:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②对角线相等的平行四边形是矩形.③有三个角是直角的四边形是矩形.
5.正方形的性质:
①正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
6.正方形的判定:
①有一个角是直角的柳是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线互相垂直的矩形是正方形.
四、梯形
1.定义:
一组对边平行,另一组对进不平行的四边形叫梯形.两腰相等的梯形叫等腰梯形.一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.
2、等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等.
3.等腰梯形的判定:
①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.②对角线相等的梯形是等腰梯形.
4.等腰梯形常见的作辅助线的方法.
(1)作等腰梯形的两条高,将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。
(2)平移一腰,将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形.
(3)平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形。
(4)如果题中有一腰的中点,则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。
五、中位线
定义;
几何证明中经常用到中位线。
六、平面向量
定义:
要素
加减法则。
七、常见辅助线用语:
1、连结XX
延长XX至X,使XX=XX
延长XX与XX,交于点X
2、过点X作XX∥XX
3、过点X作XX⊥XX于X
巩固练习:
一、填空题
1.六边形共有( )条对角线.
2.一个多边形内角和为540°,则其边数为( ).
3.一个多边形每一个外角都是30°,则这个多边形是( )边形.
4.从凸n边形一个顶点出发,有( )条对角线.
5.一个多边形的边数正好等于这个多边形对角线的条数,则边数为( ).
6.任意多边形的外角和为( )度.
二、选择题(把正确答案的序号字母填入括号中)
1.一个凸n边形的n个角中,至多有几个角是锐角.结论应该是至多有( )个.
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)不能确定
2.一个凸多边形内角和900°,则这个多边形边数为( )条.
(A)8 (B)5 (C)7 (D)10
3.如果从一个凸多边形的一个顶点出发,一共有17条对角线,则这个多边形内角和为( ).
(A)1800° (B)2400° (C)3240° (D)4206°
4.平行四边形对角线将其分成全等三角形( )对.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
三、求解题
1.一个多边形的内角和是其外角和的2倍,求边数.
2.多边形每一个内角都是150°,求对角线的条数.
3.两个角的两边分别垂直,且一个角是另一个角的4倍还少30°,求这两个角的度数.
4.一个多边形的各内角都相等,且内外角之差的绝对值为60°,求边数.
5.一个多边形的内角和与其一个外角的总和为1350°,求边数.
6.多边形的一个外角与其余各内角和为600°,求边数.
提高练习:
一、选择题
1.能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是().
(A)AB∥CD,AD=BC;(B)∠A=∠B,∠C=∠D;
(C)AB=CD,AD=BC;(D)AB=AD,CB=CD
2.在□ABCD中,∠A、∠B的度数之比为5∶4,则∠C等于()
A.60°B.80°C.100°D.120°
3.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是()
A.2B.4C.6D.8
4.平行四边形具有,而一般四边形不具有的性质是( )
A.外角和等于360° B.对角线互相平分
C.内角和等于360° D.有两条对角线
5.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形:
①平行四边形②矩形③菱形④
正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形,一定能拼成的图形是()
A、①④⑤B、②⑤⑥C、①②③D、①②⑤
6.小明和小亮在做一道习题,若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件,使得四边形ABCD是菱形。
小明补充的条件是AB=BC;小亮补充的条件是AC=BD,你认为下列说法正确的是()
A、小明、小亮都正确B、小明正确,小亮错误
C、小明错误,小亮正确D、小明、小亮都错误
7.下面性质中菱形有而矩形没有的是()
(A)邻角互补(B)内角和为360°(C)对角线相等(D)对角线互相垂直
8.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
(A)四条边相等(B)对角线互相垂直平分
(C)对角线平分一组对角(D)对角线相等
9.下列命题中,真命题是()
A、有两边相等的平行四边形是菱形B、有一个角是直角的四边形是直角梯形
C、四个角相等的菱形是正方形D、两条对角线相等的四边形是矩形
10.如图10,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,那么它的四个内角按一定顺序的度
数比可能为()
A、3:
4:
5:
6B、4:
5:
4:
5C、2:
3:
3:
2D、2:
4:
3:
3
二.填空题
1.在
中,
,则
度.
2.在
中,两邻边的差为4cm,周长为32cm,则两邻边长分别为________.
3.在
中,
,则
的周长为________cm.
4.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm,则这个菱形的面积是______cm.
5.等腰梯形的上底是10cm,下底是14cm,高是2cm,则等腰梯形的周长为______cm.
6.对角线长为10cm的正方形的边长是______cm,面积是______cm2。
7.若菱形的周长为24cm,一个内角为60°,则菱形的面积为______cm2。
8.如图,已知AD∥BC,要使四边形ABCD为平行,
四边形需要增加一个条件是:
_______。
三.解答题
1.在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段,求该平行四边形的周长是多少?
2.如图,
中,E为BC上一点,
于
,求
的度数.
3.已知:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,∠C=30°,AD=2,BC=8。
求:
梯形两腰AB、CD的长。
4.已知菱形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,∠BAD=120°,求∠ABD的度数。
5.如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:
AF=CE.
6.已知:
如图,
ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:
EO=OF.
7.如图,已知四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:
四边形EFGH是菱形.
8.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.
求证:
BE=CF.
课后练习
1.内角和与外角和相等的多边形是()
(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形
2.顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是()
(A)菱形(B)矩形(C)梯形(D)两条对角线相等的四边形
3.已知下列四个命题:
(1)对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(2)对角线垂直相等的四边形是菱形;
(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形;(4)四边都相等的四边形是正方形.其中真命题的个数是()
(A)1(B)2(C)3(D)0
4.菱形的一条对角线与它的边相等,则它的锐角等于()
(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°
5.下列命题中的真命题是()
(A)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
(B)有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形
(C)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
6.如图,DE是△ABC的中位线,若AD=4,AE=5,BC=12,则△ADE的周长
是()
(A)7.5(B)30(C)15(D)24
6题图7题图
7.如图,在□ABCD中,则对角线AC、BD相交于O,图中全等的三角形共有____对.
8.如果一个多边形的每个内角都等于108°,那么这个多边形是_____边形.
9.已知:
如图,AD∥BC,ED∥BF,且AF=CE.求证:
四边形ABCD是平行四边
形.
13.已知:
如图,矩形ABCD中,E、F是AB上的两点,且AF=BE.
求证:
∠ADE=∠BCF.
14.已知:
如图,在□ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,BE=12cm,CE=5cm.求□ABCD的周长和面积.
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