5.(06北京)已知
f(x)=
(3-a)x-4a,
X:
:
1
X_1
是(-:
:
,•:
:
)上的增函数,那么a的
logax,
取值范围是(
)
A.(1,•:
:
)
b.
(」:
3)C
3
.上,3)
D.(1,3)
(3a-2)x6a-1,x<1--
6.已知f(x)=x是(-:
:
=)上的减函数,那么a的取值范围
la,xn
是.
「2
ax1,x_0
7.(2010浙江)f(x)=<2ax在(-°0,畑)上单调,则a的取值范围是()
[(a_1)e,xv。
A..2丨1,•.2】B.L、、2,-1一L.2,:
:
C.1,•.2】dJ.2,:
:
成立,则a的取值范围为:
9.已知f(x)=xx—a+2x—3,若函数f(x)在R上是增函数,求a的取值范围。
10.
f(x)=lgx,设
(06福建)已知f(X)是周期为2的奇函数,当0VxV1时,
a=f(6),b=f(3),c=f(5),则()
522
11.已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数,且X!
x2:
:
:
0,x2-x3:
:
:
0,x3-x—:
:
0,
贝yf(Xi)f(X2)f(X3)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.以上都可能
3
12.已知函数f(x)二-x_x,且x^x20,x2•x30,x3,0贝
f(ix)f(2X)的值X))A.大于0B.小于0C.等于0D.以上都可能
13.设f(x)是定义在(0,•:
:
)上的单调增函数,且满足f(xy)=f(x)•f(y),则不等式
f(3x)f(x-2)一0的解集为()
3
1212
A.H--1]B.(-,1]C.(0,1]D.[-;,0)U(;,1]
3333
14.若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图像经过点A(0,3)和B(3,-1),则不等式
f(x+1)-1<2勺解集是.
32
15.已知f(x)=sinxx且x•(-1,1),若f(1「a)•f(1「a)■■■0,贝Ua的取值范围是
16.(09陕西)定义在R上的偶函数f(X)满足:
对任意的x1,x^H30,0](x萨X2),有
(X2-X1)(f(xJ-f(X1))0.则当nN.时,有()
A.f(—n):
:
f(n「1):
:
f(n1)B.f(n「1):
:
f(-n):
:
:
f(n1)
C.f(n1):
:
f(—n):
:
f(n-1)D.f(n1):
:
f(n—1):
:
f(一n)
二.研究函数单调性问题的一般方法:
(1)在研究函数的单调性时,应先确定函数的定义域,有时需要将函数化简,转化为讨论
一些熟知函数的单调性。
即基本初等函数性质法。
掌握下列一些单调规律对解题大有裨益:
1若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)在公共的定义域上仍为增(减)函数;
2若f(X)为增(减)函数,则一f(X)为减(增)函数;
3奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在其定义域
内关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
4互为反函数的两个函数有相同的单调性;
5若f(X),g(x)均为增函数且恒正(负),则f(x)*g(x)也为增(减)函数。
1
⑥若f(X)为单调函数且恒正或恒负,则与f(x)单调性相反。
f(x)
⑦复合函数y二f[g(x)]的单调规律是“同则增,异则减”,即f(u)与g(x)若具有相同
的单调性则f[g(x)]必为增函数,若具有不同的单调性则f[g(x)]必为减函数,讨论复
合函数单调性的步骤是:
①求出复合函数的定义域;
2把复合函数分解成为若干个常见的基本函数,并判定其单调性;
3把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围;
4根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性
1
【考点专练】1.(05上海)若函数f(x)=x,则该函数在(-:
:
「:
)上是()
2+1
A.单调递减无最小值E.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值
Jin
2.(05全国)已知函数y=ta在(,)内是减函数,则()
22
A.0:
:
_1B._1_:
:
:
0C.,_1D.._-1
3.(2006广东)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数是()
1x.-3
A.y二sinx,xRB.y=(—),xRC.y二x,xRD.y--x,xR
2
4.(04,上海)若函数f(x)=ax-b2在[0,•:
:
)上为增函数,则实数a、b的取值范
围是。
5.(2012安徽文)若函数f(x)=2x+a的单调递增区间是3,址),则a=。
6.(07,辽宁)函数y=log1(x2-5x•6)的单调递增区间是
2
21
7.函数f(x)=a^1的单调递增区间为(0,•:
:
),那么实数a的取值范围是()
x
D.a:
:
0
B.a0
8.设F(x)=f(x)+f(-x),x・R,H7^--]是函数F(x)的单调递增区间,将F(x)的图
像按向量a二(:
0)平移得到一个新的函数G(x)的图像,贝UG(x)的单调递减区间必定是
Jin
()A.[-—,0]B.[—,二]C.[二,]D.[,2二]
2222
2
9.函数y=log1(x-3x4)的单调递增区间是
3
2
10.若函数f(x)=lg(x-ax-3)在(」:
,-1)上是减函数,则a的取值范围是()
A.a>2B.a<2
11.给出下面四个条件:
0:
:
a10a:
:
1
①②
x0x0
y=logx^为单调减函数的是.
12.(2006,重庆)已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是(
13.
(a0且a=1)在区间[0,•:
:
)上是增
函数,那么实数a的取值范围是(
A.(0,2]
1)
3
D.[-^:
=)
16.(2011江苏)函数f(x)=|og5(2x+1)的单增区间是:
-ax
17•已知函数f(x)(a=1)。
(1)若
a—1
a0,求f(x)的定义域。
(2)若f(x)在区
x
3,其中常数a,b满足ab=0。
间(0,1]上是减函数,求a的取值范围。
x
18.(2011,上海)已知函数f(x)=a2b
(1)若ab0,判断函数f(x)的单调性;
⑵若ab:
:
:
0,求f(x1)f(x)的x的取值范围。
(2)证明函数的单调性与求函数的单调区间,均可用单调函数的定义,具体方法常用作差法
或作商比较法。
【考点专练】1•函数f(x)对任意a,b•R都有f(a•b)=f(a)•f(b)-1,并且当x>0时
2
f(x)>1,求证:
①f(x)在R是增函数。
②若f(4)=5,解不等式f(3口-m-2):
:
:
3。
2•已知函数f(x)的定义域(0,•:
:
),且对任意的正实数x,y都有f(xy)二f(x)•f(y),
1
且当x1时f(x)0,f(4)=1
(1)求证:
f
(1)=0;
(2)求f();
(3)解不等式f(x)f(x一3)叮
3.(2006,东北三校)设函数f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m,n都有
f(m)f(n)=f(mn),且当xvo时,f(x)>1。
(1)证明:
①f(O)=1;②当x>0时,0Vf(x)V1;③f(x)是R上的减函数。
22
(2)如果对任意实数x,y,有f(x)(y)乞f(axy)恒成立,求实数a的取值范围。
4.(2006,苏州)已知y=f(x)是奇函数,它在(0,•:
:
)上是增函数,且f(x)V0,试
1
问F(x)=在(-:
:
0)上是增函数还是减函数?
f(x)
5•已知f(x)是定义在1-1,1]上的奇函数若a,^1-1,1且a5=0.有丄型0a+b
①判断f(x)在〔-1,11上的单调性,并证明之.②解不等式f(5x-1):
:
:
f(6x2)
(3)求函数的单调区间,除定义法外,还可以根据函数图像用数形结合法。
(4)利用导数也可以判断函数的单调性,其步骤:
①求定义域②求导数f/(x);
③令f/(x)>0得不等式的解集即为单调增区间.『(x)<0的解集即为单调减区间。
注意:
1.单调区间是定义域的子集。
2.反之,若已知函数在某个区间上具有单调性;则
f/(x)_0(乞0在该区间上恒成立.3.若单调区间在两个或两个以上,用”,”及”,“和”,与表示。
(5)含参数的函数的单调性或单调区间求解方法是:
“三问”
【考点专练】1.(07,四川)设函数f(x)=ax3•bx•c(a=0)为奇函数,其图像在点(1,f
(1))
处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f/(x)的最小值为一12.①求a,b,c的值。
②求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)有[-1,3]上的最大值和最小值。
x
e
2设函数f(x)=二,其中a为实数。
①若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
x+ax+a
②当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单调区间。
(07,陕西)
xx
3.(07安徽)设函数f(x)=—cos2x-4tsincos4t3t2-3t4,xR,其中
22
乞1,将f(x)的最小值记为g(t)。
①求g(t)的表达式。
②讨论g(t)在(—1,1)内的单调性并求极值。
4.(04,全国)已知函数f(x)=ax33x?
一x■1在R上是减函数,求a的取值范围。
3
5.(04,天津)已知函数f(x)=axcxd(a=0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取
得极值-2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值。
(2)证明对任意XhXzWI」),不等式f(N)-f(x2)V4恒成立。
x-a
6.已知f(x)=p为奇函数。
①求a,b的值。
②求f(x)单调区间,并加以证明。
x+bx+1
③求f(x)的值域。
1_x
7.(陕西09)已知函数f(x)=ln(ax1),x_0,a0.
1+x
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值.
⑵求f(x)的单调区间.(3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围。
1■I■xax
8.已知函数f(x)e。
(1)设a0,讨论y=f(x)的单调性。
(2)若对任意
1-xD
x:
=(0,1)恒有f(x)・1,求a的取值范围。
2
2ax+1_
9.已知函数f(x)尸(x・R),其中a・R。
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)
x+1
在(2,f
(2))处的切线方程。
(2)当a=0时,求函数f(x)的单调区间与极值。
(1)试求函
10。
已知函数f(x)二x「aInx和g(x)二x「a、、x。
在x=1处的切线平行。
数f(x)和g(x)的单调增区间。
(2)设1:
b3,求证;lnb•b.:
:
:
2b
(1)设函数F(x)二f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值。
(3)若存在均属于区间1,3的:
」,且I〉二亠1,使f(:
・)=f(J,证明:
In3-1n2In2
a<
53
322
13.(2011天津)已知函数f(x)=4x3tx-6txt-1,^R,其中tR。
(1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当t=0时,求f(x)的单调区间;
(3)证明:
对任意t(0,•:
:
),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。
22
14.(2011浙江)设函数f(x)=aInx-xax,a0。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使e-1zf(x)乞e?
对1,e1恒成立。
—'1
15.(2011陕西)设函数f(x)定义在(0,=)上,f
(1)=0,导函数f(X)二
x
I
g(x)二f(x)•f(x)o
(1)求g(x)的单调区间和最小值。
1
(2)讨论g(x)与g(—)的大小关系。
x
1
(3)是否存在Xo>°,使得g(x)-g(x°)|£—对任意xaO成立?
若存在,求出X。
的取
x
值范围;若不存在,请说明理由。
16.(2012陕西)设函数f」x)二x"bx•c。
(n•N,b,c・R)
A\
(1)设n32,b=1,c=—1,证明:
f」x)区间一,1|内存在唯一零点;
(2)设n=2,若对任意x1,x^匚1,1】,有f2(x1)一f2(X2)乞4,求b的取值范围;
判断数列
X2,X3……的增减性。
2
17.设函数f(x)=3ax-2(ac)xc。
(a0,a,cR)
(1)设ac・0,若f(x)q~2ca对1,•:
:
恒成立,求c的取值范围。
(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点,有几个零点?
为什么?
18.(06湖南卷)已知函数f(x)=ax'-3x2•1-3•讨论函数f(x)的单调性;
a
19.解不等式ax2亠x亠1:
:
:
0
20.(2010年全国卷一21)已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x.
1
(I)当a=时,求f(x)的极值;(n)若f(x)在(-1,1)上是增函数,求a的取值范围.
6
215
21.若不等式x+ax+40对一切x€(0,_]成立,则a的最小值为()A.0B.-2C.D.-3
22
22•已知函数f(x)=x2alnx.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值。
2
(2)若g(x)=f(x)+-在[1,•:
:
]上是单调增函数,求实数a的取值范围。
x
23.(2009年重庆)不等式|x•3|一|x一1|乞a2—3a对任意实数x恒成立,则实数a的取
值范围为()A(-二,-1]-[4,二)B、(-:
:
,-2]一[5,:
:
)
C[1,2]D、(-:
:
1]_•[2,:
:
)
24、若不等式|x-2|•|x•3|•a,对于x•R均成立,那么实数a的取值范围是()
A(-:
:
5)B、[0,5)C、(-:
:
,1)D、[0,1]
25.若存在实数x满足x-3+x-mc5,则实数m的取值范围为:
26.不等式|0g3(x-4•x5)a对一切的R恒成立,则实数a的取值范围为:
27.已知函数f(x)=alnx—x2+1.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x—y+b=0,求实数a和b的值;⑵若a<0,且对任意X1、X2^(0,+^),都|f(x”—f(x2)|>|X1—X2|,求a的取值范围.
3
28.已知函数f(x)=axcxd(a=0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值。
(2)证明对任意x1,X2E(T,1),不等式|f(xj-f区)£4恒成立。
29.(2014陕西文)设函数f(x)=lnx,m,m,R.
(3)若对任意ba0,f(b)一f(a):
:
:
1恒成立,求m的取值范围.
b-a
30.f(x)=x2_2x,g(x)=ax2(a0),对-捲•〔-1,2丨x^1-1,21,使得
g(xj=f(x0),则a的取值范围是()
A.0,1B.-,3C.3,:
:
D.0,31
「2」12J''
31.已知函数f(x)=1nx,g(x)=2x2-bx(b为常数,b1),对于区间1.1,21上的任意两
2
个不相等的实数X1,X2,都有f(xj-f(X2)||g(xj-g(X2)成立,求b的取值范围。