利用导数解题的综合分析本科学位论文.docx
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利用导数解题的综合分析本科学位论文
淮北师范大学信息学院2013届学士学位论文
利用导数解题的综合分析和探讨研究
系别:
数学系
专业:
数学与应用数学
学号:
200918084001
姓名:
柴先红
指导教师:
王慧
指导教师职称:
讲师
2013年5月10日
利用导数解题的综合分析和探讨研究
柴先红
(淮北师范大学信息学院,安徽淮北,23500)
摘要
导数时近代数学的基础,时数学分析课程中重要的基础概念之一;是研究客观世界物质运动变化的有力工具,在现代化建设的各个领域中有着广泛的应用,自然对中学数学也有着重要的指导作用.本文就从五个方面来介绍导数在中学数学中的应用,运用导数的思想方法和基本理论来解决数学中有关函数性质的讨论及其应用、数列前项之和、不等式的证明、应用题求解等问题.既为解决初等数学的某些问题找到了一些新的途径,又使导数对初等数学的知道作用得到具体说明.需要再修改!
关键词:
导数,应用,函数,数列,不等式,初等数学
DerivativeComprehensiveAnalysisandDiscussionofResearchtoSolveProblems
ChaiXianhong
(Huaibeinormaluniversitycollegeofinformation,huaibei,23500)
Abstract
Derivativeasthebasisofmodernmathematics,themathematicalanalysisisoneoftheimportantbasicconceptsinthecourse;Isthestudyoftheobjectiveworldpowerfultool,changeofmaterialmovementinmodernconstructionhasbeenwidelyusedineveryfield,naturealsohasanimportantguidingroleformiddleschoolmathematics.Thispaperfromfiveaspects,introducestheapplicationofderivativeinthemiddleschoolmathematics,basedontheideaofderivativemethodandbasictheorytosolveinmathematics,adiscussionaboutthenatureofthefunctionandapplication,thesequenceofthesumreferredtointheprecedingparagraph,theinequalityproof,suchaswordproblemsolvingproblems.Someelementarymathematicstosolvetheproblemsfoundoutsomenewway,andthederivativeofelementarymathematicsknowroleforspecificinstructions.
Keywords:
derivative,application,Function,Thesequence,Inequality,Elementarymathematics
目录
引言……………………………………………………………………………………1
1、导数的概念……………………………………………………………………2
二、导数的应用………………………………………………………………………2
1.导数在数列中的应用…………………………………………………………2
2.求曲线的切线方程……………………………………………………………7
3.导数在探究函数性质中的应用………………………………………………8
3.1利用导数判断函数的单调性……………………………………………8
3.2利用导数求函数的最值与极值………………………………………11
3.3导数在函数中的其它应用……………………………………………15
4.导数在不等式中的应用………………………………………………………16
5.导数在实际问题中的应用……………………………………………………17
总结…………………………………………………………………………………18
参考文献……………………………………………………………………………18
引言
导数是函数与解析几何的交汇点,有着重要的工具作用.是我们学习的必需工具之一,用它可以解决许多数学问题.现已是高考重点考察的基础知识,主要以应用题的形式出现,例如利用导数处理函数的最值、极值和单调性问题及曲线问题等,除此之外,导数还有其他用途,比如利用导数研究函数的图像,利用导数证明不等式等问题.
导数的概念
定义设函数在点的某邻域内有定义,若极限
(1)
存在,则称函数在点出可导,并称该极限为函数在点处的导数,记作.
令则
(1)式可改写为
.
定义设函数在点的某右邻域上有定义,若右极限
存在,则称该极限值为在点的右导数,记作.
类似地,左导数为
注:
右导数和左导数统称为单侧导数.
若函数在区间I上没一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数)
则称为I上的可导函数.此时对每一个,都有的一个导数(或单侧导数)与之对应.称为在I上的导函数,简称为导数.记作,或,即
.
导数的几何意义
函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率。
若表示这条切线与轴正向的夹角,则=。
从而>0意味着切线与轴正向的夹角为锐角;<0意味着切线与轴正向的夹角为钝角;=0表示切线与轴平行(如图).
二、导数的应用
1.导数在数列中的应用
数列求和是数学中比较常见的问题,也是学生难以掌握的问题,用常规方法求数列的和,有时技巧很高,或者计算十分繁琐,如果借助导数这一工具,用导数的相关性质来解决此问题,常可化繁为易.
例1已知函数,数列满足.
(1)求;
(2)证明数列是递减数列.
解
(1)因为,,得
,
又>0,故.
(2)令,则.因为,<0.故<0,为递减函数,从而也是递减的,即证.
例2设函数数列,满足.
⑴证明:
函数在上是增函数;
⑵求证:
;
⑶若,求证:
.
证明⑴因为时,恒成立,所以函数在上是增函数.
⑵由.又因为,所以,故.由⑴知当时,,所以,
故.
下面用数学归纳法进行证明:
当时,,命题成立;
假设当时命题成立,即.因为恒成立,所以,即,所以,当时命题成立.
据可知对任意的命题均成立.
⑶先证明.
令
,
则.
令
,
,所以在上是单调递减,即在上单调递减.又因为,所以.故在上是单调递减.
又因为,所以恒成立.又因为,所以,即.
再证明时,,由.
又因为…,当时,
……….
从而.
例3已知实数是常数,当时,是增函数.
⑴求的取值范围;
⑵设数列的前项和为,比较与的大小.
解⑴因为,所以.
因为,当时,是增函数,所以在时恒成立.即在时恒成立.又因为时,是减函数,所以当时,.故.
⑵当时,
由⑴知,当时,是增函数.所以当时,即.所以,当时,,故当时,因为是正整数,所以故
即所以
…
…
=
故…从而.
例4已知函数数列的首项(为大于1的常数),且
⑴设求函数的单调区间;
⑵求证:
⑶若当时,恒成立,求的取值范围.
解⑴由题设知,则
当时,恒成立,故的单调区间为
⑵先用数学归纳法证明
当时,,不等式成立;
假设当时,,
由于,则恒成立与,所以函数在上为增函数,故当时,那么当时,,则当时不等式任然成立.由,知,
再证,即证,由⑴知在上单调递增,所以当时,,故成立,
综上所述,成立.
⑶由,得,又,所以,
设,则,记,则恒成立于,则在上单调递增,所以当时,,故当时,,从而在上单调递增,由⑵知,所以(当且仅当时等号成立),因为当时,恒成立,所以恒成立,故,从而的取值范围是.
2.求曲线的切线方程
在求过点所作函数对应曲线的切线方程时应先判断改点是否在曲线上.
(1)当点在曲线上,即为切点,则切线方程为
(2)当点不在曲线上,则设切点为.由,先求切点坐标,然后进一步求切线方程.
例5已知曲线,求过点的曲线的方程.
解因,所以.则当时,.
ⅰ)当时,点在曲线上,故过点的曲线的切线方程为即.
ⅱ)当时,点不在曲线上,设曲线过点的切线切点是,
则切线方程为,且点在此切线方程上,故有
,即.又,则有即又,
当时,;当时,
所以切线方程,即,当时,故切线不存在.
3.导数在探究函数性质中的应用
3.1利用导数判断函数的单调性
假设在点中可导
⑴若对中所有而言,则在中递增;
⑵若对中所有而言,则在中递减;
⑶若对中所有而言,则在中不变.
由此可见,只要求出函数的导数,判断其正负,则能判断函数的单调性.这种方法比传统的“定义法”及“图像法”更方便.
例6已知函数(>0),.
(1)若曲线与曲线在他们的交点处具有公共切线,求的值;
(2)当时,求函数的单调区间.
解
(1).由题知,,故,
得.由
(1)知,.
令,即,
又,所以
,,
令
,得.
>0时,的情况如下:
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
所以函数的单调递增区间为,;单调递减区间为.
例7已知函数.
⑴求的单调区间;
⑵若对任意的,都有,求的取值范围.
解⑴,
令
.
ⅰ),当时,,则递增;
当时,,则递减;
当时,,则递增.
故的单调递增区间为,单调递减区间为.
ⅱ),当时,,则递减;
当时,,则递增;
当时,,则递减.
故的单调递增区间为,单调递减区间为.
⑵当时,因为.所以不会有.
当时,由
(1)知在上的最大值是.
故等价于,故.
例8已知函数,当时,讨论的单调性.
解
令
ⅰ),
当时,,故在上递增;
当时,,故在上递减.
ⅱ)由,
,故在上递减;
,则时,则递减;
,则递增;
,,则递减.
,时,则则递减;
,则递增.
综上,当时,在上递减,在上递增;
当时,在上递增,在和上递减.
3.2利用导数求函数的最值与极值
求可导函数的极值的一般步骤和方法是:
求导数;
求方程的根;
检验在方程的根的左右符号.若在根左侧附近为正,右侧附近为负,那么,函数在这个根处取得极大值;若在根左侧附近为负,右侧附近为正,那么,函数在这个根处取得极小值.
对于连续,在内可导的函数的最值求解,可先求出函数在上的极大(小)值,并与比较,即可得出最大(小)值.
例9求函数的最值.
解,令
当>1时,<,在上单调递增;
当<1时,>0,在上单调递减;
所以,为的最小值点,即
例10设
⑴若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
⑵当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.
解⑴由
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