八年级上册整式的乘除电子课本.docx
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八年级上册整式的乘除电子课本
第14章整式的乘法
14.1幂的运算
1.同底数幂的乘法
做一做
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();
(2)53×54=________________________=5();
(3)a3•a4=________________________=a().
探索
把指数用字幕m、n(m、n为正整数)表示,你能写出am•an的结果吗?
概括
am•an=
==am+n
有am•an=am+n(m、n为正整数)
这就是说,同底数幂相乘,底数不变,指数相加
例1计算:
(1)103×104;
(2)a•a3
(3)a•a3•a5
解:
(1)103×104=103+4=107
(2)a•a3=a1+3=a4
(3)a•a3•a5=a4•a5=a9
练习
1.判断下列计算是否正确,并简要说明理由:
(1)a•a2=a2;
(2)a+a2=a3;
(3)a3•a3=a9(4)a3+a3=a6
2.计算:
(1)102×105
(2)a3•a7(3)x•x5•x7
2.幂的乘方
做一做
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:
(1)(23)2=23×23=2();
(2)(32)3=32×32×32=3();
(3)(a3)4=a3•a3•a3•a3=a();
探索
根据上面的规律,你能完成下面的填空吗?
(am)n=a()(m、n为正整数)
概括
(am)n==a=a
有
(a)=amn(m、n为正整数)
这就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘。
例2计算:
(1)(103)5
(2)(b3)4
解
(1)(103)5=103×5=1015
(2)(b3)4=b3×4=b12
练习
判断下列计算是否正确,并简要说明理由
(1)(a3)5=a8;
(2)a3•a5=a15;
(3)(a2)3•a4=a9
计算:
(1)(22)2;
(2)(y2)5
(3)(x4)3(4)(y3)2•(y2)3
3.积的乘方
(1)(ab)2=(ab)•(ab)=(aa)•(bb)=a()b()
(2)(ab)3=__________________________
=__________________________=a()b();
(3)(ab)4=__________________________
=__________________________=a()b()。
探索
设n为正整数,(ab)n的结果是什么呢?
概括
(ab)n=
=•
=anbn
有
(ab)n=anbn(n为正整数)
例3计算:
(1)(2b)3;
(2)(2×a3)2
(3)(-a)3;(4)(-3x)4
解
(1)(2b)3=23b3=8b3;
(2)(2×a3)2=22×(a3)2=4×a6
(3)(-a)3=(-1)3•a3=-a3
(4)(-3x)4=(-3)4•x4=81x4
练习
判断下列计算是否正确,并说明理由:
(1)(xy3)2=xy6;
(2)(-2x)3=-2x3
计算
(1)(3a)2;
(2)(-3a)3;
(3)(ab2)2;(4)(-2×103)3
习题14.1
计算(以幂的形式表示)
(1)93×95;
(2)a7•a8
(3)35×27(4)x2•x3•x4
计算(以幂的形式表示)
(1)(103)3;
(2)(a3)7;
(3)(x2)4;(4)(a2)•3•a5
判断下列计算是否正确,并说明理由:
(1)a2•a2=(2a)2;
(2)a2•b2=(ab)4
(3)a12=(a2)6=(a3)4=(a5)7
计算(以幂的形式表示)
(1)(3×105)2;
(2)(2x)2;
(3)(-2x)3;(4)a2•(ab)3
(5)(ab)3•(ac)4.
有若干张边长为a的正方形硬纸卡片,你能拼出一个新的正方形吗?
请你用不同的方法表示新正方形的面积。
从不同的表示方法中,你能发现什么?
14.2整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
例1计算:
(1)3x2y•(-2xy3);
(2)(-5a2b3)•(-4b2c)
解:
(1)3x2y•(-2xy3)
=[3•(-2)]•(x2•x)•(y•y3)
=-6x3y4
(2)(-5a2b3)•(-4b2c)
=[(-5)•(-4)]•a2•(b3•b2)•c
=20a2b5c
概括
单项式和单项式相乘,只要将他们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例2卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒,则卫星运
行3×102秒所走的路程约是多少?
解:
7.9×103×3×102
=23.7×105=2.37×106
答:
卫星运行3×102秒所走的路程约是2.37×106米。
练习
1.计算:
(1)3a2•2a3;
(2)(-9a2b3)•8ab2;
(3)(-3a2)3•(-2a3)2(4)-3xy2z•(x2y)2
2.光速约为3×108米/秒,太阳光射到地球上的时间约为5×102秒,则地球与太阳的距离约是多少米?
3.小明的步长为a厘米,他量得客厅常15步,宽14步,请问小明家客厅有多少平方米?
2.单项式与多项式相乘
例3计算:
(-2a2)•(3ab2-5ab3)
解(-2a2)•(3ab2-5ab3)
=(-2a2)•3ab2+(-2a2)•(-5ab3)
=-6a3b2+10a3b3
概括
单项式与多项式相乘,只要将单项式分别成衣多项式的各项,再将所得的积相加。
练习
1.计算:
(1)3x3y•(2xy2-3xy);
(2)2x•(3x2-xy+y2)
2.简:
x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)
3.多项式与多项式相乘
回忆
我们再来看一看本章导图中的问题:
某地区在退耕还林期间,有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米,加宽了b米。
请你表示这块林区现在的面积。
比较简洁的理解就是:
这块林区现在长为(m+n)米,宽为(a+b)米,因而面积为(m+n)(a+b)米2。
也可以这样理解:
如图14.2.1所示,这块地由四小块组成,它们的面积分别为ma米2、mb米2、na米2、nb米2,故这块地的面积为(ma+mb+na+nb)米2。
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一个量,故有
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
实际上,把(m+n)看成一个整体,有
(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b
=ma+mb+na+nb
如下式所示,等式的右边可以看作左边用线相连各项乘积的和:
这实际上给出了多项式乘以多项式的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
例4计算:
(1)(x+2)(x-3);
(2)(3x-1)(2x+1)
解:
(1)(x+2)(x-3)
=x2-3x+2x-6
=x2-x-6
(2)(3x-1)(2x+1)
=6x2+3x-2x-1
=6x2+x-1
例5计算:
(1)(x-3y)(x+7y);
(2)(2x+5y)(3x-2y)
解:
(1)(x-3y)(x+7y)
=x2+7xy-3yx-21y2
=x2+4xy-21y2
(2)(2x+5y)(3x-2y)
=6x2-4xy+15yx-10y2
=6x2+11xy-10y2
练习
计算:
(1)(x+5)(x-7);
(2)(x+5y)(x-7y)
(3)(2m+3n)(2m-3n);(4)(2a+3b)(2a+3b)
小东找来一张挂历画包数学课本。
已知课本长a厘米,宽b厘米,厚c厘米,小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米。
问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形?
习题14.2
计算
(1)5x3•8x2
(2)11x12•(-12x11);
(3)2x2•(-3x)4;(4)(-8xy2)•(-x)3
长方体木箱的长、宽、高分别为8×102mm、6×102mm、5×102mm,求长方体的体积。
(结果写成科学记数法形式)
计算:
-3x•(2x2-x+4);
xy•(-x3y2+x2y3)
化简
x(x+1)-3x(x-2);
x2(x-1)+2x(x2-2x+3)
一块边长为xcm的正方形地砖,因需要被裁掉一块2cm宽的长条。
问剩下部分的面积是多少?
计算:
(1)(x+5)(x+6);
(2)(3x+4)(3x-4)
(3)(2x+1)(2x+3);(4)(9x+4y)(9x-4y)
一块长a米,宽b米的玻璃,长、宽各裁掉c米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)。
问台面面积是多少?
14.3乘法公式
1.两数和乘以它们的差
做一做计算:
(a+b)(a-b)
这是一个特殊的乘法,得到的结果特别简洁:
(a+b)(a-b)=a2-b2
这就是说,两数和与它们的差的积,等于这两数的平方差。
试一试
先观察图14.3.1,再用等式表示下图中图形面积的运算:
例1计算:
(1)(a+3)(a-3);
(2)(2a+3b)(2a-3b);
(3)(1+2c)(1-2c)
解
(1)(a+3)(a-3)
=a2-32
=a2-9
(2)(2a+3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2
(3)(1+2c)(1-2c)
=12-(2c)2
=1-4c2
计算:
1998×2002
解1998×2002=(2000-2)×(2000+2)
=20002-22
=4000000-4
=3999996
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长2米,而东西向要缩短2米。
问改造后的长方形草坪的面积是多少?
解(a+2)(a-2)=a2-4
答:
改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米
练习
计算:
(1)(2x+)(2x-);
(2)(-x+2)(-x-2);
(3)(-2x+y)(2x+y);(4)(y-x)(-x-y)
简便计算:
(1)498×502
(2)999×1001
3.秋收季节到了,幸福村的人们都用篾席制成的粮屯来储存粮食。
假设粮屯的高度一定,小明觉得用四根竿子将粮屯绷成底面为正方形的柱体储粮较多,而销量认为把同样长的篾席绷成底面为长方形的柱体储粮较多。
谁的说法正确?
2.两数和的平方
做一做计算:
(a+b)2
经计算,我们又得到一个漂亮的结果:
(a+b)2=a2+2ab+b2
这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。
试一试
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