届高考数学理第一轮复习学案集合.docx
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届高考数学理第一轮复习学案集合
第一节
集__合
[知识能否忆起]
一、元素与集合
1.集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
2.集合中元素与集合的关系:
元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和∉.
3.常见集合的符号表示:
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示
N
N*或N+
Z
Q
R
4.集合的表示法:
列举法、描述法、韦恩图.
二、集合间的基本关系
描述关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A=B
子集
A中任意一元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素A中没有
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆B
空集是任何非空集合的真子集
∅B(B≠∅)
三、集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形表示
意义
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
[小题能否全取]
1.(2012·大纲全国卷)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.A⊆B B.C⊆B
C.D⊆CD.A⊆D
解析:
选B 选项A错,应当是B⊆A.选项B对,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形.选项C错,正方形一定是菱形,但菱形不一定是正方形.选项D错,应当是D⊆A.
2.(2012·浙江高考)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=( )
A.(1,4)B.(3,4)
C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)
解析:
选B 因为∁RB={x|x>3,或x<-1},所以A∩(∁RB)={x|3<x<4}.
3.(教材习题改编)A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则A∩B=B时a的值是( )
A.2B.2或3
C.1或3D.1或2
解析:
选D 验证a=1时B=∅满足条件;验证a=2时B={1}也满足条件.
4.
(2012·盐城模拟)如图,已知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________.
解析:
阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)={2,8}.
答案:
{2,8}
5.(教材习题改编)已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A=
,则∁UA=________.
解析:
因为A=
,
当n=0时,x=-2;n=1时不合题意;
n=2时,x=2;n=3时,x=1;
n≥4时,x∉Z;n=-1时,x=-1;
n≤-2时,x∉Z.
故A={-2,2,1,-1},
又U={-2,-1,0,1,2},所以∁UA={0}.
答案:
{0}
1.正确理解集合的概念
研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分{x|y=f(x)}、{y|y=f(x)}、{(x,y)|y=f(x)}三者的不同.
2.注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:
A⊆B,则需考虑A=∅和A≠∅两种可能的情况.
元素与集合
典题导入
[例1]
(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3B.6
C.8D.10
(2)已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2013=________.
[自主解答]
(1)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},
∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.
∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
∴B中所含元素的个数为10.
(2)由M=N知
或
∴
或
故(m-n)2013=-1或0.
[答案]
(1)D
(2)-1或0
由题悟法
1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.
2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.
以题试法
1.
(1)(2012·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数为( )
A.9B.8
C.7D.6
(2)已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a=________.
解析:
(1)∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q={1,2,6},∴当a=0时,a+b的值为1,2,6;当a=2时,a+b的值为3,4,8;当a=5时,a+b的值为6,7,11,
∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},∴P+Q中有8个元素.
(2)∵-3∈A,
∴-3=a-2或-3=2a2+5a.
∴a=-1或a=-
.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,
与元素互异性矛盾,应舍去.
当a=-
时,a-2=-
,2a2+5a=-3.
∴a=-
满足条件.
答案:
(1)B
(2)-
集合间的基本关系
典题导入
[例2]
(1)(2012·湖北高考)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1 B.2 C.3D.4 (2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________. [自主解答] (1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2, ∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)由log2x≤2,得0 即A={x|0 由于A⊆B,如图所示,则a>4,即c=4. [答案] (1)D (2)4 由题悟法 1.判断两集合的关系常有两种方法: 一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析. 以题试法 2.(文)(2012·郑州模拟)已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m的值为( ) A.3B.2 C.2或3D.0或2或3 解析: 选D 当m=0时,B=∅⊆A; 当m≠0时,由B= ⊆{2,3}可得 =2或 =3, 解得m=3或m=2, 综上可得实数m=0或2或3. (理)已知集合A={y|y= },B={x||x-m|<2013},若A∩B=A,则m的取值范围是( ) A.[-2012,2013]B.(-2012,2013) C.[-2013,2011]D.(-2013,2011) 解析: 选B 集合A表示函数y= 的值域,由t=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,可得0≤y≤1,故A=[0,1]. 集合B是不等式|x-m|<2013的解集,解之得m-2013 因为A∩B=A,所以A⊆B. 如图,由数轴可得 解得-2012 集合的基本运算 典题导入 [例3] (1)(2011·江西高考)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( ) A.M∪N B.M∩N C.(∁UM)∪(∁UN)D.(∁UM)∩(∁UN) (2)(2012·安徽合肥质检)设集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|x≥1}B.{x|-4 C.{x|-8 [自主解答] (1)∵M∪N={1,2,3,4}, ∴(∁UM)∩(∁UN)=∁U(M∪N)={5,6}. (2)∵x2+2x-8<0, ∴-4 ∴A={x|-4 又∵B={x|x<1}, ∴图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<2}. [答案] (1)D (2)D 将例3 (1)中的条件“M={2,3}”改为“M∩N=N”,试求满足条件的集合M的个数. 解: 由M∩N=N得M⊇N. 含有2个元素的集合M有1个,含有3个元素的集合M有4个, 含有4个元素的集合M有6个,含有5个元素的集合M有4个, 含有6个元素的集合M有1个. 因此,满足条件的集合M有1+4+6+4+1=16个. 由题悟法 1.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意端点值的取舍. 2.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,一定先考虑A或B是否为空集,以防漏解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 以题试法 3.(2012·锦州模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(∁UA)∩B等于( ) A.{x|x>2,或x<0}B.{x|1 C.{x|1 解析: 选C A={x|x(x-2)>0}={x|x>2,或x<0}, B={x|y=lg(x-1)}={x|x-1>0}={x|x>1}, ∁UA={x|0≤x≤2}. ∴(∁UA)∩B={x|1 1.(2012·新课标全国卷)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 A.AB B.BA C.A=BD.A∩B=∅ 解析: 选B A={x|x2-x-2<0}={x|-1 B={x|-1 所以BA. 2.(2012·山西四校联考)已知集合M={0,1},则满足M∪N={0,1,2}的集合N的个数是( ) A.2B.3 C.4D.8 解析: 选C 依题意得,满足M∪N={0,1,2}的集合N有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2}共4个. 3.设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=( ) A.{3,0}B.{3,0,1} C.{3,0,2}D.{3,0,1,2} 解析: 选B 因为P∩Q={0},所以0∈P,log2a=0,a=1,而0∈Q,所以b=0.所以P∪Q={3,0,1}. 4.(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁UA)∩(∁UB)=( ) A.{5,8}B.{7,9} C.{0,1,3}D.{2,4,6} 解析: 选B 因为A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8},所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={7,9}. 5.(2013·合肥质检)已知集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={x∈Z||x|≤a},则满足AB的实数a的一个值为( ) A.0B.1 C.2D.3 解析: 选D 当a=0时,B={0}; 当a=1时,B={-1,0,1}; 当a=2时,B={-2,-1,0,1,2}; 当a=3时,B={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 显然只有a=3时满足条件. 6.已知全集U=R,集合A={x|3≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则∁U(A∩B)=( ) A.(-∞,3)∪(5,+∞)B.(-∞,3]∪[5,+∞) C.(-∞,3)∪[5,+∞)D.(-∞,3]∪(5,+∞) 解析: 选C x2-7x+10<0⇔(x-2)·(x-5)<0⇒2 故∁U(A∩B)=(-∞,3)∪[5,+∞). 7.(2012·大纲全国卷)已知集合A={1,3, },B={1,m},A∪B=A,则m=( ) A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3 解析: 选B 法一: ∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={1,3, },B={1,m},∴m=3或m= . 由m= 得m=0或m=1.但m=1不符合集合中元素的互异性,故舍去,故m=0或m=3. 法二: ∵B={1,m},∴m≠1,∴可排除选项C、D. 又当m=3时,A={1,3, },B={1,3},满足A∪B={1,3, }=A,故选B. 8.设S={x|x<-1,或x>5},T={x|a A.(-3,-1)B.[-3,-1] C.(-∞,-3]∪(-1,+∞)D.(-∞,-3)∪(-1,+∞) 解析: 选A 在数轴上表示两个集合,因为S∪T=R,由图可得 解得-3 9.若集合U=R,A={x|x+2>0},B={x|x≥1},则A∩(∁UB)=________. 解析: 由题意得∁UB=(-∞,1), 又因为A={x|x+2>0}={x|x>-2}, 于是A∩(∁UB)=(-2,1). 答案: (-2,1) 10.(2012·武汉适应性训练)已知A,B均为集合U={1,2,3,4,5,6}的子集,且A∩B={3},(∁UB)∩A={1},(∁UA)∩(∁UB)={2,4},则B∩(∁UA)=________. 解析: 依题意及韦恩图得,B∩(∁UA)={5,6}. 答案: {5,6} 11.已知R是实数集,M= ,N={y|y= },则N∩(∁RM)=________. 解析: M={x|x<0,或x>2},所以∁RM=[0,2], 又N=[0,+∞),所以N∩(∁RM)=[0,2]. 答案: [0,2] 12.(2012·吉林模拟)已知U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(∁UA)=∅,则m=________. 解析: A={-1,2},B=∅时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 答案: 0,1,- 13.(2012·苏北四市调研)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R},存在a∈R,使得集合A中所有整数元素的和为28,则实数a的取值范围是________. 解析: 不等式x2+a≤(a+1)x可化为(x-a)(x-1)≤0,由题意知不等式的解集为{x|1≤x≤a}.A中所有整数元素构成以1为首项,1为公差的等差数列,其前7项和为 =28,所以7≤a<8,即实数a的取值范围是[7,8). 答案: [7,8) 14.(2012·安徽名校模拟)设集合Sn={1,2,3,…,n},若X⊆Sn,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.则S4的所有奇子集的容量之和为________. 解析: ∵S4={1,2,3,4},∴X=∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.其中是奇子集的为X={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7. 答案: 7 1.(2012·杭州十四中月考)若集合A= ,B={-2,-1,1,2},全集U=R,则下列结论正确的是( ) A.A∩B={-1,1}B.(∁UA)∪B=[-1,1] C.A∪B=(-2,2)D.(∁UA)∩B=[-2,2] 解析: 选A ∵x∈ ,∴y∈[-1,1], ∴A∩B={-1,1}. 2.设A是自然数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k2∉A,且 ∉A,那么k是A的一个“酷元”,给定S={x∈N|y=lg(36-x2)},设M⊆S,且集合M中的两个元素都是“酷元”,那么这样的集合M有( ) A.3个B.4个 C.5个D.6个 解析: 选C 由36-x2>0,解得-6 依题意,可知若k是集合M的“酷元”是指k2与 都不属于集合M.显然k=0,1都不是“酷元”. 若k=2,则k2=4;若k=4,则 =2.所以2与4不同时在集合M中,才能成为“酷元”. 显然3与5都是集合S中的“酷元”. 综上,若集合M中的两个元素都是“酷元”,则这两个元素的选择可分为两类: (1)只选3与5,即M={3,5}; (2)从3与5中任选一个,从2与4中任选一个,即M={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}. 所以满足条件的集合M共有5个. 3.(2013·河北质检)已知全集U=R,集合M={x|x+a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若M∩(∁UN)={x|x=1,或x≥3},那么( ) A.a=-1B.a≤1 C.a=1D.a≥1 解析: 选A 由题意得M={x|x≥-a},N={x|1 4.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论: ①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合. 其中正确结论的序号是________. 解析: ①中,-4+(-2)=-6∉A,所以不正确; ②中设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确; ③令A1={-4,0,4},A2={-2,0,2},则A1,A2为闭集合,但A1∪A2不是闭集合,所以③不正确. 答案: ② 5.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)若A∩B=[1,3],求实数m的值; (2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围. 解: A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)∵A∩B=[1,3],∴ 得m=3. (2)∁RB={x|x<m-2,或x>m+2}. ∵A⊆∁RB,∴m-2>3或m+2<-1. ∴m>5或m<-3. 即m的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞). 6.(2012·衡水模拟)设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(∁IM)∩N; (2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若B∪A=A,求实数a的取值范围. 解: (1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴∁IM={x|x∈R且x≠-3}, ∴(∁IM)∩N={2}. (2)A=(∁IM)∩N={2}, ∵A∪B=A,∴B⊆A,∴B=∅或B={2}, 当B=∅时,a-1>5-a,∴a>3; 当B={2}时, 解得a=3, 综上所述,所求a的取值范围为{a|a≥3}. 1.现有含三个元素的集合,既可以表示为 ,也可表示为{a2,a+b,0},则a2013+b2013=________. 解析: 由已知得 =0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2013+b2013=(-1)2013=-1. 答案: -1 2.集合S={a,b,c,d,e},包含{a,b}的S的子集共有( ) A.2个B.3个 C.5个D.8个 解析: 选D 包含{a,b}的S的子集有: {a,b};{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e};{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e};{a,b,c,d,e}共8个. 3.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人. 解析: 由题意知,同时参加三个小组的人数为0,设同时参加数学和化学小组的人数为x,Venn图如图所示, ∴(20-x)+6+5+4+(9-x)+x=36,解得x=8. 答案: 8 4.已知集合A={x|x2+2x+a≤0},B={x|a≤x≤4a-9},若A,B中至少有一个不是空集,则a的取值范围是________. 解析: 若A,B全为空集,则实数a满足4-4a<0且a>4a-9,即1 答案: (-∞,1]∪[3,+∞) 5.(2012·重庆高考)设平面点集A=(x,y)(y-x)· ,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为( ) A. πB. π C. πD. 解析: 选D A∩B表示的平面图形为图中阴影部分,由对称性可知,SC=SF,SD=SE.因此A∩B所表示的平面图形的面积是圆面积的一半,即为 .
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