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趣味数论
数论
3.13个相同的数排列的秘密
问题1:
用3个2写一个最大的数。
3个2可能摆法如下:
222,222=484,=24=16,222=4194304,所以,答案为222。
问题2:
用3个3写一个最大的数。
3个3可能摆法如下:
333,333,=327,333,所以,答案为333。
问题3:
用3个4写一个最大的数。
3个4可能摆法如下:
444,444,=4256,444,所以,答案为。
为什么有些数字的三级超乘方的摆法最大,而有些数字就不是呢?
不使用运算符号,用3个相同的数摆出一个最大的数。
用字母表示,下面的摆法:
222,333,444可表示为。
的三级超乘方则可表示为。
问题的关键在于为何值时,的三级超乘方比大?
上述问题归结为求解下面的不等式:
。
不等式两端都除以,可以得出。
经验证得,当时,成立。
由此得出结论:
当这个数为2或3的时候,用的形式摆出的数最大;而当这个数大于或等于4时,用的形式得到的数最大。
3.2能被19整除的数
证明:
一个数能被19整除的充分必要条件是:
这个数划去个位数字之外的数加上个位数的2倍,得到的结果是19的倍数。
【解答】对于任意数N,都可以表示为,其中,表示这个数是划去个位数之外的数,表示个位数。
下面来证明,N能被19整除的充分必要条件是能被19整除。
可以得出,如果N能被19整除,则能被19整除;反之,如果能被19整除,则N能被19整除也成立。
下面举例说明,判定47045881能否被19整除。
4704588︱1
2
47045︱90
18
4706︱3
6
471︱2
4
47︱5
10
5︱7
14
19
显然,19能被19整除,所以47045881能被19整除。
3.3能被2、3、4……整除的数的特征
能被2整除的数:
个位上的数能被2整除(偶数都能被2整除),那么这个数能被2整除。
能被3整除的数:
各个数位上的数字和能被3整除,那么这个数能被3整除。
能被4整除的数:
个位和十位所组成的两位数能被4整除,那么这个数能被4整除。
能被5整除的数:
个位上的数都能被5整除(即个位为0或5)那么这个数能被5整除。
能被6整除的数:
如果一个数既能被2整除又能被3整除,那么这个数能被6整除。
能被7整除的数:
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述“截尾、倍大、相减、验差”的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断133是否7的倍数的过程如下:
13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:
613-9×2=595,59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
能被8整除的数:
百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除,那么这个数能被8整除。
能被9整除的数:
各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除。
能被10整除的数:
如果一个数既能被2整除又能被5整除,那么这个数能被10整除(即个位数为零)。
能被11整除的数:
奇数位(从左往右数)上的数字和与偶数位上的数字和之差(大数减小数)能被11整除,则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的“割尾法”处理,过程唯一不同的是:
倍数不是2而是1。
能被12整除的数:
若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
能被13整除的数:
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述“截尾、倍大、相加、验差”的过程,直到能清楚判断为止。
能被17整除的数:
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述“截尾、倍大、相加、验差”的过程,直到能清楚判断为止。
另一种方法:
若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
能被19整除的数:
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述“截尾、倍大、相加、验差”的过程,直到能清楚判断为止。
另一种方法:
若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。
能被23整除的数:
若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。
能被25整除的数:
十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数:
百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
3.4抽屉原理和六人集会问题
“任意367个人中,必有生日相同的人。
”
“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。
”
“从数1,2,…,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。
”
……
大家都会认为上面所述结论是正确的。
这些结论是依据什么原理得出的呢?
这个原理叫做抽屉原理。
它的内容可以用形象的语言表述为:
“把m个东西任意分放进n个空抽屉里(m>n),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。
”
在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。
这相当于把367个东西放入366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。
在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,…,5的手套各有两只,同号的两只是一双。
任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同。
这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。
抽屉原理的一种更一般的表述为:
“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉(k是正整数),那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。
”
利用上述原理容易证明:
“任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数。
”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能,所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同,即它们两两之差是3的倍数。
如果问题所讨论的对象有无限多个,抽屉原理还有另一种表述:
“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉(n是自然数),那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。
”
抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目:
“证明在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有三个人以前彼此不相识。
”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出:
在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。
如果两人以前彼此认识,那么就在代表他们的两点间连成一条红线;否则连一条蓝线。
考虑A点与其余各点间的5条连线AB,AC,…,AF,它们的颜色不超过2种。
根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色,不妨设AB,AC,AD同为红色。
如果BC,BD,CD,3条连线中有一条(不妨设为BC)也为红色,那么三角形ABC即一个红色三角形,A、B、C代表的3个人以前彼此相识:
如果BC、BD、CD,3条连线全为蓝色,那么三角形BCD即一个蓝色三角形,B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。
不论哪种情形发生,都符合问题的结论。
六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例,这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。
这些结论构成了组合数学中的重要内容──拉姆塞理论。
从六人集会问题的证明中,我们又一次看到了抽屉原理的应用。
3.5整数勾股弦数
满足的正整数、、被称为“勾股弦数”。
其中,、称为三角形的“直角边”,有时也叫“勾”或“股”,被称为三角形的“斜边”,有时也叫“弦”。
显然,如果、、是满足上面关系的数,那么、、也满足上面的关系,这里是正整数。
反之,满足上面的关系的、、有一个共同的因数,那么把这个因数约去,就会得到另一组满足上述关系的数。
所以,我们只讨论简单的勾股弦数,即互素的勾股弦数。
下面说明一下,、两个数中,一定是一个为奇数,一个为偶数。
如果、两个数都为偶数,那么也为偶数,所以、、一定有公因数2,这跟前面假设的、、互素矛盾。
如果、两个数都为奇数,不妨设,,
那么,
上式不能被4整除,而为偶数,能被4整除,所以得出矛盾。
综上所述,、、中,直角边、必然一个是奇数,一个是偶数,而斜边必然是奇数。
假设为奇数,为偶数,根据得出,
,。
下面说明、互素,假若、有公因数,则,,也有公因数,因为为奇数,所以公因数不为2,所以、、也有公因数,得出矛盾,所以、互素。
由,、互素,所以、必然为某个数的平方。
不妨设
解方程可得
所以,得到。
综上所述,得到、、的值其中,都是奇数,且互为素数。
下面列出一些勾股弦数
……
3.6正整数平方的一种奇妙性质
印度数学家J•V•Chaudhari和M•N•Deshpande在1996年2月发现了完全平方数的一种奇妙性质:
当正整数k=956~968时,k2均为六位数,把它的前三位数与后三位数相加,得到的和也是完全平方数(例如:
由9672=935089得935+89=1024=322),并且这些完全平方数的算术平方根恰好是正整数43~31。
美国数学家OwenThomas在1996年9月也发现了这样的完全平方数:
当正整数k=9859~9900时,k2均为八位数,把它的前四位数与后四位数相加,得到的和也是完全平方数,并且这些完全平方数的算术平方根恰好是正整数140~99。
笔者近日又发现了所有的正整数的平方均有以上类似性质.那对两位正整数来说,以前人们只得到了这样的结论:
当正整数k在86~90上取值时,k2均为四位数,把它的前两位数与后两位数相加,得到的和也是完全平方数,并且这些完全平方数的算术平方根恰好是正整数13~9.但是852=7225就不再有此性质:
72+25=97,但97不是完全平方数,更不会是142.笔者发现做一下微调就可以了:
852=7225=7100+125,71+125=142
类似地,还有
992=9801=9900-99,99-99=02
982=9604=9700-96,97-96=12
972=9409=9500-91,95-91=22
……
842=7056=6900+156,69+156=152
832=6889=6700+189,67+189=162
822=6724=6500+224,65+224=172
……
502=2500=100+2400,1+2400=492
492=2401=-100+2501,-1+2501=502
482=2304=-300+2604,-3+2604=512
……
32=9=-9300+9309,-93+9309=962
22=4=-9500+9504,-95+9504=972
12=1=-9700+9701,-97+9701=982
由此可得:
设1≤x≤99,x∈N,则
x2=100(2x-99)+(x2-200x+9900)
(2x-99)+(x2-200x+9900)=(99-x)2
3.7数字计算方法——手动开方
一、手动开平方
1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开,分成几段,表示所求平方根是几位数;小数部分从最高位向后两位一段隔开,段数以需要的精度+1为准。
2.根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数。
(在例题中,比5小的平方数是4,所以平方根的最高位为2。
)
3.从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4.把第二
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