第四章平面向量数系的扩充与复数的引入.docx

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第四章平面向量数系的扩充与复数的引入

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节

平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±

平行向量

方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）

0与任一向量平行或共线

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2．向量的线性运算

向量运算

定义

法则

（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

（1）交换律：

a＋b＝b＋a；

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

平行四边形法则

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3．共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．

[小题体验]

1．下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A．若a∥b，则a＝b　　　　B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若|a|＝|b|，则a∥bD．若a＝b，则|a|＝|b|

答案：

D

2．（教材习题改编）化简：

（1）（＋）＋＋＝________．

（2）＋＋－＝________．

答案：

（1）　

（2）0

3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________．

答案：

－

1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．

[小题纠偏]

1．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．

解析：

|－＋|＝|＋＋|＝||＝2．

答案：

2

2．已知a，b是非零向量，命题p：

a＝b，命题q：

|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．

解析：

若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q．

若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，

即a＝λb，且λ>0，故q⇒/p．

∴p是q的充分不必要条件．

答案：

充分不必要

[题组练透]

1．设a0为单位向量，下列命题中：

①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．假命题的个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

解析：

选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．

2．（易错题）给出下列命题：

①若a＝b，b＝c，则a＝c；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

④若a∥b，b∥c，则a∥c．

其中正确命题的序号是________．

解析：

①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，

又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．

②正确．∵＝，∴||＝||且∥，

又A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形ABCD为平行四边形，

则∥且||＝||，因此，＝．

③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．

综上所述，正确命题的序号是①②．

答案：

①②

[谨记通法]

向量有关概念的5个关键点

（1）向量：

方向、长度．

（2）非零共线向量：

方向相同或相反．

（3）单位向量：

长度是一个单位长度．

（4）零向量：

方向没有限制，长度是0．

（5）相等相量：

方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念．

[题组练透]

1．（2017·武汉调研）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于（　　）

A．　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选D　因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4．

2．（2017·唐山统考）在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝（　　）

A．＋B．＋

C．＋D．＋

解析：

选B　因为＝－2，所以＝2．又M是BC的中点，所以＝（＋）＝（＋＋）＝＝＋．

3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

解析：

＝＋＝＋＝＋（＋）＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝．

答案：

[谨记通法]

1．平面向量的线性运算技巧

（1）不含图形的情况：

可直接运用相应运算法则求解．

（2）含图形的情况：

将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．

（2）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．

（3）比较、观察可知所求．

[典例引领]

设两个非零向量a与b不共线，

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．

解：

（1）证明：

∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，

∴＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5．

∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．

（2）∵ka＋b与a＋kb同向，

∴存在实数λ（λ>0），使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb．∴（k－λ）a＝（λk－1）b．

∵a，b是不共线的两个非零向量，

解得或

又∵λ>0，∴k＝1．

[由题悟法]

共线向量定理的3个应用

（1）证明向量共线：

对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．

（2）证明三点共线：

若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

（3）求参数的值：

利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．

[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．

[即时应用]

如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．

（1）用a，b表示向量，，，，；

（2）求证：

B，E，F三点共线．

解：

（1）延长AD到G，

使＝，

连接BG，CG，得到▱ABGC，

所以＝a＋b，

＝＝（a＋b），

＝＝（a＋b），

＝＝b，

＝－＝（a＋b）－a＝（b－2a），

＝－＝b－a＝（b－2a）．

（2）证明：

由

（1）可知＝，

又因为，有公共点B，

所以B，E，F三点共线．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝（　　）

A．1　　　　　　　　　B．2

C．4D．6

解析：

选B　根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2．

2．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是（　　）

A．c＝2b－aB．c＝2a－b

C．c＝a－bD．c＝b－a

解析：

选D　依题意得－＝2（－），

即＝－＝b－a．

3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．矩形B．平行四边形

C．梯形D．以上都不对

解析：

选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，故∥．又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．

4．（2017·扬州模拟）在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．

解析：

如图，因为＝，P是BN―→上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝．

答案：

5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．（用a，b表示）

解析：

如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b．

答案：

b－a　－a－b

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1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b,则等于（　　）

A．b－aB．a－b

C．－a＋bD．b＋a

解析：

选C　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故选C．

2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d共线反向，则实数λ的值为（　　）

A．1B．－

C．1或－D．－1或－

解析：

选B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k＜0），于是λa＋b＝k．

整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b．

由于a，b不共线，所以有

整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－．

又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－．

3．下列四个结论：

①＋＋＝0；②＋＋＋＝0；③－＋－＝0；④＋＋－＝0，

其中一定正确的结论个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选C　①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．

4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与（　　）

A．反向平行B．同向平行

C．互相垂直D．既不平行也不垂直

解析：

选A　由题意得＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

因此＋＋＝＋（＋－）

＝＋＝－，

故＋＋与反向平行．

5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

选B　∵D为AB的中点，

则＝（＋），

又＋＋2＝0，

∴＝－，∴O为CD的中点，

又∵D为AB中点，

∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，

则＝4．

6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________（用a，b表示）．

解析：

由＝3，得＝＝（a＋b），＝a＋b，所以＝－＝（a＋b）－＝－a＋b．

答案：

－a＋b

7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________．

解析：

由|＋|＝|－|可知，⊥，

则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，

因此，||＝||＝2．

答案：

2

8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：

①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0．

其中正确命题的个数为________．

解析：

＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；

＝＋＝a＋b，故②正确；

＝（＋）＝（－a＋b）＝－a＋b，故③正确；

＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．

∴正确命题为②③④．

答案：

3

9．

在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，．

解：

＝（＋）＝a＋b．

＝＋＝＋＝＋（＋）

＝＋（－）

＝＋

＝a＋b．

10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2．

（1）求证：

A，B，D三点共线；

（2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解：

（1）证明：

由已知得＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2，

∵＝2e1－8e2，

∴＝2．

又∵与有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

（2）由

（1）可知＝e1－4e2，

∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，

∴＝λ（λ∈R），

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

得

解得k＝12．

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1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

解析：

由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2．

∵点E在线段CD上，

∴＝λ（0≤λ≤1）．

∵＝＋，

又＝＋μ＝＋2μ＝＋，

∴＝1，即μ＝．∵0≤λ≤1，

∴0≤μ≤．

即μ的取值范围是．

答案：

2．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n（m，n∈R）．

（1）若m＋n＝1，求证：

A，P，B三点共线；

（2）若A，P，B三点共线，求证：

m＋n＝1．

证明：

（1）若m＋n＝1，

则＝m＋（1－m）

＝＋m（－），

∴－＝m（－），

即＝m，∴与共线．

又∵与有公共点B，

∴A，P，B三点共线．

（2）若A，P，B三点共线，

则存在实数λ，使＝λ，

∴－＝λ（－）．

又＝m＋n．

故有m＋（n－1）＝λ－λ，

即（m－λ）＋（n＋λ－1）＝0．

∵O，A，B不共线，∴，不共线，

∴∴m＋n＝1．

第二节

平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），

λa＝（λx1，λy1），|a|＝．

（2）向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），

||＝．

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

[小题体验]

1．已知a＝（4,2），b＝（－6，m），若a∥b，则m的值为______．

答案：

－3

2．（教材习题改编）已知a＝（2,1），b＝（－3,4），则3a＋4b＝________．

答案：

（－6,19）

3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b．

解析：

由题意，设e1＋e2＝ma＋nb．

因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，

所以e1＋e2＝m（e1＋2e2）＋n（－e1＋e2）＝（m－n）e1＋（2m＋n）e2．

由平面向量基本定理，得所以

答案：

　－

1．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．

2．若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0．

[小题纠偏]

1．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________．

答案：

0

2．（2015·江苏高考）已知向量a＝（2,1），b＝（1，－2），若ma＋nb＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n的值为________．

解析：

∵ma＋nb＝（2m＋n，m－2n）＝（9，－8），

∴∴∴m－n＝2－5＝－3．

答案：

－3

[题组练透]

1．

如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则＝（　　）

A．a＋b　　　　　B．a＋b

C．a＋bD．a＋b

解析：

选D　∵在三角形ABC中，

BE是AC边上的中线，

∴＝．

∵O是BE边的中点，

∴＝（＋）＝＋＝a＋b．

2．（易错题）如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，．

解：

∵＝－＝a－b，

＝＝a－b，

∴＝＋＝a＋b．

∵＝a＋b，

∴＝＋

＝＋

＝＝a＋b，

∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b．

综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b．

[谨记通法]

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

（1）先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．

（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．

[题组练透]

1．向量a，b满足a＋b＝（－1,5），a－b＝（5，－3），则b为（　　）

A．（－3,4）　　　　　　B．（3,4）

C．（3，－4）D．（－3，－4）

解析：

选A　由a＋b＝（－1,5），a－b＝（5，－3），得2b＝（－1,5）－（5，－3）＝（－6,8），∴b＝（－6,8）＝（－3,4），故选A．

2．已知点M（5，－6）和向量a＝（1，－2），若＝－3a，则点N的坐标为（　　）

A．（2,0）　　　　　　　　B．（－3,6）

C．（6,2）D．（－2,0）

解析：

选A　＝－3a＝－3（1，－2）＝（－3,6），

设N（x，y），则＝（x－5，y＋6）＝（－3,6），

所以即

3．已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4）．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，

（1）求3a＋b－3c；

（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

（3）求M，N的坐标及向量的坐标．

解：

由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1,8）．

（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1,8）

＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．

（2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），

∴

解得

（3）设O为坐标原点，∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝（3,24）＋（－3，－4）＝（0,20）．

∴M（0,20）．

又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝（12,6）＋（－3，－4）＝（9,2），

∴N（9,2），∴＝（9，－18）．

[谨记通法]

平面向量坐标运算的技巧

（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．

[典例引领]

已知a＝（1,0），b＝（2,1）．

（1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；

（2）若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．

解：

（1）∵a＝（1,0），b＝（2,1），

∴ka－b＝k（1,0）－（2,1）＝（k－2，－1），

a＋2b＝（1,0）＋2（2,1）＝（5,2），

∵ka－b与a＋2b共线，

∴2（k－2）－（－1）×5＝0，

∴k＝－．

（2）＝2（1,0）＋3（2,1）＝（8,3），

＝（1,0）＋m（2,1）＝（2m＋1，m）．

∵A，B，C三点共线，

∴∥，

∴8m－3（2m＋1）＝0，

∴m＝．

[由题悟法]

向量共线的充要条件

（1）a∥b⇔a＝λb（b≠0）；

（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0（其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2））．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用

（2）比较方便．

[即时应用]

1．已知向量＝（k,12），＝（4,5），＝（－k,10），且A，B，C三点共线，则k的值是（　　）

A．－　　　　B．　　　　C．　　　　D．

解析：

选A　＝－＝（4－k，－7），

＝－＝（－2k，－2）．

∵A，B，C三点共线，∴，共线，

∴－2×（4－k）＝－7×（－2k），

解得k＝－．

2．（2017·贵阳监测）已知向量m＝（λ＋1,1），n＝（λ＋2,2），若（m＋n）∥（m－n），则λ＝________．

解析：

因为m＋n＝（2λ＋3,3），m－n＝（－1，－1），又（m＋n）∥（m－n），所以（2λ＋3）×（－1）＝3×（－1），解得λ＝0．

答案：

0

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若＝（2,4），＝（1,3），则＝（　　）

A．（－2，－4）　　　　　　B．（－3，－5）

C．（3,5）D．（2,4）

解析：

选B　由题意得＝－＝－＝（－）－＝－2＝（1,3）－2（2,4）＝（－3，－5）．

2．已知A（－1，－1），B（m，m＋2），C（2,5）三点共线，则m的值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A　＝（m，m＋2）－（－1，－1）＝（m＋1，m＋3），

＝（2,5）－（－1，－1）＝（3,6），

∵A，B，C三点共线，∴∥，

∴3（m＋3）－6（m＋1）＝0，

∴m＝1．故选A．

3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则（　　）

A．x＝，y＝

B．x＝，y＝

C．x＝，y＝

D．x＝，y＝

解析：

选A　由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以x＝，y＝．

4．已知向量a＝（1－sinθ，1），b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．

解析：

因为a∥b，所以（1－sinθ）×（1＋sinθ）－1×＝0，得cos2θ＝，所以cosθ＝±，又∵θ为锐角，∴θ＝．

答案：

5．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则＝________．

解析：

―→＝－＝（－3,2），

∴＝2＝（－6,4）．

＝＋＝（－2,7），

∴＝3＝（－6,21）．

答案：

（－6,21）

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知向量a＝（5,2），b＝（－4，－3），c＝（x，y），若3a－2b＋c＝0，则c＝（　　）

A．（－23，－12）B．（23,12）

C．（7,0）D．（－7,0）

解析：

选A　由题意可得3a－2b＋c＝（23＋x,12＋y）＝（0,0），所以解得所以c＝（－23，－12）．

2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b（k∈R），d＝a－b，如果c∥d，那么（　　）

A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向

解析：

选D　由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即解得k＝－1．c＝－a＋b＝－（a－b）＝－d，故c与d