华师版七下多边形试题七1.docx
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华师版七下多边形试题七1
第三章三角形专项训练(七)
【典型例题】:
例1:
已知ABC中BC为最大边A=,在BC边上有BE=BA,CF=CA,
求EAF的度数
分析:
可以设EAF=xBAF=1CAE=2AFE=3AEF=4
由已知条件BE=BACF=CA可得1+x=4=2+C
2+x=3=1+B分析这两个式子,便看出:
2x=B+C,而B+C=180-A=180-,这就找到了已知与未知之间的联系,总之要抓住等腰三角形这一条件,充分利用,深入挖掘,尽可能地把条件与结论中所涉及的元素或对象结合起来思考。
证明:
设EAF=x
∵BE=BA,CF=CA(已知)
∴1+x=42+x=3(等边对等角)
又∵4=2+C
3=1+B(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和)
∴1+x=2+C2+x=1+B(等量代换)
∴1+2+2x=2+1+C+B
2x=C+B=180-A=180-
∴x=
说明:
此题可做为一般结论记忆,当A=90时,x=
例2、已知ABC和BDE都是等边三角形,AE、BC交于F,CD、BE交于G
求证:
BF=BG
分析:
求证两段线段相等,常用全等三角形
若证得EAB=DCB,那可证ABF≌CBG
证明:
∵ABC是等边三角形(已知)
∴1=60AB=BC(等边三角形各角都相等,每个角都是60)
同理∵BED是等边三角形(已知)
∴3=60BD=BE
∴1=3=2=60
∴1+2=3+2(等量加等量,和相等)
∴ABE=CBD
在ABE和DBC中
∴ABE≌CBD(SAS)
∴EAB=DCB(全等三角形对应角相等)
在ABF和CBG中
∴ABF≌CBG(ASA)
∴BF=BG
例3、已知AB=ADBC=DC
求证:
AC⊥BD
证明:
在ABC和ADC中
∴ABC≌ADC(SSS)
∴1=2(全等三角形对应角相等)
∴AC⊥BD(等腰三角形顶角平分线垂直于底边)
例4:
已知ABC中,AD是角平分线DE⊥AB
DF⊥ACE、F为垂足
求证:
AD⊥EF
分析:
利用等腰三角形三线合一可证线段垂直
证明:
∵D是BAC平分线上一点(已知)
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边距离相等)
∵AD平分BAC(已知)
∴1=2(角平分线定义)
在RtAED和RtAFD中
∴RtAED≌RtAFD(HL)
∴AE=AF(全等三角形对应边相等)
在等腰三角形AEF中,AG为顶角平分线
∴AG⊥EF(等腰三角形中,顶角的平分线垂直于底边)
∴AD⊥EF
例5:
已知ABC中A=108AB=AC
BD是角平分线
求证:
BC=AB+CD
分析:
欲证BC=AB+CD,则可以考虑在BC上截取一条线段等于AB(或CD)再证明余下的线段等于CD(或AB)即可,或者把AB、CD接在一起,即延长AB(或DC),使延长的部分等于CD(或AB),再证明这两条线段的和等于BC即可。
证明(法一):
在BC上取BE=BA,连接DE
∵BD平分ABC(已知)
∴1=2(角平分线定义)
在和ABD和EBD中
∴ABD≌EBD(SAS)
∴DEB=A=108
∴CED=180-DEB=72
又∵CDE=180-C-DEB
=180-360-72=72=CED
∴CE=CD
BE+EC=AB+CD
即BC=AB+CD
(法二):
延长BA到E,使BE=BC连结DE、EC。
∵1=2BD=BD
∴在EBD和CBD中
∴EBD≌CBD(SAS)
∴ED=DC(全等三角形对应边相等)
∴BED=BCD=36
又∵BAC=108
∴EAD=180-BAC=72
∵ADE=180-BED-EAD
=180-36-72
=72
∴ADE=EAD
∴AE=DE
∴CD=AE
∴BE=BA+AE=BA+DC
∴BC=AB+DC
例6:
已知ABC中,AD平分BAC,AC>AB,E为BC中点,EF⊥AD,EF的
延长线交AC于M交AB延长线于G。
求证:
AC-AB=2BG
分析:
此题要充分利用角平分线垂直以及边的中点等条件,利用通常的分析与综合的研究方法探究解题思路,比如:
角平分线→翻折→中点→三角形全等→线段间的相等关系,通过加辅助线,达到在AC边上截取线段等于AC-AB这一目的。
证明:
过B点作BN⊥AD于K交AC于N
∵AD平分BAC(已知)
∴1=2(角平分线定义)
在ABK和AKN中
∴ABK≌AKN(ASA)
∴AB=AN
∵GM⊥AD于F
∴AG=AM
∴BG=NM(等量减等量,差相等)
再过B作BH∥AC则BHG=AMG
∵AG=AM
∴G=AMG
∴BHG=G
∴BG=BH(等角对等边)
又∵E为BC中点
∴BE=EC
又∵HBE=ECM(两直线平行,内错角相等)
BEH=CEM(对顶角相等)
∴HBE≌CME(ASA)
∴BH=MC
NM=MC
故NC=2BG
∴AC-AB=2BG
例7:
已知等边ABC,延长BC到D,延长BA到E且使AE=BD
求证:
EC=ED
分析:
证明线段相等目前有通过证明“三角形全等”和“等角对等边”两个主要的方法,而在有关线段的条件较多的情况下,考虑全等思路可能好一些,另外,可用递推法进行分析,即:
若有EC=ED就应有分别以EC、ED为一边的两个三角形全等,再看EC即EBC的一条边(又是EAC的一条边),由此需要找一个(或构造一个)以ED为边的三角形,并且此三角形要有可能与EBC全等,由此辅助线就不再是盲目的事情。
证明:
(方法一)延长CD到F,使DF=BC,连结EF
∵AE=BD
∴AE=CF
∵ABC为正三角形
∴BE=BFB=60
∴EBF为等边三角形
∴F=60EF=EB
在EBC和EFD中
∴EBC≌EFD(SAS)
∴EC=ED(全等三角形对应边相等)
(方法二)过D作DF∥AC交AE于F
∴1=2(两直线平行,同位角相等)
∴3=4=60
∵ABC为等边三角形
∴B=60
∴三角形FBD为等边三角形
∴FD=BD
∵BD=AE
∴AE=FD
∴BF=BD=AE
∴BF=AE
∴BF-AF=AE-AF(等量减等量差相等)
∴AB=EF∴EF=AC
在EAC和DFE中
∴EAC≌DFE
∴EC=ED(全等三角形对应边相等)
(方法三):
过E作EH⊥BD于H
(方法四):
过E作EH∥BD交CA延长线于H
请同学按照提示自己动手做一做!
例8:
求证等腰三角形的顶点到两腰上的中线的距离相等
已知:
ABC中AB=ACBD、CE为两腰上中线
AM⊥CE于MAN⊥BD于N
求证:
AM=AN
证明:
∵AB=ACE、D为AB、AC中点
∴AE=AD
在ABD和ACE中
∴ABD≌ACE(SAS)
∴1=2
∵AM⊥CEAN⊥BD
∴M=N=Rt
在AMC和ANB中
∴AMC≌ANB(SAS)
∴AM=AN(全等三角形的对应边相等)
例9:
已知AB=ADABC=ADC
求证:
1=2
证明:
连结DB
∵AB=AD(已知)
∴3=4(等边对等角)
∵ABC=ADC(已知)
∴ADC-3=ABC-4(等量减等量,差相等)
∴5=6∴DC=BC(等角对等边)
在DAC和BAC中
∴DAC≌BAC(AAS)
∴1=2(全等三角形对应角相等)
例10:
已知ABC中AD是BC边中线
E是AD上一点,BE=AC
求证:
AF=EF
分析:
欲证AF=EF
需证FAE=FEA由于有中线的条件可以将ED延长到M。
使DM=ED,连结MC,可证明BDE≌CDM,由所给的条件,易证明AC=MC,可得MAC=AMC,由AMC=BED=AEF
可知EAF=AEF便可得结论
证明:
延长ED到M,使DM=DE,连结MC。
∵AD是BC边中线
∴BD=DC
在DEB和DMC中
∴DEB≌DMC(SAS)
∴M=3CM=BE
∵BE=AC
∴AC=CM∴M=4
∵3=5
∴4=5
∴AF=EF
说明:
遇到中线问题,常常把中线延长一倍,与原来的两个顶点组成新三角形是
常用的方法,简称倍长中线法。
【专项训练】:
一、填空:
1、若等腰三角形的顶角为70,则它的底角为。
2、若等腰三角形一个底角的外角等于110,则它的顶角为。
3、若等腰三角形顶角的外角等于100,则它的底角为。
4、已知ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,A=30则DBC=
5、已知ABC中,ABC=90,A=56,CD=CB,则ABD=
6、已知ABC中,AB=AC,D是BC上一点,E是AC上一点,AD=AE,BAD=30,则EDC=
7、在ABC中,A=65,B=50,那么,ABC中相等的边是
8、ACD是ABC的一个外角,ACD=119,B=58,那么ABC中相等的边
是
9、有一个角是的等腰三角形是等边三角形
10、在ABC中,CAD是它的一个外角,且CAD=120,C=60,
那么ABC是三角形
11、如图,ABC中,C=36,ADB=72,BD平分ABC,那么图中的等腰三角形有
二、证明题:
1、已知AD平分BAC,AE=DE,
求证:
ED∥AC
2、已知ABC中,AB=AC,AO平分BAC
求证:
1=2
3、已知:
ABC中D是AC上一点,AB=BD=DC
ABC=60
求:
A的度数
4、已知:
ABC中,AB=AC,EF交AB于E,交AC的延长线于F,且BE=CF
求证:
DE=DF
5、求证:
三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。
6、已知:
ABC中,AB>AC,AE=AF,
延长EF与BC的延长线交于G
求证:
BGE=
7、如图ABC中,ABC=2C,AD⊥BC于D,E在AB的延长线上,BE=BD,
ED的延长线交AC于F
求证:
F是AC中点
8、已知:
过ABC的BC边中点M作BAC的平分线AD的平行线交AB于E,交CA延长线于F
求证:
BE=CF
9、已知:
1=23=4
5=90+B
求证:
AE=AC
10、已知:
ABC中,AB=AC
BAC=20AD=BC
求:
BDC的度数
【答案】:
一、填空:
1、552、403、504、155、176、157、a=c8、AB=BC9、60
10、等边三角形11、ABDDBCABC
二、证明题:
1、证明:
∵AD平分BAC(已知)
∴1=2(角平分线定义)
∵AE=DE(已知)
∴1=3(等边对等角)
∴2=3(等量代换)
∴ED∥AC(内错角相等,两直线平行)
2、证明:
∵AB=AC(已知)
∴ABC=ACB(等边对等角)
∵AO平分BAC(已知)
∴5=6(角平分线定义)
在ABO中和ACO中
∴ABO=ACO(SAS)
∴3=4(全等三角形对应角相等)
∴ABC-3=ACB-4(等量减等量,差相等)
∴1=2
3、解:
设A=x
∵AB=BD
∴A=1=x
∵BD=DC
∴2=3
又2+3=1
(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和)
∴2=3=
∴4=ABC-3=60—x
在ABD中,A+1+4=180
x+x+60-
x=80
∴A=80
注意:
方程思想的渗透
4、证明:
过E作EG∥FC交BC于G
∴1=2(两直线平行,内错角相等)
5=6(两直线平行,同位角相等)
∵AB=AC(已知)
∴B=C(等边对等角)
∴5=B
∴BE=EG
∵BE=CF
在EGD和FCD中
∴EGD≌FCD(AAS)
∴DE=DF(全等三角形的对边相等)
5、已知ABC中,AD为BC边中线
求证:
AD<
分析:
要想证明AD<
就要想法把AD、AB、AC集中到一个三角形内,那么延长中线AD到E使DE=AD连结EC,构成新三角形AEC就可以达到目的。
证明:
延长AD到E,使DE=AD,连结EC
在ADB和EDC中
∴ADB≌EDC(SAS)
∴AB=EC(全等三角形对应边相等)
AEC中AE AE ∴AD< 6、证明: ∵AE=AF ∴1=2 ∵2=3∴3=1 ∴BGE=ACB-3=ACB-1 ∵1=B+BGE ∴BGE=ACB-(B+BGE) 即2BGE=ACB-B ∴BGE= 遇到求证一些角的等量关系时,一般是先结合已知条件找出一个和求证有关的等式,再把与求证无关的角换掉以推出求证的结果。 7、证明: ∵BE=BD(已知) ∴E=1(等边对等角) ∴ABC=E+1=2E ∵ABC=2C ∴C=11=2 ∴C=2 ∴DE=FC(等角对等边) ∵AD⊥BC(已知) ∴C+3=902+4=90 ∴4=3 ∴AF=DF 即F为AC中点 8、证明: 过B作BN∥FC交FM的延长线于N 易证BMN≌CMF ∴CF=BNN=F ∵FN∥AD ∴3=12=F ∵AD平分BAC ∴1=2 ∴3=F ∴3=N ∴BN=BE BE=CF 9、证明: ∵1=2 5+7=6+B ∵5=90+B ∴90+B+7=6+B ∵6=180-7 ∴90+7=180-7 27=907=45 ∵1=23=4 ∴EAC=90E=45 ∴AE=AC 另法: 过A作AF⊥BE于F(略) 10、解: 以AC为边作等边ACE连结DE ∴CAE=60 ∴DAE=80 ∵AB=ACBAC=20 ∴B=80 易证: ABC≌EAD(SAS) ∴1=BAC=20AE=AC=DE DCE为等腰三角形 ∴2=60-20=40 ∴EDC=ECD=70 ADB为直线 ∴BDC=180-ADE-EDC =180-80-70=30
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