数学文高考复习函数及其表示.docx
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数学文高考复习函数及其表示
第一节
函数及其表示
一、基础知识批注——理解深一点
1.函数与映射的概念
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域:
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发.
(2)如果函数y=f(x)是用表格给出,则表格中x的集合即为定义域.
(3)如果函数y=f(x)是用图象给出,则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
(2)函数的三要素:
定义域、值域和对应关系.
(3)相等函数:
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定相同.
(4)函数的表示法:
表示函数的常用方法有:
解析法、图象法、列表法.
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一个函数.
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
(3)各段函数的定义域不可以相交.
二、基础小题强化——功底牢一点
(1)对于函数f:
A→B,其值域是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( )
(3)函数是一种特殊的映射.( )
(4)若A=R,B=(0,+∞),f:
x→y=|x|,则对应f可看作从A到B的映射.( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)× (5)×
(二)选一选
1.函数y=log2(2x-4)+的定义域是( )
A.(2,3) B.(2,+∞)
C.(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)
解析:
选D 由题意,得解得x>2且x≠3,所以函数y=log2(2x-4)+的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
2.下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是( )
A.y=()2B.y=+1
C.y=+1D.y=+1
解析:
选B 对于A,函数y=()2的定义域为{x|x≥-1},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y=+1的定义域为{x|x≠0},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于D,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.
3.函数y=+1的值域为( )
A.(0,+∞)B.(1,+∞)
C.[0,+∞)D.[1,+∞)
解析:
选D 函数y=+1的定义域为[1,+∞),且在[1,+∞)上为增函数,所以当x=1时,y取得最小值1.故函数的值域为[1,+∞).
(三)填一填
4.设函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a=________.
解析:
若a≥0,则+1=2,得a=1;
若a<0,则+1=2,得a=-1.
故a=±1.
答案:
±1
5.已知f=x2+5x,则f(x)=________.
解析:
令t=,则x=(t≠0),即f(t)=+,
∴f(x)=(x≠0).
答案:
(x≠0)
[典例]
(1)(2019·长春质检)函数y=+的定义域是( )
A.[-1,0)∪(0,1) B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-1,0)∪(0,1]D.(-1,0)∪(0,1)
(2)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( )
A.(-1,1)B.
C.(-1,0)D.
[解析]
(1)由题意得解得-1 所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1). (2)令u=2x+1,由f(x)的定义域为(-1,0),可知-1 得-1 [答案] (1)D (2)B [解题技法] 1.使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)y=x0要求x≠0; (4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1; (5)正切函数y=tanx,x≠kπ+(k∈Z); (6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求. 2.抽象函数的定义域问题 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出; (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 定义域,是何意,自变量,有意义; 分式分母不为零,对数真数只取正; 偶次根式要非负,三者结合生万物; 和差积商定义域,不等式组求交集; 抽象函数定义域,对应法则内相同. [题组训练] 1.函数f(x)=+的定义域为( ) A.[-2,0)∪(0,2]B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2]D.(-1,2] 解析: 选B 由得-1 2.若函数y=f(x)的定义域是[1,2019],则函数g(x)=的定义域是________________. 解析: 因为y=f(x)的定义域是[1,2019], 所以若g(x)有意义,应满足 所以0≤x≤2018,且x≠1. 因此g(x)的定义域是{x|0≤x≤2018,且x≠1}. 答案: {x|0≤x≤2018,且x≠1} [典例] (1)已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,求f(x); (2)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x). [解] (1)法一: 待定系数法 因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c. 因为f(2x+1)=4x2-6x+5, 所以解得 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 法二: 换元法 令2x+1=t(t∈R),则x=, 所以f(t)=42-6·+5=t2-5t+9(t∈R), 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 法三: 配凑法 因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9, 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). (2)解方程组法 由f(-x)+2f(x)=2x,① 得f(x)+2f(-x)=2-x,② ①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x. 即f(x)=. 故f(x)的解析式是f(x)=(x∈R). [解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法 先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数. (2)换元法 对于形如y=f(g(x))的函数解析式,令t=g(x),从中求出x=φ(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值范围. (3)配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. (4)解方程组法 已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 解析式,如何定,待定换元解方程; 已知函数有特征,待定系数来确定; 复合函数问根源,内函数,先换元; 两个函数有关系,方程组中破玄机. [提醒] 由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域. [题组训练] 1.已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=________________. 解析: 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx. 又由f(x+1)=f(x)+x+1, 得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1, 所以解得a=b=. 所以f(x)=x2+x(x∈R). 答案: x2+x(x∈R) 2.已知f=lgx,则f(x)=________________. 解析: 令+1=t,得x=,则f(t)=lg,又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x)=lg(x>1). 答案: lg(x>1) 3.已知f(x)满足2f(x)+f=3x,则f(x)=________. 解析: ∵2f(x)+f=3x,① 把①中的x换成,得2f+f(x)=.② 联立①②可得 解此方程组可得f(x)=2x-(x≠0). 答案: 2x-(x≠0) 考法 (一) 求函数值 [典例] (2019·石家庄模拟)已知f(x)=(0 A.-2 B.2 C.3D.-3 [解析] 由题意得,f(-2)=a-2+b=5,① f(-1)=a-1+b=3,② 联立①②,结合0 所以f(x)= 则f(-3)=-3+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2. [答案] B [解题技法] 求分段函数的函数值的策略 (1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值; (2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值; (3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点. 考法 (二) 求参数或自变量的值(或范围) [典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=则满足f(x+1) A.(-∞,-1]B.(0,+∞) C.(-1,0)D.(-∞,0) [解析] 法一: 分类讨论法 ①当即x≤-1时, f(x+1) 即-(x+1)<-2x,解得x<1. 因此不等式的解集为(-∞,-1]. ②当时,不等式组无解. ③当即-1 f(x+1) 因此不等式的解集为(-1,0). ④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意. 综上,不等式f(x+1) 法二: 数形结合法 ∵f(x)= ∴函数f(x)的图象如图所示. 结合图象知,要使f(x+1) 则需或 ∴x<0,故选D. [答案] D [解题技法] 已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法 (1)根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可; (2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解. [题组训练] 1.设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( ) A.2B.4 C.6D.8 解析: 选C 当0<a<1时,a+1>1,f(a)=,f(a+1)=2(a+1-1)=2a, ∵f(a)=f(a+1),∴=2a, 解得a=或a=0(舍去). ∴f=f(4)=2×(4-1)=6. 当a≥1时,a+1≥2,f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a, ∵f(a)=f(a+1),∴2(a-1)=2a,无解. 综上,f=6. 2.已知函数f(x)=则f(f(3))=________. 解析: 由题意,得f(3)=f (2)=f (1)=21=2, ∴f(f(3))=f (2)=2. 答案: 2 3.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________. 解析: 由题意知,可对不等式分x≤0,0 ①当x≤0时,原不等式为x+1+x+>1,解得x>-, 故- ②当0 ③当x>时,原不等式为2x+2x->1,显然成立. 综上可知,所求x的取值范围是. 答案: 4.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是____________. 解析: 若a<0,则f(a)<1⇔a-7<1⇔a<8,解得a>-3,故-3 若a≥0,则f(a)<1⇔<1,解得a<1,故0≤a<1.
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