浙江省绍兴市柯桥区学年高二上学期期末教学质量调测数学试题及答案.docx
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浙江省绍兴市柯桥区学年高二上学期期末教学质量调测数学试题及答案
浙江省绍兴市柯桥区2021-2022学年高二上学期期末教学质量调测数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知直线方程为
,则其倾斜角为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
2.已知两个向量
,
,且
,则
的值为()
A.-2B.2C.10D.-10
3.已知双曲线
,其渐近线方程为
,则a的值为()
A.
B.
C.
D.2
4.已知抛物线
,则其焦点到准线的距离为()
A.
B.
C.1D.4
5.已知数列
满足
,且
,
为其前n项的和,则
()
A.
B.
C.
D.
6.数列
是公差不为零的等差数列,
为其前n项和.若对任意的
,都有
,则
的值不可能是()
A.
B.2C.
D.3
7.空间直角坐标系中
、
、
)、
,其中
,
,
,
,已知平面
平面
,则平面
与平面
间的距离为()
A.
B.
C.
D.
8.当实数
,m变化时,
的最大值是()
A.3B.4C.5D.6
二、多选题
9.已知曲线
,则()
A.若
,
,则曲线C表示椭圆
B.若
,则曲线C表示双曲线
C.若
,
,则曲线C表示双曲线,其渐近线方程为
D.若
,
,则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,其离心率
10.已知数列
是各项为正的等比数列,
为其前n项和.数列
满足
,其前n项和为
.则()
A.数列
一定为等比数列B.数列
一定为等比数列
C.数列
一定为等差数列D.若
有最大值,则必有
11.已知斜率为k的直线l经过抛物线
的焦点F,且与抛物线C交
,
两点,则以下结论正确的是()
A.若
,则MN的中点到y轴的距离为6
B.对任意实数k,
为定值
C.存在实数k,使得
成立
D.若
,则
12.如图,在长方体
中,
,
,点P,E分别为AB,
的中点,点M为直线
上的动点,点N为直线
上的动点,则()
A.对任意的点N,一定存在点M,使得
B.向量
,
,
共面
C.异面直线PM和
所成角的最小值为
D.存在点M,使得直线PM与平面
所成角为
三、填空题
13.已知圆
,直线
与圆C交于A,B两点,且
,则
______.
14.已知平面
,过空间一定点P作一直线l,使得直线l与平面
,
所成的角都是30°,则这样的直线l有______条.
15.已知双曲线
的左焦点为F,点P在双曲线右支上,若线段PF的中点在以原点O为圆心,
为半径的圆上,且直线PF的斜率为
,则该双曲线的离心率是______.
四、双空题
16.等差数列
中,若
,
,则
______,数列
的前n项和为
,则
______.
五、解答题
17.已知直线l过点
,与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若
的面积为
,求直线l的方程;
(2)求
的面积的最小值.
18.如图,在四棱锥
中,底面ABCD是边长为1的菱形,且
,侧棱
,
,M是PC的中点,设
,
,
.
(1)试用
,
,
表示向量
;
(2)求BM的长.
19.在柯桥古镇的开发中,为保护古桥OA,规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥,使新桥BC与河岸AB垂直,并设立一个以线段OA上一点M为圆心,与直线BC相切的圆形保护区(如图所示),且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m,经测量,点A位于点O正南方向25m,
,建立如图所示直角坐标系.
(1)求新桥BC的长度;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最小?
20.如图,在三棱柱
中,
,D为BC的中点,平面
平面ABC.
(1)证明:
;
(2)已知四边形
是边长为2的菱形,且
,问在线段
上是否存在点E,使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为
,若存在,求出CE的长度,若不存在,请说明理由.
21.已知等差数列
中,
,前5项的和为
,数列
满足
,
.
(1)求数列
,
的通项公式;
(2)记
,求数列
的前n项和
.
22.已知椭圆
的离心率
,过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线
交椭圆C于A、B两点,若y轴上存在点P,使得
是以AB为斜边的等腰直角三角形,求
的面积的取值范围.
参考答案:
1.D
【解析】
【分析】
由直线方程可得斜率
,根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.
【详解】
由题设,直线
斜率
,若直线
的倾斜角为
,则
,
∵
,
∴
.
故选:
D
2.C
【解析】
【分析】
根据向量共线可得
满足的关系,从而可求它们的值,据此可得正确的选项.
【详解】
因为
,故存在常数
,使得
,
所以
,故
,所以
,
故选:
C.
3.A
【解析】
【分析】
由双曲线方程,根据其渐近线方程有
,求参数值即可.
【详解】
由渐近线
,结合双曲线方程,
∴
,可得
.
故选:
A.
4.B
【解析】
【分析】
化简抛物线的方程为
,求得
,即为焦点到准线的距离.
【详解】
由题意,抛物线
,即
,解得
,
即焦点到准线的距离是
故选:
B
5.B
【解析】
【分析】
根据等比数列的前n项和公式即可求解.
【详解】
由题可知
是首项为2,公比为3的等比数列,则
.
故选:
B.
6.A
【解析】
【分析】
由已知建立不等式组,可求得
,再对各选项逐一验证可得选项.
【详解】
解:
因为数列
是公差不为零的等差数列,
为其前n项和.对任意的
,都有
,
所以
,即
,解得
,
则当
时,
,不成立;
当
时,
,成立;
当
时,
,成立;
当
时,
,成立;
所以
的值不可能是
,
故选:
A.
7.A
【解析】
【分析】
由已知得
,
,
,设向量
与向量
、
都垂直,由向量垂直的坐标运算可求得
,再由平面平行和距离公式计算可得选项.
【详解】
解:
由已知得
,
,
,设向量
与向量
、
都垂直,则
,即
,取
,
,
又平面
平面
,则平面
与平面
间的距离为
,
故选:
A.
8.D
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离公式可知
可以表示单位圆
上点
到直线
的距离,利用圆的性质结合图形即得.
【详解】
由题可知,
可以表示单位圆
上点
到直线
的距离,
设
,
因为直线
,即
表示恒过定点
,
根据圆的性质可得
.
故选:
D.
9.BC
【解析】
【分析】
利用曲线的方程逐项分析即得.
【详解】
对于A,若
,
,当
时,则曲线C表示圆,故A错误;
对于B,若
,当
时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线,当
时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,所以若
,则曲线C表示双曲线,故B正确;
对于C,若
,
,则
,
,
所以曲线C表示双曲线,方程为
,
令
,得
,即
,故其渐近线方程为
,故C正确;
对于D,若
,
,则曲线C方程为
,即
,
因为
,所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故D错误.
故选:
BC.
10.AC
【解析】
【分析】
AB选项,利用等比数列定义进行证明;C选项,利用等差数列定义进行正确;D选项,由
是等差数列,故要想
有最大值,则公差小于0,与首项无关
【详解】
A选项,
,因为数列
是各项为正的等比数列,则
,故
,所以A正确;
,若
则
为等比数列,若
,则比值不是常数,故数列
不一定为等比数列,B错误;
,所以数列
一定为等差数列,C正确;
因为
是等差数列,故要想
有最大值,则公差小于0,即
,解得:
,与首项无关,D错误.
故选:
AC
11.BD
【解析】
【分析】
写出直线
的方程并与抛物线方程联立,化简写出根与系数关系,结合弦长公式对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】
抛物线的焦点
,则直线
的方程为
,
,
由
消去
并化简得
,
所以
,
,B选项正确.
所以
.
当
时,
,
此时
的中点到
轴的距离为
,A选项错误.
当
时,即
,此方程无解,所以C选项错误.
当
时,
,
由于
,所以
.
则
,
当
时,
,
当
时,
,
所以当
时,
,D选项正确.
故选:
BD
12.BCD
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量的方法可判断ACD的正误,利用中位线和长方体的性质可判断B的正误.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系,
则
,
,
故
,设
,
,
,
而
,故
即
,
故
,
若
,则
即
,
当
时,
不存在,故当
为
中点,不存在
,使得
,故A错误.
连接
,则
,由长方体可得
,故
,
故
,
,
即
,
,
共面,故B正确.
,故
,
当
时,
,此时
;
当
时,
,
令
,设
,则
,
故
,
所以异面直线PM和
所成角的范围为
,故直线PM和
所成角的最小值为
,
故C正确.
平面
的法向量为
,
故
,
若直线PM与平面
所成角为
,则
,
故
,所以
或
,故D正确.
故选:
BCD.
【点睛】
思路点睛:
空间位置关系中的最值问题,可通过建立空间直角坐标系,把角的最值问题或存在性问题转化为函数的最值或方程的解的问题.
13.-2
【解析】
【分析】
将圆的一般方程化为标准方程,结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦
的距离,再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦
的距离,解方程即可求得
的值.
【详解】
解:
将圆的方程化为标准方程可得
,圆心为
,半径
圆C与直线
相交于
、
两点,且
,
由垂径定理和勾股定理得圆心到直线
的距离为
,
由点到直线距离公式得
,
所以
,解得
,
故答案为:
.
14.4
【解析】
【分析】
设平面
,在平面
内作
于点O,在平面
内过点O作
,设OM是
的角平分线,过棱m上一点P作
,则过点O在平面OMQP上存在2条直线l,使得直线l与OB、OA成
,直线l与平面且与平面
,
所成的角都是30°,在
的补角
一侧也存在2条满足条件的直线l,由此可得答案.
【详解】
解:
设平面
,在平面
内作
于点O,在平面
内过点O作
,
因为平面
,所以
,设OM是
的角平分线,则
,
过棱m上一点P作
,则过点O在平面OMQP上存在2条直线l,使得直线l与OB、OA成
,此时直线l与平面且与平面
,
所成的角都是30°,
同理,在
的补角
一侧也存在2条满足条件的直线l,所以这样的直线l有4条,
故答案为:
4.
15.3
【解析】
【分析】
如图利用条件可得
,
,然后利用双曲线的定义可得
,即求.
【详解】
如图设双曲线的右焦点为
,线段PF的中点为M,连接
,
则
,又直线PF的斜率为
,
∴在直角三角形
中
,
,
∴
,
∴
,即
,
∴
.
故答案为:
3.
16.
【解析】
【分析】
设等差数列
公差为d,根据等差数列的性质即可求通项公式;
,采用裂项相消的方法求
.
【详解】
设等差数列
公差为d,
,
,
;
∵
,
∴
.
故答案为:
;
.
17.
(1)
或
(2)4
【解析】
【分析】
(1)设直线方程为
,根据所过的点及面积可得关于
的方程组,求出解后可得直线方程,我们也可以设直线
,利用面积求出
后可得直线方程.
(2)结合
(1)中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.
(1)
法一:
(1)设直线
,则
解得
或
,所以直线
或
.
法二:
设直线
,
,则
,
.
则
,∴
或﹣8
所以直线
或
.
(2)
法一:
∵
,∴
,∴
,此时
,
.
∴
面积的最小值为4,此时直线
.
法二:
∵
,
∴
,
此时
,∴
面积的最小值为4,此时直线
.
18.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)将
,
代入
中化简即可得到答案;
(2)利用
,结合向量数量积运算律计算即可.
(1)
是PC的中点,
,
,
,
,
结合
,
,
,
得
.
(2)
∵底面ABCD是边长为1的菱形,且
,侧棱
,
,
,
,
,
.
,
.
由
(1)知
,
,
,即BM的长等于
.
19.
(1)80m;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)根据斜率的公式,结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可;
(2)根据圆的切线性质进行求解即可.
(1)
由题意,可知
,
,
∵
∴
直线BC方程:
①,
同理可得:
直线AB方程:
②
由①②可知,∴
,从而得
故新桥BC得长度为80m.
(2)
设
,则
,圆心
,
∵直线BC与圆M相切,∴半径
,
又因为
,
∵
∴
,所以当
时,圆M的面积达到最小.
20.
(1)证明见解析
(2)存在,1
【解析】
【分析】
(1)由面面垂直证明线面垂直,进而证明线线垂直;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量进行求解.
(1)
∵
,且D为BC的中点,∴
,
因为平面
平面ABC,交线为BC,AD⊥BC,AD
面ABC,
所以AD⊥面
,
因为
面
,
所以
.
(2)
假设存在点E,满足题设要求
连接
,
,∵四边形
为边长为2的菱形,且
,
∴
为等边三角形,
∵D为BC的中点
∴
,
∵平面
平面ABC,交线为BC,
面
,
所以
面ABC,
故以D为原点,DC,DA,
分别为x,y,z轴的空间直角坐标系.
则
,
,
,
,
.
设
,
,
.
设面AED的一个法向量为
,则
,
令
,则
.
设面AEC的一个法向量为
,则
,
令
,则
.
设平面EAD与平面EAC的夹角为
,则
.
解得:
,故点E为
中点,所以
.
21.
(1)
,
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)利用等差数列求和公式可得
,进而可得
,再利用累加法可求
,即得;
(2)由题可得
,然后利用分组求和法即得.
(1)
设公差为d,由题设可得
,
解得
,
所以
;
当
时,
,
∴
,
当
时,
(满足上述的
),
所以
.
(2)
∵
.
当
时,
.
当
时,
.
综上所述:
.
22.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由条件可得
,解出即可;
(2)设
,
,取AB的中点
,联立直线与椭圆的方程消元,算出
,
,然后可算出
,然后由
可得
,然后表示出
的面积可得答案.
(1)
令
,得
,所以
,
解得
,
,所以椭圆C的方程:
.
(2)
设
,
,取AB的中点
,
因为
为以AB为斜边的等腰直角三角形,所以
且
,
联立
得
,则
.
∴
.
又∵
,∴
,且
,
,
∴
,
由
得
,∴
.
∴
.
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