北邮离散数学期末复习题.docx
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北邮离散数学期末复习题
北邮离散数学期末复习题
第一章集合论
一、判断题
(1)
空集是任何集合的真子集.
(错)
(2)
是空集.
(错)
(3)
扫;三{a},a?
(对)
(4)
设集合A」1,2,「1,2»,则/1,2;;二2A.
(对)
(5)
如果aAB,贝Ua■A或a■B.
(错)
解a
七AB则a三AB=A-B,即a三A且a
B,所以a'A且a■B
(6)
如果AUB=B,则A;=B.
(对)
(7)设集合A={ai,a2,a3},B二{644},则
AB={■a1,b1,:
:
:
a2,b2,:
:
a3,b3}(错)
(8)设集合A二{0,1},则{「,0「:
,1,:
:
:
{0},0「:
:
{0},1}是2A到A的关
系.
(对
)
解2A珂,{0},{1},A,
2AA={:
:
0「:
1「:
{0},0「:
{0},1,{},0,:
:
{1},1
,:
:
A,0
「:
A,1}
(9)关系的复合运算满足交换律.
(错
)
(10是集合A上的关系「具有传递性的充分必要
条件•
(
错)
(11)设「是集合A上的传递关系,则~也是A上的传递关系•
(
对)
(12)集合A上的对称关系必不是反对称的.
(
错)
(13)设订为集合A上的等价关系,贝也是集合A上的等价关系(对)
(14)设(是集合A上的等价关系,则当:
:
:
a,b―三T时,[a]:
、=[b]r(对)
P\°P戈―口
(15)设「,二为集合A上的等价关系,贝y-(错)
二、单项选择题
(1)设R为实数集合,下列集合中哪一个不是空集(A)
A.:
x|x2-1=0,且xRB•:
x|x29=0,且xR
C.:
x|x=x1,且xRfD.:
x|x2--1,且xRf
(2)设A,B为集合,若AB=二则一定有
(4)设A=「a,{a}?
,则下列各式中错误的是
A.
C.
5:
0,0,:
:
1,1,:
:
b,b,:
:
3,3,;B.-:
:
0,0,:
:
:
1,1,:
:
3,3-/
=0,0,:
:
:
b,b,:
:
:
3,3-/D.J:
0,1,:
:
1,b,:
:
b,3,:
:
3,0-/
(7)设A-ab,Cf上的二元关系如下,则具有传递性的为(D)
A.-=・a,c,:
:
:
c,a,:
:
:
a,b,:
:
b,a-/
B.:
^-■:
a,c,:
:
:
c,a丄
C.「3-、:
:
:
a,b,:
:
c,c,:
:
b,a,:
:
b,c
D.:
]-\:
:
a,a-/
(8)设「为集合A上的等价关系,对任意a・A,其等价类〔al为(b)
A.空集;B.非空集;C.
(9)映射的复合运算满足
A.交换律B•结合律C.
(10)设A,B是集合,则下列说法中(A.A到B的关系都是A到B的映射B.A到B的映射都是可逆的C.A到B的双射都是可逆的
D.AB时必不存在A到B的双射
是否为空集不能确定;D.{xIX•A}.
(B)幂等律D.分配律
C)是正确的.
(11)设A是集合,则(B)成立•
A.#2A=2#a
B.X2A,XA
C.:
"三2A
D.;、A'w2
(12)设A是有限集(#A=n),则A上既是兰又是〜的关系共有(B).
A.0个
B.1个
C.2个
D.n个
三、填空题
1.设A={1,2,{1,2}},则2A=.
填2A={,{1},{2},{{1,2}},{1,2},{1,{1,2}},{2,{1,2}},A}
2.设A={,{}},则2A=.填2A={,{},{{}},A}
3.设集合代B中元素的个数分别为#A=5,#B=7,且#(A_.B)=9,
则集合A_B中元素的个数#(A-B)=.3
4.设集合A={x|1岂x^100,x是4的倍数,x-Z},
B={x|1乞x乞100,x是5的倍数,x・Z},贝UAB中元素的个数为.40
5.设A={a,b},是2a上的包含于关系,,则有
P=.
{:
:
:
「,:
:
:
{a},:
:
:
{b},:
:
A,:
:
{a},{a},:
:
:
{a},A,:
:
:
{b},{b},:
:
{b},A,:
:
A,A}
〜〜
6.设订嘉为集合A上的二元关系,则。
•:
十嘉*1
7.集合A上的二元关系r为传递的充分必要条件是—.「二尸
8.设集合AJ。
1,2上的关系J-L0,2「:
2,0?
及集合A到集合B」0,2,4?
的关
系P2={va,bva,baeaxB且a,b^AnB?
则叫°P2=.
填{:
:
:
0,0,:
:
0,2「:
2,0「:
:
2,2}
四、解答题
1.设A二{a,b,c,d},A上的关系
『二{:
:
a,a,:
b,b,:
:
c,c,:
:
d,d,:
:
a,b,:
:
b,a,:
:
c,d,:
:
d,c}
(1)写出的关系矩阵;
(2)验证,是A上的等价关系;
(3)求出A的各元素的等价类。
解
(1)「的关系矩阵为
(1
‘1100^
r1100、
'1100、
1100
1100
1100
0011
0011
0011
卫011』
j0011』
0011』
P
T是自反的和对称的。
(2)从r的关系矩阵可知:
又由于
或:
「二=:
-满足所以r是传递的。
T是A上的等价关系。
因为是自反的、对称的和传递的,所以
(3)[a]二[b]二{a,b},[c]=[d]={c,d}
2.设集合A二{1,2,3,6,8,12,24,36},亍是A上的整除关系,
(1)写出T的关系矩阵M门
(2)画出偏序集:
.AJ•的哈斯图;
(3)求出A的子集B={2,3,6}的最小上界和最大下界。
勺
1
1
1
1
1
1
1、
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
解:
(1)Mp=
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
10
0
0
0
0
0
0
1>
(3)lubB=6,glbB=1
五、证明题
1.设嘉为集合A上的等价关系,试证6「嘉也是集合A上的等价关系。
证明:
由于J,「2是自反的,所以对任意aA,a,a'^,:
:
:
a,a▽匕,因而
:
:
:
a,a>三i'2,即「1匚嘉是自反的。
若:
:
:
a,b,三耳*©,则:
:
:
a,b,三巴,:
:
:
a,b,三心,由于4,订是对称的,所以:
:
:
b,a打,:
:
:
b,a,三■从而:
:
:
b,a,三町—\,即4爲是对称的。
若:
:
:
a,b•,:
:
:
b,c三''2,则
:
:
:
a,b「:
:
b,c>三儿,:
:
:
a,b•,:
:
:
b,c,三心,由于6,務是传递的,所以:
:
:
a,c,三打,:
:
a,c,三込,从而:
:
a,c>三'2,即'2是传递的。
由于叫「‘2是自反的、对称的和传递的,所以‘1、‘2是等价关系。
第二章代数系统
一、判断题
(1)集合A上的任一运算对A是封闭的.(对)
(2)代数系统的零元是可逆元.(错)
(3)设A是集合,:
AA>A,a'b=b,贝U•是可结合的.(对)
(4)设a,b是代数系统代的元素,如果ab=ba二e(e是该代数系统的单位元),则
4
ab.(对)
(5)设a,b是群G,•的元素,则(ab)'』a'b’(错)
222
(6)设:
:
:
G,••是群.如果对于任意a,b•G,有(ab)=ab,则:
:
:
G/是阿贝尔
群.(对)
(7)设L,,是格,则运算满足幕等律.(对)
(8)设集合A={a,b},则:
:
{,{a},{b},A},_是格.(对)
(9)设:
:
:
B,,,■是布尔代数,则:
:
:
B,,•是格.
、单项选择题
(1)
在整数集Z上,
下列哪种运算是可结合的
(B)
A.
ab二a-b
B
•ab二max{a,b}
C.
ab=a2b
D.
ab=|a-b|
(2)
下列定义的实数集
R上的运算
*中可结合的是.
(C)
A•
a*b=a+ab
B.
a*b=a+2ab
C.
a*b=b
D.
a*b=a+b
其中,+,•I丨分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算
(3)
设集合AJ1,2,3,4,,10f,
下面定义的哪种运算关于集合
A不是封闭的
(D)
A.
xy=max{x,y}
B.
xy=min{x,y}
C.
xy二GCD{x,y},
即x,y的最大公约数
D.
xy二LCM{x,y},
即x,y的最小公倍数
(4)
卜列哪个集关于减法运算疋土寸闭的
(
B)
A.
N(自然数集);
B
•{2x|xZ(整数集)};
C.
{2x1|xZ};
D.
{x|X是质数}.
(5)
设Q是有理数集,在
Q定义运算
■-为ab二ab-ab,
则〔Q,
的单位元
为
(
D)
A.
a;B•b;
C.1
;D.0
(6)
设代数系统A,-,
则下面结论成立的是•
(
C)
A•如果A,-是群,则A,-是阿贝尔群
B•如果A,-是阿贝尔群,则A,-是循环群
C.如果A,-是循环群,则A,-是阿贝尔群
D•如果A,-是阿贝尔群,则A,-必不是循环群
(7)循环群‘Z,:
的所有生成元为(D)
A.1,0B•-1,2C.1,2D.1,-1
三、填空题
为•填■,A
2•代数系统:
:
:
Z,•.中(其中Z为整数集合,+为普通加法),对任意的I,其
x訂=•填-x
3.在整数集合Z上定义运算为a^a2b,则:
:
:
Z^.的单位元为__
解设单位元为e,a'e=a,2・e=a,所以e=-2,
又a(-2)a2■(-2)=a,(-2),a(-2)2aa,所以单位元为e=-2
4.在整数集合Z上定义'运算为aab-ab,则:
:
:
Z,,•的单位元为•
解设单位元为e,a'e=a・e-ae=a,(1「a)e=0,所以e=0
5.设G,:
是群,对任意a,b,c•G,如果ab=aQ,,则填b=c
6.设G,是群,e为单位元,若G元素a满足a2=a,则a=填e
四、解答题
1.设■为实数集R上的二元运算,其定义为
2
:
RrR,ab二ab2ab,对于任意a,bR
求运算•的单位元和零元。
解:
设单位元为e,则对任意aR,有aae2ae=a,
即e(12a^0,由a的任意性知e=0,
又对任意aR,a0=a00=a;0a=0a0=a
所以单位元为o
设零元为二,则对任意aR,有a上-aw:
,2a「-v
1
即a(1•2旳=0,由a的任意性知
2
111111
又对任意aR,a()=aa,(-—)aa-a二
222222
所以零元为
2.设•为集合
15二{0,1,2,3,4}上的二元运算,其定义为
2
:
15—15,ab=(ab)mod5,对于任意a,b丨5
(1)写出运算•的运算表;
(2)说明运算•是否满足交换律、结合律,是否有单位元和零元、如果有请指出;
(3)写出所有可逆元的逆元
解:
(1)运算表为
0
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
(2)运算•满足交换律、结合律,有单位元,单位元为1,有零元,零元为0;
3)1的逆元为1,2的逆元为3,3的逆元为2,4的逆元4,0没有逆元
五、证明题
1.设:
:
:
G,•.是一个群,试证G是交换群当且仅当对任意的a,b-G,有
a2F2=(a~b)2.
证明:
充分性
若在群:
:
G^中,对任意的a,bG,有a2b^(ab)2.
贝U(aa)(bb^(ab)(ab)
a(ab)b=a(ba)b
a“b=b"a
从而:
G^是一个交换群。
必要性
若:
:
:
G,•是一个交换群,对任意的a,b:
=G,有a=ba,贝U
a(ab)b=a(ba)b
(aa)(bb)=(ab)(ab)
即a2b2=(ab)2.
2.证明代数系统:
:
:
Z/-是群,其中二元运算•定义如下:
:
Z2>Z,xy=xy-3
(这里,+,—分别是整数的加法与减法运算•)
证明
(1)运算满足交换律
对任意x,y,z•z,由
(xy)z=(xy-3)z=xyz_6,
x(yz)=x(yz-3)=xyz_6
得(xy)x(yz),即满足结合律;
(2)有单位元3是单位元;
(3)任意元素有逆元
对任意x•z,x*=6-x.所以,~z,是群.
第三章图论
、判断题
n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1.
(1)
(2)
图G的两个不同结点Vj,Vj连接时一定邻接.
(3)
图G中连接结点Vi,Vj的初级通路为Vj,Vj之间的短程.
在有向图中,结点Vi到结点Vj的有向短程即为Vj到Vi的有向短程.
(5)
(6)
(7)
强连通有向图一定是单向连通的.不论无向图或有向图,初级回路一设图G是连通的,则任意指定
((定是简单回路.(
G的各边方向后所得的有向图是弱连通的.
(
(8)
有生成树的无向图是连通的.
对
(对)
(9)
F图所示的图是欧拉图
(10)下图所示的图有哈密尔顿回路
二、单项选择题
(1)仅由孤立点组成的图称为
A.零图;B.平凡图;C.
完全图;
D.
多重图
(2)仅由一个孤立点组成的图称为
A.零图;B.平凡图;C.
多重图;
D.
子图.
(3)在任何图G中必有偶数个
A.度数为偶数的结点;B
.度数为奇
,数的结点;
C.入度为奇数的结点;D.
出度为奇
「数的结点
(4)设G为有n个结点的无向完全图,贝UG的边数为
(A)
(B)
(B)
(C)
A.n(n-1)B.n(n1)C.
n(n-1)..2D.(n-1)..2
(5)在有n个结点的连通图G中,其边数
A.最多n-1条;B
•至少nT条;
C.最多n条;D.至少n条.
(6)任何无向图G中结点间的连通关系是
A.偏序关系;B•等价关系;
C.既是偏序关系又是等价关系;D.既不是偏序关系也不是等价关系
(7)对于无向图,下列说法中正确的是
A.不含平行边及环的图称为完全图
B•任何两个不同结点都有边相连且无平行边及环的图称为完全图
C.具有经过每条边一次且仅一次回路的图称为哈密尔顿图
D•具有经过每个结点一次且仅一次回路的图称为欧拉图
(8)设D是有向图,则D强连通的充分必要条件为•
A•略去D中各边方向后所得到的无向图是连通的
B.D是单向连通图,且改变它的各边方向后所得到的有向图也是单向连通图
C.D的任意两个不同的结点都可以相互到达
D.D是完全图
(9)
A.如果B.如果C.如果
D.如果
对于无向图G,以下结论中不正确的是.
G的两个不同结点是连接的,则这两个结点之间有初级回路
G的两个不同结点是连接的,则这两个结点之间至少有一条短程
G是树,则任何两个不同结点之间有且仅有一条初级通路
G是欧拉图,则G有欧拉回路
三、填空题
1.
个4度结点.
设树T中有7片树叶,3个3度结点,其余都是4度结点,贝UT中有解用握手定理和树的性质列出方程求解,设有x个4度结点,
794x=2(73x-1),x=1
2.设T=:
:
:
V,E•为树,T中有4度,3度,2度分支点各1个,问T中有_片树叶。
解与上题解法相同,设有x片树叶,4•3•2•x=2(3•x-1),x=5
3.n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为
4.图G为n阶无向完全图,贝UG共有
条边。
n(n-1)/2
5.设G为(n,m)图,则图中结点度数的总和为
6.图G为欧拉图的充分必要条件是
\
<1V2V3
V4V5
Vi
'1011
10、
解
(1)
.V2
A=2
101
01
V3
110
11
V4
101
00
V5
e11
00y
(2)因为
勺1
212
G:
X7疋疋
13
221
XXXXX
.2
.3
A=
22
411
A=
XXXXX
12
121
XXXXX
<21
112,
XXXXX
所以,结点Vi,V3之间长度为3的通路共有
7条,它们是
V1V3V1V3,V1V2V5V3,V1V2V1V3,
V1V4V1V3,ViV3V5V3,V1V3V2V3,V1V3V4V3.
(3)由于图G是连通的,所以
V1
V2
V3
V4
V5
V1
勺
1
1
1
r
V2
1
1
1
1
1
C=V3
1
1
1
1
1
.
V4
1
1
1
1
1
V5
<1
1
1
1
1丿
(4)
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e
V1
卩
0
1
1
0
0
0
V2
1
1
0
0
0
0
1
M=V3
0
1
1
0
1
1
0
V4
0
0
0
1
1
0
0
V5
e
0
0
0
0
1
1
2.在下面的有向图D中,
回答下列冋题
3的所有有向回路;
‘0
0
0
0
1、
1
0
1
0
0
解:
(
1)A:
=
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
°」
■0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
(2)
A2=
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
<1
0
1
0
1
(3)写出结点V5到自身的长度为
q0i0r
01121
01121
10101
I。
1121?
所以结点V1到结点V3的长度为3的所有有向通路只有一条:
V1V5V2V3
(3)结点v5到自身的长度为3的所有有向回路只有一条:
v5v2v1v5
3.在下面的无向图G中,回答下列问题
(1)写出a,d之间的所有初级通路;
(2)写出a,d之间的所有短程,并求d(a,d);
(3)判断无向图G是否为欧拉图并说明理由。
解
(1)a,d之间的所有初级通路共有7条,分别为
aed,aecd,aebcd,abed,abcd,abecd,abced
(2)a,d之间的长度最短的通路只有1条,即aed,因而它是a,d之间唯一的短程,d(a,d)=2
(3)由于无向图G中有两个奇度顶点deg(b)=3,deg(c)=3,所以无向图G没有欧
拉回路,因而不是欧拉图。
第四章数理逻辑
一、判断题
(1)“如果8+7>2,则三角形有四条边”是命题.(对)
(2)设P,Q都是命题公式,则P
Q也是命题公式.
(错
)
(3)命题公式P,Q的真值分别为0,
1,则P>Q的真值为
0
(以上是在对P,Q所包含的命题变元的某个赋值下).
(
错
)
(4)设p:
他牛干1963年,q:
他生于
1964年,则命题“他牛于
1963年或1964年”
可以符
号化为pq.
(对
)
(5)设P,Q都是命题公式,则P=
Q的充分必要条件为
P-Q=1.(
(对
)
(6)逻辑结论是正确结论.
(错
)
(9)设A,B,C都是命题公式,则
(AB_C)->
(A>C)
也是命题公式.
(对
)
(10)命题公式P,Q的真值分别为0,
1,贝UQ的真值为
0
(以上是在对P,Q所包含的命题变元的某个赋值下).
(
对
)
二、单项选择题
(1)下面哪个联结词不可交
- 配套讲稿:
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- 离散数学 期末 复习题