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关于复合函数求导法则的探讨1
关于复合函数求导法则的探讨..
....
莫国良..(浙江大学城市学院信息与计算机科学系..杭州..310015)
摘要..对复合函数求导法则的证明作了讨论,并指出该法则在特殊极限求法中的应用。
关键词..复合函数求导法则..........中图分类号..O172..
复合函数求导法则:
如果u=..(x)在x0点可导,而y=f(u)在点u0=..(x0)可导,则
复合函数y=f(..(x))在点x0可导,且其导数为:
dy
dx
|x=x
0
=f..(u0)....(x0)。
复合函数求导法则是极为重要的求导法则,在一般的微积分教科书中,该法则的证明都是用
..u乘..y
..u
=f..(u0)+a两边,得..y=f..(u0)..u+a..u,再用..x除等式两边取极限求得证明的
(参阅同济大学数学教研室主编高等数学!
四版的证明,p114)。
之所以要用..u乘..y
..u
=
f..(u0)+a的两边是为了避免..u作为中间变量的改变量时可能等于0而带来的麻烦,但当..u=
0时定义a=0虽然使证明过程简洁了,但学生理解起来并不轻松。
实际上对常见的中间变量函
数u来说,..u一般都不等于0。
本文试图探讨下列问题。
问题一..
(1)何时lim
..x..0
.y
..x
=lim
..x..0
.y
..u
#.u
..x
=f..(u0)....(x0)行得通?
(2)上面的方法行不
通时,有无别的证法?
(3)举出例子说明..u可以在x0的任何邻域中取到0。
问题二..复合函数求导法则在特殊极限的求法中的应用如何?
问题一
(1)何时lim
.x..0
.y
.x
=lim
.x..0
.y
.u
#.u
.x
=f..(u0)#....(x0)行得通?
有下面结论:
在复合函数
求导法则中,如果....(x0).0,则此时求导法则可用[f(..(x))]..|x=x
0
=lim..x..0
.y
..x
=lim..x..0
.y
..u
#
.u
..x
=f..(u0)....(x0)。
证明..如....(x0).0,则由极限性质知,存在>0,当x%..U(x0,)时,
..(x)-..(x0)
x-x0
.
0,即当x%..U(x0,),..(x)-..(x0).0,从而当x%..U(x0,)时,
f(..(x))-f(..(x0))
x-x0
=
f(..(x))-f(..(x0))
..(x)-..(x0)
#..(x)-..(x0)
x-x0
成立。
因为..(x)在x0处可导,故..(x)在x0连续,从而
lim
x..x
0
(..(x)-..(x0))=0。
又因f(u)在u0=..(x0)处可导,因此,lim
x..x
0
f(..(x))-f(..(x0))
x-x0
=
17
Vol.7,No.5
Sep.,2004
....................高等数学研究
STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
..收稿日期:
2002-11-13
lim
..(x)..u
0
f(..(x))-f(u0)
..(x)-u0
#lim
x..x
0
..(x)-..(x0)
x-x0
=f..(u0)#....(x0).
(2)如果....(x0)=0,则f..(u)|u=u
0
#....(x0)=0,此时也有[f(..(x))]..|x=x
0
=0。
证明..对任意!
>0,因为f(u)在u0处可导,所以f(u)在u0的某空心邻域有界,即存在
M>0与..>0,当u%..U(u0,..)时,|
f(u)-f(u0)
u-u0
|&M,即|f(u)-f(u0)|&M|u-u0|,此式对
u=u0也真,从而当u%U(u0,..)时,|f(u)-f(u0)|&M|u-u0|。
因为..(x)在x0可导,从而在
x0处连续,于是,对上面的..,存在.>0,当x%U(x0,.)时,有|..(x)-..(x0)|<..,于是当
x%U(x0,.)时,|f(..(x))-f(..(x0))|..M|..(x)-..(x0)|,从而|
f[..(x)]-f[..(x0)]
x-x0
|..
M|
..(x)-..(x0)
x-x0
|,所以lim
x..x
0
f(..(x))-f(..(x0))
x-x0
=0,即[f(..(x))]..|x=x
0
=f..(u)|u=u
0
....(x0)仍然成立。
(3)给出反例说明.u=..(x)-..(x0)在x0的任意邻域里都可以有零点。
事实上,取u=..(x)=
x
2
sin
1
x
x.0
0,....x=0
y=f(u)=eu,则..(x)在x=0处可导,f(u)在u0=
..(0)=0可导。
故y=f(u),u=..(x),即y=f(..(x))满足复合函数求导法则,因此,
[f(..(x))]..|x=0=lim
x..0
ex
2
sin
1
x-e0
x-0=(e
u
)..u=0#....(0)=1#0=0。
但此时我们不能把ex
2
sin
1
x-e0
x-0
写成
ex
2
sin
1
x-e0
x2sin1
x
-0
#
x2sin
1
x
-0
x-0
来求极限,因为在0的任意邻域中..(x)=x2sin
1
x
都有零点,这只需注
意sin2n.=0,n=1,2,(。
问题二
复合函数求导法则在特殊极限的求法中有何应用?
当x..0,如果p(x)..0,则未必有e
p(x)
-1~p(x),因为p(x)可以在0的任意邻域内存在零
点,因此当x..0我们固然有:
e-x
2
-1~-x2,esinx
2
-1~sinx2,etanx-1~tanx,但我们不能得出ex
2
sin1
x
-1~x2sin
1
x
因而使用等价无穷小的替代法则求得lim
x..0
ex
2
sin1
x-1
x
=lim
x..0
x
2
sin
1
x
x
=0是错误的,而
且我们也不能利用洛必达法则求此极限,因为分子求导后当x趋向0时无极限,但是利用复合函
数求导法则,我们可以方便地求得:
lim
x..0
ex
a
sin
1
x-1
x
=(eu)..|u=0(xasin
1
x
)..|x=0=0,这里u=
xasin1
x
x.0
0,....x=0
(a为大于1的正整数)。
一般地我们可得,只要lim
x..0
p(x)
x
存在,总有lim
x..0
ep(x)-1
x
=lim
x..0
p(x)
x
。
特别当p(x)=o(x)
时,有lim
x..0
e
p(x)
-1
x
=0。
事实上,这时lim
x..0
p(x)=lim
x..0
p(x)
x
#x=lim
x..0
p(x)
x
#lim
x..0
x=0,所以可定义
u(x)=
p(x),x.0,
0,x=0
此时u..(0)=lim
x..0
p(x)
x
存在,于是对复合函数f(u)=eu,u=
p(x),..x.0,
0,..x=0
可利用复合函数求导法则有(下转第22页)
18高等数学研究..............................2004年9月
注..我们不仅证明了an..1(n..)),而且证明了an.1时,1-an~
1
n
(n..)),即{an}收敛
于1的速度与{
1
n
}收敛于零的速度相同。
下面的问题均可利用本文结论给出证明,证明过程留给读者完成。
(1)设a1>0,m>1为自然数,an+1=
an
m
1+amn
n=1,2,(,证明:
lim
n..)
m
nan=1。
(2)设o . 2,xn+1= 2(1-cosxn) xn n=1,2,(,证明: lim n..)nx 2 n=6。 参考文献 [1]李成章,黄玉民.数学分析(上册).北京: 科学出版社,1999. [2]常庚哲,史济怀.数学分析教程(第一册).南京: 江苏教育出版社,1999. [3]孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法.长沙: 湖南科技出版社,1981. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京: 高等教育出版社,1993. [5]吴良森,等.数学分析习题精解.北京: 科学出版社,2002. [6]马振元.数学分析的方法与技巧选讲.兰州: 兰州大学出版社,1999. (上接第18页)..lim x..0 ep(x)-1 x =(e u )..|u=0#u..(0)=1#lim x..0 p(x) x =lim x..0 p(x) x 。 类似地我们也有lim x..0 (1+x2sin 1 x )a-1 x =0,lim x..0 ln(1+x2sin 1 x ) x =0,lim x..0 sin(x2sin 1 x ) x =0,等等。 但lim x..0 e xsin1 x-1 x 不存在, 因为取xn= 1 2n.,x..n= 1 2n.+ . 2 n=1,2,(时,lim n..)xn=0,lim n..)x..n=0,而lim n..) ex n sin 1 x n-1 xn =0,lim n..) ex.. n sin 1 x.. n-1 x..n =1。 此外,复合函数求导法则条件不满足时有下列结论: (a)y=f(u)在u0处不可导,而u=..(x)在x0处可导,u0=..(x0),则y=f(..(x))在x0处 可以可导也可以不可导。 (b)y=f(u)在u0处可导,而u=..(x)在x0处不可导,u0=..(x0),则y=f(..(x))在x0处 可以可导也可以不可导。 (c)y=f(u)在u0处不可导,u=..(x)在x0处不可导,u0=..(x0),则y=f(..(x))在x0处 可以可导也可以不可导。 以上三种情况的例子都比较容易举出来,此处不再赘述。 以上的叙述可以让学生对复合函数求导法则有一个直觉性的理解,因为lim .x..0 .y .x =lim .x..0 .y .u # .u .x =f..(u)#....(x)适用于大多数情况。 也可以使他们在解题中避免盲目地套用公式,从而可以提 高他们对复合函数求导法则内含的认识。 此外,本文顺便解决了征解问题: 证明当x..0时,ex 2 sin 1 x- 1是比x高阶的无穷小(见高等数学研究,Vo1.3,No..3,2000,p16)。 参考文献 [1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京: 高等教育出版社,1993. 22高等数学研究..............................2004年9月
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