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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合Ax|x1≥0,B0,1,2,则AIB
A.0B.1C.1,2D.0,1,2
2.1i2i
A.3iB.3iC.3iD.3i
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的
小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件
的俯视图可以是
4.若sin
1
,则cos2
3
8
7
7
8
A.
B.
C.
D.
9
9
9
9
1/11
5
5.x22
的展开式中x
4的系数为
x
A.10
B.20
C.40
D.80
6.直线xy
2
0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆x
2
2上,则
△ABP面积的取
2y2
值范围是
A.2,6
B.4,8
C.2,32
D.22,32
7.函数y
x4
x2
2的图像大致为
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设
X为该群体的10位
成员中使用移动支付的人数,DX
2.4,PX4
PX6,则p
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为
a2
b2
c2
4
,则C
π
π
π
D.
π
A.
B.
C.
6
2
3
4
10.设A,B,C,D是同一个半径为
4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为
93,则三棱
锥D
ABC体积的最大值为
2/11
A.123
B.183
C.243
D.543
2
2
11.设F1,F2是双曲线C:
x2
y2
1
(a0,b
0)的左、右焦点,
O是坐标原点.过
F2作C的一条渐
a
b
近线的垂线,垂足为
P.若PF1
6OP,则C的离心率为
A.
5
B.2
C.3
D.2
12.设a
log0.20.3,b
log20.3,则
A.abab0
B.aba
b0
C.ab0ab
D.ab
0
ab
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共20分。
13.已知向量a=1,2
,b=
2,2
,c=1,λ.若c∥
2a+b,则
________.
14.曲线y
ax
1ex在点
0,1
处的切线的斜率为
2,则a
________.
15.函数fx
π
在0
,π的零点个数为________.
cos3x
6
16.已知点M
1,1
和抛物线C:
y
2
4x,过C的焦点且斜率为
k的直线与C交于A,B两点.若
∠AMB
90
,则k________.
三、解答题:
共
70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答;第
22、23
题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共
60分。
17.(12分)
等比数列
an中,a11,a5
4a3.
(1)求
an
的通项公式;
(2)记Sn为an的前n项和.若Sm63,求m.
18.(12分)
某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为
比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种
生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
min)绘制了如
下茎叶图:
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(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?
并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据
(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
nad
2
附:
K2
bc
,
bcd
ac
a
bd
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12分)
如图,边长为
2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧
?
?
CD所在平面垂直,
M是CD上异于C,D的点.
(1)证明:
平面AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
20.(12分)
已知斜率为k的直线l与椭圆C:
x2
y2
1交于A,B两点,线段AB的中点为M
1,mm0.
4
3
(1)证明:
k
1;
2
uuur
uuur
uuur
uuuruuur
uuur
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP
FA
FB
0.证明:
FA,FP
,FB成等差数列,
并求该数列的公差.
4/11
21.(12分)
已知函数f
x
2x
ax2
ln1
x2x
.
(1)若a
0
,证明:
当
1
x
0时,f
x
0;当x
0时,fx
0;
(2)若x0是fx的极大值点,求a.
(二)选考题:
共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
x
cos,
0,
2且倾斜角为
在平面直角坐标系
xOy中,⊙O的参数方程为
(
为参数),过点
y
sin
的直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求的取值范围;学.科网
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
设函数fx2x1x1.
(1)画出yfx的图像;
(2)当x∈0,,fx≤axb,求ab的最小值.
5/11
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