CantorBernsteinSchroeder.docx
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CantorBernsteinSchroeder
康托尔-伯恩斯坦-施罗德(Cantor-Bernstein-Schroeder)定理是集合论中的一个基本定理。
该定理陈述说:
如果在集合A和B之间存在单射f :
A→B和g :
B→A,则存在一个双射h :
A→B.依据这两个集合的势,这意味着如果|A|≤|B|并且|B|≤|A|,则|A|=|B|,即A与B等势.显然,这是在基数排序中非常有用的特征.
证明:
令
并令
则对任意的a∈A定义映射
如果a不在集合C中,那么a不在集合C0中.因此由C0的定义可知a ∈ g[B].由于g是单射,他的逆映射g –1(a)存在.
接下来验证h :
A → B就是想要的双射.
∙满射:
对任何b ∈ B.如果b ∈ f[C],那么存在a ∈ C使得b = f(a).因此由h的定义可知b = h(a).如果b不属于f[C],定义a = g(b).由C0的定义知,a不属于C0.由于f[Cn]是f[C]的一个子集,因而b不属于任何一个f[Cn],所以由集合Cn的递归定义知,a = g(b)不属于Cn+1 =g[f[Cn]].因此,a不属于C.那么根据h的定义b =g –1(a) =h(a).
∙单射:
若h(a)=h(b),则有a∈C∧b∈C,a∉C∧b∉C,a∈C∧b∉C,a∉C∧b∈C四种情况,对于前两种情况,由f与g –1是单射得a=b,对于第三种情况,有f(a)=g –1(b)⇒g(f(a))=g(g –1(b))⇒g°f(a)=b,又由前提a∈C,而C在g°f下封闭,于是b∈C,但是由前提得b∉C,矛盾了,因此第三种情况不可能出现,同理第四种情况也不可能出现,这说明ran(f|C)∩ran(g –1|A\C)=∅。
综上若h(a)=h(b),一定有a=b。
在日常交流中,基数或量数是对应量词的“数”,例如在以下句子中的“一”及“四”:
“有一个橙,有四个柑”。
序数是对应排列的“数”,例如在以下句子中的“(第)一”及“(第)二”:
“这人一不会打字,二不懂速记,所以不可以做秘书”;“第二个人正在进来”。
在数学上,基数或势,即集合中包含的元素的“个数”(背景知识:
势的比较),是日常交流中基数的概念在数学上的精确化(并使之不再受限于有限情形)。
有限集合的基数,其意义与日常用语中的“基数”相同(见上段),例如{a,b,c}的基数是3。
无限集合的基数,其意义在于比较两个集的大小,例如整数集和分数集的基数相同,是以它们是一样大;整数集的基数比实数集的小;是以后者是比较大的集合。
历史
Aleph-0,最小的无限基数
康托尔在1874年~1884年引入最原始的集合论(现称朴素集合论)时,首次引入基数概念。
他最先考虑的是集合{1,2,3}和{2,3,4},它们并非相同,但有相同的基数。
骤眼看来,这是显而易见,但究竟可谓两个集合有相同数目的元素?
康托尔的答案,是所谓一一对应,即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到,两个集合的基数自然相同。
这答案,容易理解但却是革命性的,因为用相同的方法即可比较任意集合,包括无穷集合的大小。
最先被考虑的无穷集合是自然数集N={1,2,3,...}及其无限子集。
他把所有与N能一一对应的集为可数集。
大出康托尔意外,原来N的所有无限子集都能与N一一对应。
他把N的基数称为,是最少的艾礼富数。
康托尔发现,原来有理数集合与代数数集合也是可数的。
于是乎在1874年初,他尝试证明是否所有无限集合均是可数,稍后他得出著名的对角论证法,实数集是不可数的。
实数集的基数,记作c,代表连续统。
接着康托尔构作一个比一个大的集合,得出一个比一个大的基数,而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。
因此关于基数的一般理论,需要一个新的语言描述,这就是康托尔发明集合论的主因。
康托尔随后提出连续统假设:
c就是第二个超穷数,即継之后最小的基数。
多年后,数学家发现这假设是不能证明的,即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。
动机
在非形式使用中,基数就是通常被称为计数的东西。
它们同一于开始于0的自然数(就是0,1,2,...)。
计数严格的是可形式定义为有限基数的东西。
无限基数只出现在高级数学和逻辑中。
更加形式的说,非零数可以用于两个目的:
描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。
对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有精确的正好大小的集合,比如3描述'c'在序列<'a','b','c','d',...>中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合{a,b,c}。
但是在处理无限集合的时候,在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。
考虑位置示象(aspect)导致序数,而大小示象被这里描述的基数所普遍化。
在基数形式定义背后的直觉是构造一个集合的相对大小的概念而不提及它有那些成员。
对于有限集合这是容易的;你可以简单的计数一个集合的成员的数目。
为了比较更大集合的大小,必须借助更加微妙的概念。
一个集合Y是至少等大小于或大于等于一个集合X,如果有从X的元素到Y的元素的一个单射(一一映射)。
一一映射对集合X的每个元素确定了一个唯一的集合Y的元素。
这通过例子是最容易理解的;假设我们有集合X={1,2,3}和Y={a,b,c,d},则使用这个大小概念我们可以观察到有一个映射:
1→a
2→b
3→c
这是一对一的,因此结论出Y有大于等于X的势。
注意元素d没有元素映射到它,但这是允许的,因为我们只要求一一映射,而不必须是一对一并且完全的映射。
这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。
我们可以扩展这个概念到一个等式风格的关系。
两个集合X和Y被称为有相同的势,如果存在X和Y之间的双射。
通过Schroeder-Bernstein定理,这等价于有从X到Y和从Y到X的两个一一映射。
我们接着写为| X |=| Y |。
X的基数自身经常被定义为有着| a |=| X |的最小序数a。
这叫做冯·诺伊曼基数指派;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数一样的势;这个陈述就是良序原理。
然而有可能讨论集合的相对的势而不用明确的指派名字给对象。
在无限旅馆悖论也叫做希尔伯特大旅馆悖论中使用的经典例子。
假设你是有无限个房间的旅馆的主人。
旅馆客满,而又来了一个新客人。
有可能通过让在房间1的客人转移到房间2,房间2的客人转移到房间3以此类推,腾空房间1的方式安置这个新客人。
我们可以明确的写出这个映射的一个片段:
1↔2
2↔3
3↔4
...
n↔n+1
...
在这种方式下我们可以看出集合{1,2,3,...}和集合{2,3,4,...}有相同的势,因为已经展示了这两个集合之间的双射。
这激发了定义无限集合是有着相同的势的真子集的任何集合;在这个情况下{2,3,4,...}是{1,2,3,...}的真子集。
当我们考虑这些大对象的时候,我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。
碰巧不符合;通过考虑上面的例子,我们可以看到“比无限大一”某个对象存在,它必须有同我们起初的无限集合有一样的势。
有可能使用基于计数并依次考虑每个数的想法的叫做序数的不同的数的形式概念,而我们发现势和序(ordinality)的概念对于无限数是有分歧的。
可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。
这可以使用对角论证法来可视化;势的经典问题(比如连续统假设)关心发现在某一对无限基数之间是否有某个基数。
最近数学家已经描述了更大更大基数的性质。
因为基数是数学中如此常用的概念,使用了各种各样的名字。
势相同有时叫做等势、均势或等多(equipotence,equipollence,equinumerosity)。
因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent,equipollent,equinumerous)。
定义
首先,给出集合X和Y,我们称X的势比Y小,记作| X |≤| Y |,当且仅当存在由X到Y的单射。
我们称X的势与Y相等,记作| X |=| Y |,当且仅当存在由X到Y的双射(即一一对应)。
Cantor-Bernstein-Schroeder定理指出如果| X |≤| Y |及| Y |≤| X |则| X |=| Y |。
假设选择公理,所有集合都可良序,且对于所有集合X与Y,有| X |≤| Y |或| Y |≤| X |。
因此,我们可以定义序数,而集合X的基数则是与X等势的最小序数α。
(若不接受选择公理,我们也可对非良序集X定义基数,就是所有与X等势的集的阶中最小者。
)
有限集的基数
自然数的一种定义是0={},1={0},2={0,1},3={0,1,2},……,N={0,1,...,N-1}。
可以见到,与数N等势的集必有N个元素。
如集合{2,3,5}的基数为3。
以下是有限集的三个等价定义:
它与某自然数等势;它只有一个等势的序数,就是它的基数;它没有等势的真子集。
[无限集的基数
最小的无限集合是自然数集。
{1,2,3,4,…,n,…}与{2,4,6,8,…,2n,…}基数相同,因为可以让前一集合的n与后一集合的2n一一对应。
从这个例子可以看出,对于一个无穷集合来说,它可以和它的一个真子集有相同的基数。
以下是无限集的四个等价定义:
它不与任何自然数等势;它有超过一个等势的序数;它有至少一个真子集和它等势;存在由自然数集到它的单射。
基数算术
我们可在基数上定义若干算术运算,这是对自然数运算的推广。
给出集合X与Y,定义X+Y={(x,0):
x∈X}∪{(y,1):
y∈Y},则基数和是
|X|+|Y|=|X+Y|。
若X与Y不相交,则|X|+|Y|=|X∪Y|。
基数积是
|X||Y|=|X×Y|
其中X×Y是X和Y的笛卡儿积。
基数指数是
|X||Y|=|XY|
其中XY是所有由Y到X的函数的集合。
在有限集时,这些运算与自然数无异。
一般地,它们亦有普通算术运算的等质:
∙加法和乘法是可置换的,即|X|+|Y|=|Y|+|X|及|X||Y|=|Y||X|。
∙加法和乘法适合结合律,(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)及(|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)
∙分配律,即(|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|。
∙|X||Y|+|Z|=|X||Y||X||Z|
∙|X||Y||Z|=(|X||Y|)|Z|
∙(|X||Y|)|Z|=|X||Z||Y||Z|
无穷集合的加法及乘法(假设选择公理)非常简单。
若X与Y皆非空而其中之一为无限集,则
|X|+|Y|=|X||Y|=max{|X|,|Y|}.
注意2| X |是X的幂集之基数。
由对角论证法可知2| X |>| X |,是以并不存在最大的基数。
事实上,基数的类是真类。
还有些关于指数的有趣性质:
∙|X|0=1(很奇怪地00=1)。
∙0|Y|=0若Y非空。
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