高等几何试题及答案.docx
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高等几何试题及答案.docx
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高等几何试题及答案
系专业班学号姓名
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试卷类型:
A
高等几何
使用专业年级考试方式:
开卷()闭卷(√)共6页
题号
一
二
三
四
五
六
合计
得分
一、填空题(每小题4分,共20分)
1、设
(1),
(-1),
(
)为共线三点,则
。
2、写出德萨格定理的对偶命题:
。
3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1,则交比(ad,bc)=______。
4、平面上4个变换群,射影群,仿射群,相似群,正交群的大小关系为:
。
5、二次曲线的点坐标方程为
,则其线坐标方程为是。
二、选择题(每小题2分,共10分)
1.下列哪个图形是仿射不变图形?
()
A.圆B.直角三角形
C.矩形D.平行四边形
2.
表示()
A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点
C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点
D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点
3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成?
()
A.一次B.两次
C.三次D.四次
4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有():
A.三角形的垂心B.梯形
C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆
5.二次曲线按射影分类总共可分为()
A.4类B.5类
C.6类D.8类
三、判断题(每小题2分,共10分)
1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。
()
2.两直线能把射影平面分成两个区域。
()
3.当正负号任意选取时,齐次坐标
表示两个相异的点。
()
4.在一维射影变换中,若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件,则此
射影变换一定是对合。
()
5.配极变换是一种非奇线性对应。
()
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四、作图题(8分)
已知线束中三直线a,b,c,求作直线d,使(ab,cd)=-1。
(画图,写出作法过程和根据)
五、证明题(10分)
如图,设FGH是完全四点形ABCD对边三点形,过F的两直线TQ与SP分别交AB,BC,CD,DA于T,S,Q,P.试利用德萨格定理(或逆定理)证明:
TS与QP的交点M在直线GH上。
六、计算题(42分)
1.(6分)平面上经过A(-3,2)和B(6,1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点,求单比(ABP)
2.(6分)已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0,求
(1)l的齐次坐标方程;
(2)l上无穷远点的坐标;
(3)l上无穷远点的方程。
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3.(8分)在直线上取笛氏坐标为2,0,3的三点作为射影坐标系的P*,P0,E,(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系;(ii)问有没有一点,它的两种坐标相等?
4.(8分)求点列上的射影变换,它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点,并求出此射影变换的自对应元素的参数。
5.(6分)求由两个射影线束
,
,
所构成的二阶曲线的方程。
6.(8分)试求二次曲线Γ:
+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。
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一、填空题(每小题4分,共20分)
1、1(4分)
2、如果两个三线形对应边的交点在一条直线上,则对应顶点的连线交于一点。
(4分)
3、2(4分)
4、射影群包含仿射群,仿射群包含相似群,相似群包含正交群(4分)
5、
(4分)
二、选择题(每小题2分,共10分)
1.(D),2.(C),3.(B),4.(A),5.(B)
三、判断题(每小题2分,共10分)
1.(×),2.(√),3.(×),4.(√),5.(√)
四、作图题(8分)
第
1
页
共
4
页
作法过程:
1、设a,b,c交于点A,在c上任取一点C,(2分)
2、过C点作两直线分别与a交于B、E,与b交于F,D,(2分)
3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。
(2分)
根据:
完全四点形的调和共轭性(2分)
五、证明题(10分)
证明:
在三点形BTS与三点形DQP中(4分)
对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点,(2分)
由德萨格定理的逆定理知,(2分)
对应边的交点BT与DQ的交点G,TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线,即TS与QP的交点M在直线GH上。
(2分)
六、计算题(42分)
1.(6分)
解:
设P点的坐标为(x0,yo)
(分割比),(2分)
且P在直线x+3y-6=0上,
解得λ=1,(2分)
即P是AB中点,且(ABP)=-1(2分)
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1.(6分)
(1)
(2分)
(2)(1,1/2,0)(2分)
(3)
(2分)
2.(8分)
解:
笛氏坐标023x
射影坐标:
P*P0Eλ
(i)由定义λ=(P*P0,EP)=(20,3x)=
(4分)
(ii)若有一点它的两种坐标相等,即x=λ则有
,即3x2-7x=0,
∴当x=0及x=
时两种坐标相等。
(4分)
3.(8分)
设射影变换的方程为:
(2分)
由题意知:
a+
6a+3b+2c+d=0
得到:
故射影变换方程为:
(4分)
二重元素满足:
得
=7/3或
=1(2分)
(6分)
解:
由题意:
(2分)
由上式得:
(2分)
故所求方程即为
(2分)
6.(8分)
解:
二次曲线的齐次方程为:
x12+3x1x2-4x22+2x1x3-10x2x3=0,
∴二次曲线为常态的,
设中心
则中心为
(4分)
求渐近线方程:
a11X2+2a12XY+a22Y2=0,X=x-ξ,Y=y-η。
从X2+3XY-4Y2=0→(X+4Y)(X-Y)=0.
X+4Y=(x-
)+4(y+
)=0→5x+20y+18=0,(2分)
X-Y=(x-
)-(y+
)=0→5x-5y-8=0。
(2分)
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