圆锥曲线定点定直线问题.docx
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圆锥曲线定点定直线问题
全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解)
圆锥曲线定点定直线问题
、基础知识:
1、处理定点问题的思路:
(1)确定题目中的核心变量(此处设为k)
(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=O的联系,得到有关k与x,y的等式
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点(xo,yo),使得无论k的值如何
变化,等式恒成立。
此时要将关于k与x,y的等式进行变形,直至易于找到xo,yo。
常见的变形方向如下:
①若等式的形式为整式,则考虑将含k的项归在一组,变形为“k・()”
的形式,从而xo,yo只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k的分式,xo,yo的取值一方面可以考虑使其分子为0,
从而分式与分母的取值无关;或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式)
2、一些技巧与注意事项:
(1)面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定点(或定
直线)。
然后再验证该点(或该直线)对一般情况是否符合。
属于“先猜再证”。
(2)有些题目所求与定值无关,但是在条件中会隐藏定点,且该定点
通常是解题的关键条件。
所以当遇到含参数的方程时,要清楚该方程为一类曲线(或直线),从而观察这一类曲线是否过定点。
尤其在含参
数的直线方程中,要能够找到定点,抓住关键条件。
例如:
直线
l:
y=kx+k_1,就应该能够意识到y=k(x+1)_1,进而直线绕定点(-1-1)
旋转二、典型例题:
22
例1:
椭圆C:
笃+与=1(a》b>0)的离心率为丄,其左焦点到点P(2,1)的
ab2
距离为彳0
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若直线l:
y二kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),
且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。
求证:
直线I过定点,并求出该定点的坐标
解:
(1)e=C=l=a:
b:
c=2:
运:
1,设左焦点F'-c,。
)a2
/.PF1
=J(-c-2行(0-12=Tie,解得c=1
22
「•a=2,b=^/3「•椭圆方程为—=1
43
(2)由
(1)可知椭圆右顶点D(2,0)
设A(xi,yi),B(X2,y2以AB为直径的圆过D(2,0)
/.DA丄DB即DA丄DB二DADB=0
:
‘DA=(N—2,yi),dB=(X2—2』2)
二DaDB=(为—2仁—2)+丫$2=玄2-2(X1+x2)+4+%丫2=0①联立直线与椭圆方程:
fy=kx+m222
{22=(3+4k)x+8mkx+4(m-3)=0
3x2+4y2=12
2
8mk4(m-3)
「・X1+X2=—2,x1x^—2
124k2+3124k2+3
22
二%丫2=(kxj+mxkx2+m)=kx1x2+m^x 22 4k(m-3)8mkmk 4k^3-4k^3-^3^'代入到① DA.益竺二+2.輕+4+3m2严2=0 4k2+34k2+34k2+3 2222 4m—12+16mk+16k+12+3m—12k=0 4k2+3 二7m2+16mk+4k2=0=(7m+2k)(m+2k)=0 二m=—2k或m=-2k m=—2k时,l: y=kx—2k=kfx-2】/.I恒过(—,0'} 7'y7I7丿A丿 当m=-2k时,l: y=kx-2k=k(x-2)I恒过(2,0),但(20)为椭圆右顶 点,不符题意,故舍去 ”恒过即〕 22fG、 例2: 已知椭圆C: 笃+■y2=1(a>b>0)经过点i73,-— abI2丿 且椭圆的离心 (1)求椭圆的方程 (2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于A,C和 B,D,设线段AC,BD的中点分别为P,Q,求证: 直线PQ恒过一个定点 解: (1)"(二1/.a: b: ^2^73: 1 a2 22f 二出=1代入.爲,_ 4c3cI2丿 迟〕可得: 鸟异丄十c=1 4c243c2 22 .•.a=2,b=^二椭圆方程为1+^=1 43 (2)由 (1)可得: F(1,0) 当直线AC斜率不存在时,AC: x=1,BD: y=0 所以可得: P(1,0)Q(0,0)/.PQ为X轴 当AC斜率存在时,设AC: y=k(x—1'kh0,则BD: y—丄(x—1)k 设A(x,,yi),C(X2,y2),联立方程可得: P;k(xF)=(4k2+3)x2-8k2xtqk2七=0Qx2+4y2=12 8k2 /.Xr+X2=2 4k2+3 6k T"y-1)"2-1+宀2)-2k 4k2 "V4k^3'4k^3丿 同理,联立 八一知1),可得: * I22 Qx2+4y-12 〔T2 2 {1 41-- IVkJ -3k —3a Ik丿 f141-- Vk丿 3k 43k "Zk2+44+3k2丿 …kpQ—2 4k 4k2+34+3k2 7k 4(k2—1) 22 4k+33k+4 「•PQ的方程为: y- 3k 7k X— 4+3k24(k2-1)14+3k2丿 ,整理可得: 4yk2+(7x-4)k—4y=0=y^k2-4)+k(7x-4)=0 『_4 /-7时,直线方程对R均成立 [y=0 /.直线PQ恒过定点 (4,0 而AC斜率不存在时'直线PQ也过阿二直线PQ过定点p,0 V丿 22 例3: 如图,已知椭圆C: X2+牛=1(a: >b: >0)的左右焦点为F1,F2,其上顶 ab 点为A,已知LF1AF2是边长为2的正三角形 (1)求椭圆C的方程 (2)过点Q(Y0)任作一动直线I交椭圆C于M,N两点,记冷=ZqN,若在线段MN上取一点R使得MR=—xRN,试判 断当直线I运动时,点R是否在某一定直线上运 动? 若在,请求出该定直线;若不在请说明理 解: (1)由椭圆方程可得Fi(Y,0),F2(c,0),A(O,b) 叮F1AF2为边长是2的三角形 /.FF2=2=2c=2=C=1 OA=b=>/3 22 二a2=b2+c2=4 X丄y —=1 43 (2)设MN: y=k(x+4) 设M(Xi,yi),N(X2,y2),MQ=(/—Xi,—%=(X2+4,y2) 由詣」胡可得: —一苯 设R(xo,yo),贝JMR=(Xo—xi,yo—yi),R^=(X2—Xo,y? —y。 )由MR=-zRN可得: x0-X1=入(X2-X。 ) ax2 4+% X1+X2 (X2+4)2X1X2+4(X1+X2)① Xj+X2+8 1+牛 化+4) 联立方程组fx'S/T2,消去y整理可得: ly=k( X+4) (3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0 22 丄—32k64k-12 /■X1中X2=,X1X2=— 3+4k23+4k2 2 2•647+4 代入到①可得: X0=3顼2 —32k2+8 3+4k2 2 —32k-24 22 3+4k2_3+4k2__1~24- 3+4k2 /.R在定直线X=-1上 例4: 已知椭圆C的中心在坐标原点,左,右焦点分别为Fi,F2,P为椭 圆C上的动点,LpFiF2的面积最大值为73,以原点为中心,椭圆短半轴 长为半径的圆与直线3x-4y中5=0相切 (1)求椭圆的方程 (2)若直线I过定点(1,0)且与椭圆C交于A,B两点,点M是椭圆C的右 顶点,直线AM,BM分别与y轴交于P,Q两点,试问以线段PQ为直径的 圆是否过x轴上的定点? 若是,求出定点坐标;若不是,说明理由 解: (1)(S PFiF2max 1 尹2|b=bcw 因为圆与直线相切 |5 /.C=s/3 二a2=b2+c2=4 二椭圆方程为: y2=i ! 宀4宀4 ly=k(x—i) (2)当直线I的斜率存在时,设l: y=k(x-1),由椭圆方程可得点M(2,0) 设A(xi,yi),B(X2,y2),联立方程可得: (i+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0 22 丄8k4k-4 二Xi+X2=,XiX2=2 1+4k21+4k2 由M(2,0),A(xi,yi),B(X2,y2)可得: AM: y-2),BM: y=」^(x-2),分别令x=0,可得: Xi—2X2~2 / P0, 2yi Xi-2」 / Q0, 2y2 X2-2丿 ',设X轴上的定点为N(X0,0) 若PQ为直径的圆是否过MxnO),则PNQN=0 2yi : pN十,总严十, 二问题转化为X02+ =0恒成立 4yiy2 即x2+=0① x1X2-2(为+X2)+4 22 由X^X^^,XiX^1^及"“XT冋得: 22L—3k %丫2=k(X1—1〃2—1)=k[X1X2-(X1+X2)+1」=4k2+1 代入到①可得: 4-3k2 4”2 x2+—4^二一=0 4k2-4C8k2, —2+4 1+4k21+4k2 二Xo+12k=X2一3=0解得: X0=±734k 二圆过定点(±73,0) 当直线斜率不存在时,直线方程为x=1,可得PQ为直径的圆 X2+y2=3过点(±^/3,0) 所以以线段PQ为直径的圆过x轴上定点(±73,0)例5: 如图,在平面直角坐标系心中,离心率为¥的椭圆 22 。 : 于占十"0)的左顶点为A,过原点0的 直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点,当直线PQ 的斜率为耳时,IP (1)求椭圆C的标准方程 (2)试问以MN为直径的圆是否过定点(与PQ的斜率无关)? 请证明 你的结论解: (0由k卡可得: PQ: y耆x 二PL,—x0 I2J x0 由对称性可知: 1 OP=-pQ=73 2 X0 「•P(Ql)由 c e=- a =—可得a: b: c=V2: 1: 1 2 2 •••椭圆方程为命2 2 +当=1代入P(75,1),可得: b2=2,a2=4b 22 「•c△十壬=1 42 (2)设P(x0,y0)由对称性可知Q(-X0,-y。 ),由 (1)可知A-2,0) 设AP: y=k(x+2),联立直线与椭圆方程: 『严(: +2)=X2+2k2(x+22=4,整理可得: [x2+2y-4 (2k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0 2 »Ax0二寫解得: 2 x0二诙'代入y=k(x+2冋得: y。 =k 二kAQ 4kAP /2 「2—4k24k 2k2+1 0-PH I2k2+1丿 '2-4k2、 「2k2+1丿 1 二AQ: y=———(X+2), 2k f1) /.M(0,2k),NI0,— kk丿 -2- \2k2+1'2k2+1丿 4k =2k2+1=-8k22k 2k2+1 从而。 匚学: 厂斗〕 I2k2+12k2+1丿 因为M,N是直线PA,QA与y轴的交点 -以MN为直径的圆的圆心为卜穿〕’半径 2k2+1 2k 二圆方程为: X2+ 丄=\2^^],整理可得: I2k丿― x2+y2_g+2L(4Lx2+y2_g=2kI2k丿I2k丿k 所以令y=0,解得x=±72二以MN为直径的圆恒过(±72,0) 224 例6: 已知椭圆C: 冷+爲=1(a: >b: >0)的离心率为丄,以原点为圆心,椭 ab2 圆的短半轴长为半径的圆与直线X—y+屈=0相切,过点P(4,0)且不垂直 x轴的直线I与椭圆C相交于A,B两点 (1)求椭圆C的方程 (2)若B点关于x轴的对称点是E,求证: 直线AE与x轴相交于定点 解: (1)e仝」已知圆方程为: x2+y2=b2 a2 因为与直线相切心逅 ia-c=b=厂2 [a=2c[c=1 22 二椭圆C的方程为: 亍It1 (2)设直线l: y=k(x-4),A(xi,yi),B(X2,y2)”Eg-y? ) ix2y2 联立方程可得: 孑",消去y可得: [y=k(x-4) 222 3x2+4k2(x-4)=12 二(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0 全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解) 32k264k2-12 X1—X2X,-X2 考虑直线AE: kAE=y1-(-y2)=j^ 二直线AE的方程为: -1=芒mXf令y=0可得: -yi(Xi-X2)=(yi+丫2)(x-Xi) 二XM+X2yi=x(yi+y2) ,而y1=心-4),y2=k(X2-4), 代入可得: %水(%2-4)+x2k(x1—4)2x^2-4(Xj+X2) Xj+x2-8 X== k(X1-4)+k(X2-4) 22 冲入丄32k64k-12 彳代^入X1+X2=2,X1X2=2 4k2+34k2+3 22 C64k—12,32k 2「 可得: x=— _4”i~24 2^22 4k2+34k2+34k2+3_1 -3^-8 4k2+3 —24 4k2+3 二AE与X轴交于定点(1,0) 例7: 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 22 C: 仔+占=1(a》b>0)与直线ab l: x=m(m迂R),四个点(3,-1)(-2血,0),(-3,1),(-73,73)中有三个点在椭圆 C上,剩余一个点在直线I上 (1)求椭圆C的方程 (2)若动点P在直线I上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得 PM =PN|,再过P作直线l'丄MN,求证: 直线l'恒过定点,并求出该 定点的坐标 全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解) 解: (1)因为四个点中有三点在椭圆上,由椭圆的对称性可知: (3,一1)(一3,1)必在椭圆上 若(—272,0)在椭圆上,贝y为椭圆的左顶点。 但亠-2罷,所以与(-3,1)在椭圆上矛盾 梟)在椭圆上 —1「2la2b21甘=12 12+2“lb=4 la2b2—' 22 二椭圆方程为.+红=1 124 (2)依题意可得m=—2^2,|方程为: X=-2迈 : |PM1=1PN|且P,M,N共线 /.P为MN中点/.P在椭圆内部 设pzyo),因为5与椭圆交于Z一|呵卜运評] ;P为MN中点且|'丄MN于P/.1'为MN的中垂线 设M(N,yi),N(X2,y2) 亍22 124一1/221+1.22.c 22=石(X-X2)+4(y1-y2)=0 區十鱼=[124 l1241-(N-X2也你2)+3(%-y2Xyi中y2)=0 '/P为MN中点二X1+X2=-45/2,y七牡=2yo当yo工0时 .1,y1-y2X1+x22V2 「・kMN==—= N—X23(%+丫2)3y0 : T丄MNl': y-y0=-举(x+272)=y= 2J2 l'恒过乎〕 当yo=0时,直线MN: X=-2血 l为x轴,过F伴,0〕 •••无论P位于哪个位置,直线l恒过[伴0]例8已知圆Ci: (x+1)2+y2=8,点C2(1,0),点Q在圆G上运动,QC2的 垂直平分线交QCi于点P (1)求动点P的轨迹W的方程 (2)过S0,-且斜率为k的动直线I交曲线W于A,B两点,在y轴上是 I3丿 否存在定点D,使得以AB为直径的圆恒过这个点? 若存在,求出D的 坐标;若不存在,说明理由 解: (1)由图像可得: PG+PC2=PG +|pQ|TgQ=2^2 「•P点的轨迹为以Ci,C2为焦点的椭圆 a=V2,C=1”".b2=a2-c2=1 (2)设直线1°=©+! , 3 AkXV消去y可得: [x2+2—2 (2k2+1X+4kx-16=0 39 4k 二)1+X2=—2——,X1X2=—2—— 3(2k2+1)9(2k2+1) x2+2i;x+1】2 V3丿 =2,整理后可得: 16 设D(0,b),因为以AB为直径的圆过D点 TT 二DA丄DB二DA”DB=0 “TT -DA=(X1,y1—b),DB=(X2,y2—b) 二Da”DB=)^X2+(y1—bXy2—b)=X1X2+比丫2—b(y1+y2J+b2=0① f1Y1)211 2 —18k+1 9(2k2+1) 代入到①可得: 3(2k2+1)9(2k2+1)9(2k2+1) 3(2k2+1) 222 6k(b-1)+3b-2b-5-0 3(2k2+1) 所以只需: 6k2(b2-1)+3b2-2b-5=0 二6k2(b2-1)+(3b-5)(b+1)=0 (b+1)[6k2b-6k2+3b-5]=0可得b=T 所以存在定点(0,T) 全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解) A(Xi,y,),B(X2,y2),与椭圆方程联立可得: 例9已知椭圆C冷和圆©: 宀宀1,A,B,F分别为椭圆的左顶点,下顶点和右焦点 (1)点p是曲线C2上位于第二象限的一点,若Lapf的面积为*+丰, 求证: AP丄0P (2)点M,N分别是椭圆Ci和圆C2上位于y轴右 侧的动点,且直线BN的斜率是直线BM斜率的2 倍,求证: 直线MN恒过定点 A O I 解: (1)由椭圆可得A(-72,0)B(0,-1),F(1,0) 设P(xo,yo),由P在第二象限可得: XocO,yo〉O tLapf的面积为十乎 二SaPF=2|af 2 2+72 AF=1+72 •To乎,代入圆方程可得: Xo--2 「•P严厉 .•.A? =雲纠,0P=NQ .••TtOP-O.AP丄OP I22丿 (2)设直线BM的斜率为k,则直线BN的斜率为2k 二BM: y=kx+1BN: y=2kx+1,联立BM与椭圆方程: 厉+‘(1+21? )x2-4kx=0[y=kxT *=爲代入直线方程可得: 2k2-1 二y^2k^i 联立BN与圆方程: P-22 lx+y=122 <=(1+4k\x-4kx=0 jy=2kx-1s『 二Xn =£代入直线方程可得: 4k2—1 yN=冇 2k2-14k-1 _2k2+1~4k2+1~4k4k 1+2k2"1+4k2 AMN的方程为: 丫-空二一丄^-丄丄] 2k+12kI2k+1丿 二kMN (4k2-1怦2+1)-(4k2+1怦2-1)1 --2k 4k(2k2+1)-4k(4k2+1) 整理可得: —存+1 二直线MN恒过定点(0,1) 22 例10: 已知椭圆C计占 2=1(a: >b: >0)的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦 点重合,原点到过点A(a,0),B(0,-b)的直线距离是普1 (1)求椭圆C的方程 (2)设动直线I: y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,过f/乍PF1的 垂线与直线I交于点Q,求证: 点Q在定直线上,并求出定直线的方程解: (1)抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)c=1 直线AB的方程为: a十xbF卄0 ab ab [a2-b2*=1 lb2=3 二椭圆方程为 (2)因为直线I与椭圆相切 ry=kx+m 二联立直线与椭圆方程: {x2y2=(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0 l43' : A=64k2m2-4(4m2-12)(4k2+3)=0 二64k2m2-(64k2m2-192k2+48m2-144)=0 即4k2-m2 +3=0=m2=4k2+3 切点坐标 4kmXP__4k2+3 4km 4k y^kxp+m—生+m」 mm 4k+m 二kPF1 4k_1 m 4k+m 二FQ的方程为厂巡上卫以-1) 3 4k+m 联立FQI方程: {y=^P(x-〔I [y=kx+m 二(4k+mXX-1)=3(kx+m)=4kx+mx-4k-m=3kx+3m 二(k+m)x=4(k+m)解得x=4/.Q在X=4这条定直线上 全国名校高考数学优质学案专题汇编(附详解)
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