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三角函数的概念教学怎么引入
三角函数的概念教学怎么引入
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三角函数的概念教学怎么引入
这是三角函数的概念教学怎么引入,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。
三角函数的概念教学怎么引入第1篇
20XX年11月6日,在古朴优美的石室文庙校区,我们现场观摩了石室中学高一备课组江泓老师的《任意角的三角函数》一课。
课上江泓老师缜密的逻辑、简洁精炼的表达、以“问题串”驱动教学的授课模式和基于新课程改革指导下的教学设计,都让听课的老师眼前一亮,同时也引起了大家的热烈讨论。
以下我就本节课的评价与反思同大家进行分享。
本节课从整体上大致可划分为六大环节,分别是:
以筒车模型创设情境;利用弧度制学习经验感知概念;以函数定义初步形成概念;利用锐角三角函数深化概念;以类比方式推广概念;用具体实例应用概念。
每个环节之间教师以“问题串”的形式逐步进行课堂的推进,环环相扣,问题准确而有效。
最后从知识层面、学法层面、学科地位三个方面进行课堂小结。
课题引入部分江泓老师采用了学生实际生活中熟悉的筒车,引导学生研究旋转角度与筒车高度的关系,并且提出问题:
学生学过的函数模型中是否能够找到可以刻画筒车运动方式的函数?
学生熟悉的生活情境可以激发学生浓厚的学习兴趣,而所提问题引起的思维认知冲突,正是教学的切入点。
数学是客观世界的描述,生活中处处有数学,筒车运动模型我们也可以找到一个函数模型来描述,已经学习的基本初等函数无法描述这种运动的周期性,因此我们有进一步学习新的函数的必要性。
这样认知上的冲突,让学生对本节课的学习充满兴趣。
紧接着江老师请同学们回顾弧度制的算法,它是将几何的量转化成实数的一个例子,遵循着这样的研究方法,同学们去思考“旋转角α的终边与单位圆交点的纵坐标y之间是否具有函数关系?
”再进一步引导与锐角三角函数进行联系,得出任意角的正弦值的三角函数为彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思,并且结合单位圆研究这个函数的定义域和值域,实现了概念的重构。
这样形成定义的过程,从学生的最近发展区——弧度制的学习,学生原有经验——函数的定义出发,体现了新课改重视学生“三基三能”的基本教学理念。
然后进行了概念的推广,得到了任意角的余弦和正切,在之前研究的基础上,这两个概念的得出就显得很自然。
最后应用新知、解决问题,是对本节课内容的一次巩固和升华,江老师采用了两个角度进行练习——正向给定角求角的三角函数值,逆向求终边点所对应的角的三角函数值。
目的明确、直击问题本质,在练习中体现了本节课的教学的重点。
本节课引导学生发现问题、思考问题、解决问题,培养了学生数学抽象、数学运算能力,关注学生思维,让学生的数学素养得到了发展。
本节课《任意角的三角函数》作为新课改指导下的概念课,课程设计尊重并符合新课程的理念,让我们在教师强大、严谨的思维魅力下,在课堂的精心设计中,确实让观摩教师收获很大。
首先,本节课为我们提供了概念课教学的基本范式,1、用大量案例作为课堂的引入;2、启发学生用已有的数学语言进行描述;3、教师规范表达的数学语言;4、升华概念;5、对概念进行辨析;6、应用概念;7、结合已学知识进一步升华概念。
在新课程理念下,对于概念课的研究显得非常重要。
其次,对于数学核心素养的培养,是以概念课的教学过程和学生逐个解决问题作为载体的。
新颁布的《普通高中数学课程标准(20XX年版)》中明确指出:
“数学核心素养是数学课程目标的集中体现,是在数学学习的过程中逐步形成的。
而数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力。
高中阶段数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模和数据分析六个维度的核心素养,相互独立、互补和促进,在不同教学核心素养的培养侧重于学生的自主探究和体验,依赖于学生在实践中的思索、积累和感悟,而本节课中具有递进关系的“问题串”能有效促进学生积极参与数学教学过程。
通过解决一个又一个具体问题,学生学习抽象的知识,促进自身抽象思维的发展。
最后,本节课的教学模式与常规教学模式的差异体现新课改的教育理念。
以前对于本节概念课的处理是这样的教学模式:
彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思课堂引入,以初中学习的锐角三角形为背景辨析概念,确定锐角与点坐标的函数关系构建概念,将角推广到任意角升华概念,用角终边与单位圆交点定义任意角的三角函数。
本节课的教学模式为:
彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思课堂引入,以实际生活中的筒车为模型制造学习冲突,需要寻找新函数
彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思彭艳玲:
让核心素养的培养在概念教学中落地生长——《任意角的三角函数》课例的评价与反思构建概念,寻找角与点纵坐标的函数关系联系旧知,得到概念推广概念,得到任意角的三角函数应用概念。
可见本节课改变了传统任意角的三角函数概念课的授课方式,回到任意角的三角函数的本质,原来的锐角三角函数值只是为了解决三角形中几何关系而产生的,而任意角的三角函数是数量关系,是函数关系,从函数对应的角度出发更适合三角函数的本质。
总的来说,这一堂高质量的观摩课让我们收获满满,让核心素养的培养在概念教学中落地生长,我们也将在接下来的教学中也逐步尝试这样“不一样”的教学。
三角函数的概念教学怎么引入第2篇
设计的意图:
“任意角的三角函数的概念”的教学设计应注意通过与“锐角三角函数”概念的因袭与扩张关系,引导学生参与“定义任意角三角函数的过程”.有了适切的“立意”,借助怎样的载体来落实,也是一个值得细究的问题.那么,以“锐角三角函数的概念”作为任意角三角函数的知识生长点是否合适?
“锐角三角函数的概念”是以直角三角形为载体,关注的是“解决直角三角形的边角关系问题”,而对它的函数本性的认识并不是重点,锐角三角函数并没有被纳入函数概念体系中.因此,要使锐角三角函数概念成为教学的起点,还需要一个较长的过程铺垫:
回顾定义――坐标化(全新的学习)――“单位化”(取r=1,全新的学习),而且学生可能无法把任意角的三角函数的概念纳入到函数的概念中.
因此,还有一种想法是在函数概念下以“圆心在原点的圆周上的点的坐标”随角的变化而变化的“操作、观察”,先让学生建立起“任意给定一个角α,圆周上就有唯一的一个点P(x,y)与之对应”的直观感受,把注意力集中在三角函数的“函数特性”上,能使学生认清其对应关系、定义域和值域等,从而真正把握三角函数的“本来面目”.是否可以在“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”的思想指导下,以“如何建立圆周运动的数学模型”为教学起点,调动象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识,在建立函数模型的过程中水到渠成地引入任意角三角函数的概念.这样,既可以使学生知道这一概念的背景、解决的问题,也可以使他们感受运用函数概念建立模型的过程和方法,还可以让他们体会三角函数在物理学科中的重要性.如果这样的设计思想能够实现,那么其效果是一举多得的.以下为笔者在教学实践中对任意角的三角函数定义引入的微课设计.
一、教材分析
三角函数是函数的一个基本组成部分,也是一个重要组成部分,在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识.初中已经学习过锐角的三角函数,教材第一节学习了任意角的表示方法,这些是学习任意角三角函数的基础.本节课的主要内容是:
正弦、余弦、正切的定义;正弦、余弦、正切函数的定义域.
二、教学目标
理解任意角的三角函数的定义.
三、重点,难点
1.重点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义;
2.难点:
任意角的三角函数概念的建构过程;
四、教学情景设计
1.引入
我们初中已经学习了锐角三角函数,知道它是以锐角为自变量,
以比值为函数值的函数,那么高中为什么还要继续研究呢?
实例导入:
“离离原上草,一岁一枯荣.野火烧不尽,春风吹又生.”(王安石诗).诗中描绘的是自然界中“按一定规律周而复始”的现象,称之为“周期现象.”我们曾学习过用“指数函数”模型刻画人口增长问题,用“对数函数”的模型刻画地震的震级变化,用怎样的数学模型来刻画周期现象呢?
“周期现象一般与周期运动有关”,一个简单而基本的例子便是“圆周上的一点旋转运动”.
2.探究
情境――选择数学模型.
问题:
摩天轮的中心离地面高度为h0,它的直径为2r,逆时针方向匀速转动,转动一周需要360秒,若现在你坐在座舱中,从初始位置点A出发(如图1所示).
求人相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.
先从一个具体情境入手,例如过了30秒后,你离地面的高度如何计算?
答:
h=h0+rsin30°=h+MP.
再计算几个:
60秒时.答:
h=h0+rsin60°.
90秒时.答:
h=h0+rsin90°.
一般的,过了t秒呢?
猜想(愿望):
答:
ht=h0+rsint0.
“这样的想法合情,但合理吗?
”
(意图:
先从几个特殊情形出发,而后猜测一般性结论,再进行合理性论证!
)
总结:
人距离地面的高度h=h0+MP,其中h0是不变量,MP表示点P到水平位置OA的距离,是变量;可以通过点P旋转的角度∠POA的大小,再结合初中锐角三角函数来计算.
3.分析数学模型
问题:
对任意角∠POA;sin∠POA该如何定义?
对前面这个问题往下具体分析:
当时间为t秒时,人距离地面的高度用h=h0±MP来表示,其中MP表示点P到水平位置OA的距离.
对比:
h=h0±MP与ht=h0+rsint0.
愿望:
要想两者和谐统一.
必须有:
rsint0=±MP即:
sint0=±MP/r.
小结:
点P在圆周上旋转运动,引起∠POA的变化,对任意一个确定的∠POA对应着唯一点P,进而有唯一的MP,得到sin∠POA=±MP/r①.
提问一:
①式的分子何时取正值,何时取负值?
答:
OA上方为正,OA下方为负.
提问二:
根据①式这些特点,用怎样的一个量来替代MP或-MP,可以使上面的表示更简洁?
答:
建直角坐标系,利用P的纵坐标替代MP或-MP.
4.建构三角函数的定义
任意的角的正弦一种定义方法.
(1)把α“放到直角坐标系内”.
(2)以原点为圆心,半径r作圆,
又与α的终边相交于点P坐标为(x,y).
(3)规定:
sinα=yr.
5.分析:
以上规定是否合理?
问题一:
当α为锐角时,此规定与初中定义矛盾吗?
结论:
不矛盾,而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚.
问题二:
圆的半径r大小有限定吗?
结论:
根据相似三角形的知识,对于确定的角α,这个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变,是唯一确定的.
问题三:
半径r取多少时,会使得比值更加简洁?
结论:
可以考虑取r=1,这样的圆我们称单位圆.
即:
在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度1为半径的圆.
(意图:
可以打破知识结构的平衡,感受到学习新知识的必要性――角的范围扩大了,锐角三角函数也应该“与时俱进”,并不显得突然.把定义的主动权交给学生,引导学生参与定义过程发展思维.)
6.导出任意角的三角函数定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么,
y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;
x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;
yx叫做α的正切,记作tanα,即tanα=yxx≠0.
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.
7.归纳总结,注重渗透
本节课通过对实际问题的解决,学习了任意三角函数的概念.请同学们简要回顾探究过程.三角函数的定义可谓“看似平凡最崎岖.成如容易却艰辛.”(王安石诗).早期的三角学隶属于天文学,为了天文观测的需要,与古希腊几何有不可分割的联系.尽管三角知识起源较早,但在欧拉以前,人们对三角函数的研究大都在一个半径不定的圆内进行的,运用起来很不方便.直到欧拉时代,才令圆的半径为1,置角于单位圆中,把三角函数定义为相应的线段与圆半径1之比.教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的.欧拉用直角坐标来定义三角函数,彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题,使三角函数成为研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”.
(设计意图:
对教学内容进行归纳、疏理、提升.有意加强数学文化的熏陶,让学生在数学学习中寻求数学发展的历史轨迹,感受数学家们严谨治学和锲而不舍的探索创新精神,从而提升自身的文化素养和创新意识.)
三角函数的概念教学怎么引入第3篇
一、课前准备:
【自主梳理】
1.任意角
(1)角的概念的推广:
(2)终边相同的角:
2.弧度制:
弧度与角度的换算:
3.弧长公式:
扇形的面积公式:
4.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义
(2)三角函数在各象限内符号口诀是.
5.三角函数线
【自我检测】
1.度.
2.是第象限角.
3.在上与终边相同的角是.
4.角的终边过点,则.
5.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是.
6.若且则角是第象限角.
二、课堂活动:
【例1】填空题:
(1)若则为第象限角.
(2)已知是第三象限角,则是第象限角.
(3)角的终边与单位圆(圆心在原点,半径为的圆)交于第二象限的点,则.
(4)函数的值域为______________.
【例2】
(1)已知角的终边经过点且,求的值;
(2)为第二象限角,为其终边上一点,且求的值.
【例3】已知一扇形的'中心角是,所在圆的半径是.
(1)若求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值,当为多少弧度时,该扇形有最大面积.
课堂小结
三、课后作业
1.角是第四象限角,则是第象限角.
2.若,则角的终边在第象限.
3.已知角的终边上一点,则.
4.已知圆的周长为,是圆上两点,弧长为,则弧度.
5.若角的终边上有一点则的值为.
6.已知点落在角的终边上,且,则的值为.
7.有下列各式:
①②③④,其中为负值的序号为
8.在平面直角坐标系中,以轴为始边作锐角,它们的终边分别与单位圆相交于两点,已知两点的横坐标分别为,则.
9.若一扇形的周长为,则当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?
最大值是多少?
的正弦、余弦和正切值.
三角函数的概念教学怎么引入第4篇
教材:
角的概念的推广
目的:
要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程:
一、提出课题:
“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在,我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”,它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用,并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1.回忆:
初中是任何定义角的?
(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”
2.讲解:
“旋转”形成角(P4)
突出“旋转”注意:
“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于轴正半轴
3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法:
角或可以简记成4.由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。
1°角有正负之分如:
a=210°b=-150°g=-660°
2°角可以任意大
实例:
体操动作:
旋转2周(360°X2=720°)3周(360°X3=1080°)
3°还有零角一条射线,没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点,角的始边合于轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)
例如:
30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角
585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等
四、关于终边相同的角
1.观察:
390°,-330°角,它们的终边都与30°角的终边相同
2.终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和
390°=30°+360°-330°=30°-360°30°=30°+0X360°1470°=30°+4X360°-1770°=30°-5X360°3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合
即:
任何一个与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周角的和
4.例一(P5略)
五、小结:
1°角的概念的推广
用“旋转”定义角角的范围的扩大
2°“象限角”与“终边相同的角”
六、作业:
P7练习1、2、3、4
习题1.41
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 三角函数 概念 教学 怎么 引入