题型全归纳与高效训练突破专题62 等差数列及其前n项和解析版.docx

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题型全归纳与高效训练突破专题62等差数列及其前n项和解析版

题型全归纳与高效训练突破专题6.2等差数列及其前n项和（解析版）

6、2等差数列及其前n项和目录

一、题型全归纳1题型一等差数列基本量的计算1题型二

等差数列的判定与证明4题型三

等差数列性质的应用6类型一　等差数列项的性质的应用7类型二

等差数列前n项和性质的应用8题型四

等差数列前n项和的最值问题10

二、高效训练突破12

一、题型全归纳题型一等差数列基本量的计算

【题型要点】

1、等差数列的有关概念

（1）定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列、符号表示为an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）、

（2）等差中项：

数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项、2、等差数列的有关公式

（1）通项公式：

an＝a1＋（n－1）d、

（2）前n项和公式：

Sn＝na1＋d＝、3、等差数列运算问题的通性通法

（1）等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解、

（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题、　

4、等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元（注意此时数列的公差为2d）、

【例1】

已知等差数列{an}中，a1＋a4＝，a3＋a6＝，则公差d＝（

）

A、

B、

C、－

D、－

【答案】

D

【解析】

解法一：

由得解得故选

D、解法二：

由等差数列的性质知，a3＋a6＝（a1＋2d）＋（a4＋2d）＝（a1＋a4）＋4d＝，又a1＋a4＝，所以d＝－、故选

D、

【例2】

在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝（

）

A、－1

B、0

C、1

D、2

【答案】

C、

【解析】

XXXXX：

法一：

设{an}的公差为d（d≠0），由4a3＋a11－3a5＝10，得4（a1＋2d）＋（a1＋10d）－3（a1＋4d）＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以a4＝1，故选

C、法二：

设{an}的公差为d（d≠0），因为an＝am＋（n－m）d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4（a4－d）＋（a4＋7d）－3（a4＋d）＝10，整理得a4＝5，所以a4＝1，故选

C、法三：

由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1，故选

C、

【例3】

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则（

）

A、an＝2n－5

B、an＝3n－10

C、Sn＝2n2－8n

D、Sn＝n2－2n

【答案】

A

【解析】

法一：

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为所以解得所以an＝a1＋（n－1）d＝－3＋2（n－1）＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n、故选

A、法二：

设等差数列{an}的公差为d，因为所以解得选项A，a1＝21－5＝－3；选项B，a1＝31－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝－2＝－，排除

D、故选

A、题型二

等差数列的判定与证明

【题型要点】

判定数列{an}是等差数列的常用方法

（1）定义法：

对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数、见举例说明、

（2）等差中项法：

对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－

1、（3）通项公式法：

数列的通项公式an是n的一次函数、（4）前n项和公式法：

数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0、

【易错提醒】

XXXXX：

判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断、

【例1】

（2020河北衡水中学调研）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－

1、数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an、

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

数列为等差数列，并求{bn}的通项公式、【答案】见解析

【解析】

（1）当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－

1、因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1，所以an＝2n－

1、

（2）证明：

因为bn＋1－2bn＝8an，所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即－＝

2、又＝1，所以是首项为1，公差为2的等差数列、所以＝1＋2（n－1）＝2n－

1、所以bn＝（2n－1）2n、

【例2】

（2020贵州适应性考试）已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－（n＋1）an＝2n2＋2n、

（1）求a2，a3；

（2）证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式、【答案】见解析

【解析】

（1）由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝

6、由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝

15、

（2）由已知nan＋1－（n＋1）an＝2n2＋2n，得＝2，即－＝2，所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列、则＝1＋2（n－1）＝2n－1，所以an＝2n2－n、

【例3】

（2020沈阳模拟）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－

6、

（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；

（2）是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？

若存在，求出n；若不存在，请说明理由、【答案】见解析

【解析】

（1）设数列{an}的公差为d，则∴∴an＝4－6（n－1）＝10－6n，Sn＝na1＋d＝7n－3n

2、

（2）由

（1）知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7（n＋3）－3（n＋3）2＝－6n2－4n－6，2（Sn＋2＋2n）＝2（－3n2－5n＋2＋2n）＝－6n2－6n＋4，若存在正整数n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列、题型三

等差数列性质的应用

【题型要点】

1、等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和、

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）、

（2）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an、（3）若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d、（4）若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列、（5）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列、2、应用等差数列的性质解题的三个注意点

（1）如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*）、因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am（或其他项）有关的条件；若求am项，可由am＝（am－n＋am＋n）转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值、

（2）要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋（n－m）d，d＝，S2n－1＝（2n－1）an，Sn＝＝（n，m∈N*）等、（3）当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶（n－1）、类型一　等差数列项的性质的应用

【例1】

在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝（

）

A、－1

B、0

C、1

D、2

【答案】

C　

【解析】

通解：

设数列{an}的公差为d（d≠0），由4a3＋a11－3a5＝10，得4（a1＋2d）＋（a1＋10d）－3（a1＋4d）＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以a4＝1，故选

C、优解一：

设数列{an}的公差为d（d≠0），因为an＝am＋（n－m）d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4（a4－d）＋（a4＋7d）－3（a4＋d）＝10，整理得a4＝5，所以a4＝1，故选

C、优解二：

由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1，故选

C、

【例2】

等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（

）

A、20

B、22

C、24

D、－8

【答案】

C

【解析】

因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝

24、

【题后反思】

项的性质：

在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差、类型二

等差数列前n项和性质的应用

【例3】

在等差数列{an}中，a1＝－2018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2018的值等于（

）

A、－2018

B、－2016

C、－2019

D、－2017

【答案】

A

【解析】

（1）由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋（2018－1）1＝－2018＋2017＝－

1、　所以S2018＝－20

18、

【例4】

已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（

）

A、100

B、120

C、390

D、540

【答案】

A

【解析】

设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2（S20－S10）＝S10＋（S30－S20），又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，所以2（S20－30）＝30＋（210－S20），解得S20＝

100、

【例5】

（2020太原模拟）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为_______。

【答案】

5

【解析】

设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d、由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝

5、

【例6】

等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（

）

A、

B、

C、

D、【答案】A

【解析】

XXXXX：

、＝＝＝＝＝＝、

【题后反思】

和的性质：

（1）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；②S2n－1＝（2n－1）an；③是首项为a1，公差为的等差数列、　

（2）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；②若项数为2n－1，则S偶＝（n－1）an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝、（3）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝、题型四

等差数列前n项和的最值问题

【题型要点】

（1）等差数列前n项和的性质在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；②S2n－1＝（2n－1）an；③当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶（n－1）、

（2）求数列前n项和的最值的方法①通项法：

〈1〉若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；〈2〉若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定、②二次函数法：

等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，故可用二次函数求最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值、③不等式组法：

借助Sn最大时，有（n≥2，n∈N*），解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值（即Sn的最值）、

【例1】

（2020广东省七校联考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为（

）

A、5

B、6

C、7

D、8

【答案】

D

【解析】

法一：

设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选

D、法二：

设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得则Sn＝15n＋（－2）＝－（n－8）2＋64，所以当n＝8时，Sn取得最大值，故选

D、

【例2】

（xx北京高考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________、【答案】0－10

【解析】

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d、由S5＝（a1＋a5）＝2a3＝－10，得a3＝－2，∴d＝a3－a2＝－2－（－3）＝1，∴a1＝－3－1＝－4，∴a5＝a1＋4d＝－4＋4＝0、解法一：

∵a1＝－4，d＝1，∴Sn＝－4n＋1＝（n2－9n）＝－、∵n∈N*，∴当n＝4或5时，Sn取最小值，为S4＝S5＝－

10、解法二：

∵a1＝－4，d＝1，∴an＝－4＋（n－1）1＝n－

5、由an≤0得n≤5，且n＝5时，a5＝0，故当n＝4或5时，Sn取最小值，为S4＝S5＝＝－

10、

【例3】

（2020华中师范大学附中模拟）设数列{an}的前n项和为Sn＝32n（n∈N＋），数列{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，若b2＝a5，b10＝S3，则Tn取最大值时n＝________、【答案】17或18

【解析】

由已知得b2＝a5＝S5－S4＝325－324＝48，b10＝S3＝323＝

24、设等差数列{bn}的公差为d，则8d＝b10－b2＝－24，d＝－3，所以bn＝b2＋（n－2）d＝48－3（n－2）＝54－3n，所以当1≤n≤18时，bn≥0，当n≥19时，bn<0，所以Tn取最值时n＝17或

18、

二、高效训练突破

一、选择题

1、（2020长春市质量监测

（二））等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为（

）

A、2

B、3

C、4

D、6

【答案】

C、

【解析】

XXXXX：

由题意，知解得故选

C、2、（2020重庆市七校联合考试）在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝55，S3＝3，则a5等于（

）

A、5

B、6

C、7

D、9

【答案】

C、

【解析】

XXXXX：

设数列{an}的公差为d，因为数列{an}是等差数列，所以a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝55，所以a7＝11，又S3＝3，所以解得所以a5＝

7、故选

C、3、（2020湘赣四校联考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，则a6＝（）

A、16

B、13

C、－9

D、37

【答案】

A

【解析】

设等差数列{an}的公差为d、由S5＝5S2＋a4，得5a1＋d＝5（2a1＋d）＋（a1＋3d）、将a1＝1代入上式，得d＝

3、故a6＝a1＋5d＝1＋15＝

16、4、（2020届开封市高三定位考试）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为（

）

A、1

B、2

C、3

D、4

【答案】

B

【解析】

XXXXX：

解法一：

设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得故选

B、解法二：

设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝＝2（a1＋a5－d）＝2（10－d）＝16，所以d＝2，故选

B、5、（2020届沈阳质量监测）在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是（

）

A、55

B、11

C、50

D、60

【答案】

A

【解析】

XXXXX：

解法一：

设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2（a1＋6d）＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11（a1＋5d）＝115＝55，故选

A、解法二：

设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2（a6＋d）＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，故选

A、6、记Sn为等差数列{an}的前n项和、若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（

）

A、1

B、2

C、4

D、8

【答案】

C

【解析】

XXXXX：

、法一：

等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选

C、法二：

由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得即解得故选

C、7、等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（）

A、

B、

C、

D、【答案】A

【解析】

由题意得，＝＝＝＝＝＝、8、（xx南昌模拟）已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝（）

A、8

B、9

C、7或8

D、8或9

【答案】

D

【解析】

解法一：

由S5＝10a6，可得＝10（a1＋5d），解得a1＝－8d，所以Sn＝na1＋n（n－1）d＝、因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大、故选

D、解法二：

因为S5＝＝＝5a3，所以5a3＝10a6，所以5（a1＋2d）＝10（a1＋5d），化简可得a1＋8d＝0，即a9＝0、因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大、故选

D、9、（2020辽宁丹东质量测试

（一））我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”：

“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明、”意思是：

九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指

3、9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（

）

A、0、9升

B、1升

C、1、1升

D、2、1升

【答案】

B、

【解析】

XXXXX：

设竹筒从下到上的盛米量分别为a1，a2，…，a9，依题意得故即a2＋5d＋a2＋6d＝2a2＋11d＝

2、6＋11d＝

1、5，解得d＝－0、1，故a5＝a2＋3d＝

1、3－0、3＝1升、故选

B、

10、（2020石家庄市第一次模拟）已知函数f（x）的图象关于直线x＝－1对称，且f（x）在（－1，＋∞）上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），则数列{an}的前100项的和为（

）

A、－200

B、－100

C、－50

D、0

【答案】

B、

【解析】

XXXXX：

因为函数f（x）的图象关于直线x＝－1对称，又函数f（x）在（－1，＋∞）上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50（a50＋a51）＝－100，故选

B、

11、（xx辽宁省实验中学模拟）已知数列{an}满足3an＋1＝93an（n∈N*），且a2＋a4＋a6＝9，则log（a5＋a7＋a9）＝（）

A、－

B、3

C、－3

D、【答案】C

【解析】

由3an＋1＝93an（n∈N*），得3an＋1＝3an＋2，所以an＋1＝an＋2，所以数列{an}是等差数列，公差为

2、又a2＋a4＋a6＝3a1＋9d＝9，所以a1＝－

3、所以log（a5＋a7＋a9）＝log（3a1＋18d）＝log27＝－

3、故选

C、

12、（2020晋冀鲁豫名校期末联考）我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题：

今有等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？

则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两人所得金相差数额绝对值的最小值是（

）

A、斤

B、斤

C、斤

D、斤

【答案】

C、

【解析】

XXXXX：

设第n个人得金an斤，由题意可知{an}是等差数列，设公差为d，则有解得则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤、故选

C、

二、填空题

1、记Sn为等差数列{an}的前n项和、若a3＝5，a7＝13，则S10＝、【答案】XXXXX：

100

【解析】

XXXXX：

通解：

设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得所以S10＝101＋2＝

100、优解：

由题意，得公差d＝（a7－a3）＝2，所以a4＝a3＋d＝7，所以S10＝＝5（a4＋a7）＝

100、2、（2020武昌区调研考试）设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为、【答案】XXXXX：

an＝2n－1

【解析】

XXXXX：

设数列{an}的公差为d（d≠0），因为{an}是等差数列，S1，S2，S4成等比数列，所以（a1＋a2）2＝a1（a1＋a2＋a3＋a4），因为a3＝5，所以（5－2d＋5－d）2＝（5－2d）（5－2d＋15），解得d＝2或d＝0（舍去），所以5＝a1＋（3－1）2，即a1＝1，所以an＝2n－

1、3、（2020福建龙岩期末改编）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1（n∈N*），则a20的值为，S21的值为、【答案】XXXXX：

20　231

【解析】

XXXXX：

将n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1中得a2＝3－1＝

2、由an＋an＋1＝2n＋1①，得an＋1＋an＋2＝2n＋3②、②－①，得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则a21＝1＋102＝21，a20＝2＋92＝20，所以S21＝（a1＋a3＋a5＋…＋a21）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a20）＝＋＝2

31、4、（2020沈阳模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝xx，则m＝________、【答案】1010

【解析】

设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a2＝3（a1＋d）、又S3＝a5，则3（1＋d）＝1＋4d，解得d＝

2、所以am＝a1＋（m－1）d＝2m－1＝xx，解得m＝10

10、5、（2020安徽省淮南模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“精致数列”、已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为、【答案】XXXXX：

bn＝2n－1（n∈N*）

【解析】

XXXXX：

设等差数列{bn}的公差为d，由为常数，设＝k且b1＝1，得n＋n（n－1）d＝k，即2＋（n－1）d＝4k＋2k（2n－1）d，整理得（4k－1）dn＋（2k－1）（2－d）＝0、因为对任意正整数n，上式恒成立，所以解得d＝2，k＝，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1（n∈N*）、6、（2020揭阳摸底）已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝（n∈N*），则an＝________，数列{an}中最大项的值为________、【答案】

【解析】