大连理工大学至学年第一学期计算方法期末考试试题A.docx
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大连理工大学至学年第一学期计算方法期末考试试题A
大连理工大学2007至2008学年第一学期计算方法期末考试试题A
大连理工大学应用数学系
数学与应用数学专业2005级试卷
课程名称:
计算方法 授课院 (系):
应用数学系
考试日期:
2007年11 月 日 试卷共 6 页
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
标准分
42
8
15
15
15
5
/
/
/
/
100
得 分
一、填空(每一空2分,共42分)
1.为了减少运算次数,应将表达式.
改写为_______;
2.给定3个求积节点:
,
和
,则用复化梯形公式计算积分
求得的近似值为 ,
用Simpson公式求得的近似值为 。
1.设函数
,若当
时,满足
,则其可表示
为 。
4.已知
则
,
,逼近
的Newton插值多项式为 。
5.用于求
的根
的具有平方收敛的Newton迭代公式为:
。
6.已知
,则
的Jordan标准型是 ;
7.设
是
阶正规矩阵,则
;
8.求解一阶常微分方程初值问题
,
的向后(隐式)
Euler法的显式化的格式为:
。
9.设
12为
的近似值,且
,则
至少有
位有效数字;
10.将
,化为
的Householder矩阵为:
;
11.
;
12.用二分法求方程
在区间
内的根,进行一步后根所在区间为 ,进行二步后根所在区间为 。
13.若
为Newton-Cotes 求积公式,则
,若为Gauss型求积公式,则
。
14.设
,则在Schur分解
中,
可取为 。
15.设
,则
,
。
二、(8分)已知近似值
,
,
均为有效数字,试估计算术运算
的相对误差界。
三、(15分)设线性方程组:
(1)列主元消元法求出上述方程组的解,并计算
,
,
和
;
(2)试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛?
(3)请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式,并说明其收敛性。
四、(15分)对于如下求解一阶常微分方程初值问题
,
的数值方法
①证明其收敛性;求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间;
②要用此方法解
,
。
为使方法绝对稳定,求出步长
的取值范围并以
,
初值,
为步长,求出
的近似值
。
五、(15分)
(1) 用Schimidt正交化方法,构造
上以
权函数的正交多项式系:
,
,
,
;
(2)构造计算
具有5次代数精度的数值求积公式;
(3) 利用2)的结果求出
的数值解。
六、证明题(5分)任选一题
1.设
均为可逆矩阵,且齐次线性方程组
有非零解,证明:
对于
中的任何矩阵范数
,都有
。
2. 已知
,求出
,证明
收敛。
大连理工大学应用数学系
数学与应用数学专业2005级试A卷答案
课程名称:
计算方法 授课院 (系):
应用数学系
考试日期:
2007年11 月 日 试卷共 6 页
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
标准分
42
8
15
15
15
5
/
/
/
/
100
得 分
一、填空(每一空2分,共42分)
1.为了减少运算次数,应将表达式.
改写为
;
2.给定3个求积节点:
,
和
,则用复化梯形公式计算积分
求得的近似值为
,
用Simpson公式求得的近似值为
。
1.设函数
,若当
时,满足
,则其可表示
为
。
4.已知
则
6 ,
0 ,逼近
的Newton插值多项式为
。
5.用于求
的根
的具有平方收敛的Newton迭代公式为:
。
6.已知
,则
的Jordan标准型是
或
;
7.设
是
阶正规矩阵,则
;
8.求解一阶常微分方程初值问题
,
的向后(隐式)
Euler法的显式化的格式为:
。
9.设
12为
的近似值,且
,则
至少有
5 位有效数字;
10.将
,化为
的Householder矩阵为:
;
11.
;
12.用二分法求方程
在区间
内的根,进行一步后根所在区间为
,进行二步后根所在区间为
。
13.若
为Newton-Cotes 求积公式,则
,若为Gauss型求积公式,则
。
14.设
,则在Schur分解
中,
可取为
或
。
15.设
,则
。
二、(8分)已知近似值
,
,
均为有效数字,试估计算术运算
的相对误差界。
解:
由已知,
;
;
。
令
,
,
由函数运算的误差估计式
+
+
从而,相对误差可写成
﹟
三、(15分)设线性方程组:
(1)列主元消元法求出上述方程组的解,并利用得到的上三角矩阵计算出
(要有换元、消元过程);
(2)试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛?
(3)请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式,并说明其收敛性。
解:
(1)
故,
,
。
(2)由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足:
,则
,故
,从而Gauss-Seidel迭代法发散。
又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为:
,
,则
,故
,从而Jacobi迭代法发散。
(3)将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后,新的方程组的系数矩阵为:
是严格对角占有的,故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。
且新的方程组与原方程组同解。
Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为:
和
#
四、(15分)对于如下求解一阶常微分方程初值问题
,
的数值方法
①证明其收敛性;求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间;
②要用此方法解
,
。
为使方法绝对稳定,求出步长
的取值范围并以
,
初值,
为步长,求出
的近似值
。
解:
(1)注意,
,从而
故此为线性隐式二步三阶法,其局部截断误差主项为:
。
(2)令,
,得
,
,满足根条件;又方法阶
,故此差分格式收敛。
(3)又对于模型问题:
(
), 取
而要使得
的充要条件为:
而
自然成立。
现在再由
得
由
,可推出
,即
。
#
五、(15分)
(1) 用Schimidt正交化方法,构造
上以
权函数的正交多项式系:
,
,
,
;
(2)构造计算
具有5次代数精度的数值求积公式;
(3) 利用2)的结果求出
的数值解。
解:
由
,即应构造具有3个Gauss点的求积公式。
首先
构造3次正交多项式,令
+
;令
即得,
,得
,
取
,
,
,令
即得到方程组:
,
,
解之,得
,
,从而具有5次代数精度Gauss求积公式
(2)
,则有
六、证明题(5分)任选一题
1.设
均为可逆矩阵,且齐次线性方程组
有非零解,证明:
对于
中的任何矩阵范数
,都有
。
(1)由题意,可知矩阵
奇异。
故
奇异。
反证法,若存在某种范数
,使得
,则
,则可知
非奇异,与条件矛盾。
(2)由于
有非零解,故对
,取与向量
的范数相容的矩阵范数
,则由
得
。
#
2. 已知
,求出
,证明
收敛。
证明,
,由于
,而
级数
和
均收敛,有矩阵级数收敛定义可知,
收敛。
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