小学比例初步.docx
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小学比例初步
比例
1.比例:
是数量之间的对比关系,或指一种事物在整体中所占的分量。
在工作中还是技术制图中的一般规定术语,是指图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。
在数学中,比例是各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。
是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
2.要点
A.表示两个比相等的式子叫做比例,如3:
4=9:
12;7:
9=21:
27
比例有四个项,分别是两个内项和两个外项。
在3:
4=9:
12中,3与12叫做比例的外项,4与9叫做比例的内项。
在7:
9=21:
27中,7与27叫做比例的外项,9与21叫做比例的内项。
B.比例写成分数的形式后,那么,左边的分母和右边的分子是内项,左边的分子和右边的分母是外项。
在一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。
C.正比例与反比例的区别:
正比例:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中,相对应的两个数的比值一定,两种量就叫做正比例的量,他们的关系叫做正比例的关系。
如果用字母x、y表示两种关联的量,用k表示它们的比值正比例关系可以用下面是子表示:
y/x=k(一定)。
反比例:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中,相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做反比例的量他们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种关联的量,用k表示它们的乘积反比例关系可以用下面是子表示:
xy=k(一定)。
D.比和比例。
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。
比例分为比例尺和比例.表示两个比相等的式子叫做比例。
判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是不是相等。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这是比例的基本性质。
求比例的未知项,叫做解比例。
3.解比例
比例分为比例尺和比例.表示两个比相等的式子叫做比例。
判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是不是相等。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
求比例的未知项,叫做解比例。
解比例都是运用比例的基本性质来解的,因为两外项的积等于两内项的积,所以我们可以把两个外项和内项互相乘起来,在来解这个方程。
比如:
x:
3=9:
27
解法:
x:
3=9:
27
27x=3×9
27x=27
x=1
4.比例具有如下性质:
若a:
b=c:
d(b.d≠0),则有
1)ad=bc
2)b:
a=d:
c(a.c≠0)
3)a:
c=b:
d;c:
a=d:
b
4)(a+b):
b=(c+d):
d
5)a:
(a+b)=c:
(c+d)(a+b≠0,c+d≠0)
6)(a-b):
(a+b)=(c-d):
(c+d)(a+b≠0,c+d≠0)
证明过程如下:
令a:
b=c:
d=k,∴a=bk;c=dk
1)∴ad=bk×d=kbd;cb=dk×b=kbd
∴ad=bc
2)因:
a=bk,等号2边同除以ak,得出:
1/k=b/a
同理:
1/k=d/c,所以:
b:
a=d:
c(a.c≠0)。
3)因:
a=bk;c=dk,得:
a:
c=bk:
dk=b:
d;结合性质2有c:
a=d:
b
4)∵a:
b=c:
d
∴(a/b)+1=(c/d)+1(等号2边同加一个相等的数值不变)。
∴(a+b)/b=(c+d)/d=1+k;即(a+b):
b=(c+d):
d
a+b≠0,c+d≠0时,结合性质2有b:
(a+b)=d:
(c+d)
且b/(a+b)=d/(c+d)=1/(k+1)
5)∵b/(a+b)=d/(c+d)
∴1-b/(a+b)=1-d/(c+d)=1-1/(k+1)
∴a/(a+b)=c/(c+d)=k/k+1,即a:
(a+b)=c:
(c+d)
a+b≠0,c+d≠0时,结合性质2有(a+b):
a=(c+d):
c
6)结合4和5可得:
等式两边同时相减得(a-b)/(a+b)=(c-d)/(c+d)=(k-1)/(k+1)
5.例题:
一个长方形,比例为2:
3,长方形的面积是36平方厘米,求它的长和宽。
解:
设一份为X,则宽为2X,长为3X。
则由题意得,
2X·3X=36
6X2=36
X=±√6
∵长度不能为负数
∴X=√6
则宽为2√6,长为3√6。
答:
长方形的宽为2√6,长为3√6。
也可设:
宽:
长=2/3,得出宽=2/3×长
(2/3×长)×长=36
长×长=36÷(2/3)
=54再开方就可。
6.统计术语
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,通常反映总体的构成和结构。
假定总体中数量N,被分成K个部分,每一部分的数量分别是“N1,N2,...,Nk”,根据定义各个部分的和等于1,即
N1/N+N2/N+...+Nk/N=1
比例是将总体中各个部分的数值都变成同一个基数,也就是都以1为基数,这样就可以对不同类别的数值进行比较了。
将比例乘以100就是百分率、百分比或百分数,即将对比的基数抽象化为100而计算出来的,用%表示,它表示每100个分母中拥有多少个分子。
7.工程术语
在工程制图中指图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。
比例可分为三种:
(1)原值比例,比值为1的比例,即1:
1;
(2)放大比例,比值大于1的比例,如2:
1等;
(3)缩小比例,比值小于1的比例,如1:
2等。
比例的标注方法:
(1)比例符号应以“:
”表示。
比例的表示方法如1:
1、1:
50、20:
1等,应标在两数中间;
(2)比例一般应标注在标题栏中的比例栏内。
选择比例的原则:
(1)当表达对象的形状复杂程度和尺寸适中时,一般采用原值比例1:
1绘制;
(2)当表达对象的尺寸较大时应采用缩小比例,但要保证复杂部位清晰可读;
(3)当表达对象的尺寸较小时应采用放大比例,使各部位清晰可读;
(4)选择比例时,应结合幅面尺寸选择,综合考虑其最佳表达效果和图面的审美观点。
比例尺
比例尺:
比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度,因此也叫缩尺。
用公式表示为:
比例尺=图上距离/实地距离。
1.基本介绍
比例尺是表示图上距离比实地距离缩小或扩大的程度。
公式为:
比例尺=图上距离:
实际距离。
比例尺有三种表示方法:
数字式,线段式,和文字式。
三种表示方法可以互换。
根据地图的用途,所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况,制图选用的比例尺有大有小。
地图比例尺中,通常大于二十万分之一的地图称为大比例尺地图;比例尺介于二十万分之一至一百万分之一之间的地图,称为中比例尺地图;比例尺小于一百万分之一的地图,称为小比例尺地图。
在同样图幅上,比例尺越大,地图所表示的范围越小,图内表示的内容越详细,精度越高;比例尺越小,地图上所表示的范围越大,反映的内容越简略,精确度越低。
一般讲,大比例尺地图,内容详细,几何精度高,可用于图上测量。
小比例尺地图,内容概括性强,不宜于进行图上测量。
2.表示方法
三棱比例尺
用公式表示为:
比例尺=图上距离/实际距离。
比例尺通常有三种表示方法。
(1)数字式,用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。
例如地图上1厘米代表实地距离500千米,可写成:
1∶50,000,000或写成:
1/50,000,000。
(2)线段式,在地图上画一条线段,并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
(3)文字式,在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米,如:
图上1厘米相当于地面距离500千米,或五千万分之一。
三种表示方法可以互换。
必须划单位。
在绘制地图和其他平面图的时候,需要把实际距离按一定的比缩小(或扩大),再画在图纸上。
这时,就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。
一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
图上距离:
实际距离=比例尺或=图上距离/实际距离
3.比例尺的使用
根据地图上的比例尺,可以量算图上两地之间的实地距离;根据两地的实际距离和比例尺,可计算两地的图上距离;根据两地的图上距离和实际距离,可以计算比例尺。
根据地图的用途,所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况,制图选用的比例尺有大有小。
地图比例尺中的分子通常为1,分母越大,比例尺就越小。
通常比例尺大于十万分之一的地图称为大比例尺地图;比例尺介于十万分之一至一百万分之一之间的地图,称为中比例尺地图;比例尺小于百万分之一的地图,称为小比例尺地图。
在同样图幅上,比例尺越大,地图所表示的范围越小,图内表示的内容越详细,精度越高;比例尺越小,地图上所表示的范围越大,反映的内容越简略,精确度越低。
(此可简记为“大小详、小大略”方便应用)地理课本和中学生使用的地图册中的地图,多数属于小比例尺地图。
4.放大比例尺
放大比例尺和地图比例尺的计算方法相同。
但放大比例尺是指图上距离比实际距离放大的倍数。
如:
原长度为1cm的零件,画在图纸上为10cm,则这幅图的比例尺为10:
1。
放大比例尺的分母(后项)通常为1。
分子越大,比例尺就越大,内容也越详细,精度越高。
5.缩小比例尺
缩小比例尺的分子(前项)通常为1。
如:
1:
100(1/100)
6.计算方法
如果将原比例尺放大到n倍,那么原比例*n。
如果将原比例尺放大n倍;那么原比例*(n+1)。
如果将原比例尺缩小到1/n;那么原比例*1/n。
如果将原比例尺缩小1/n;那么原比例*(1-1/n)。
比例尺缩放后,原面积之比会变为缩放倍数的平方。
正反比例
1正比例:
路程一定,速度和时间成反比例
2速度一定,路程和时间成正比例
3时间一定,路程和速度成正比例
4工作总量一定,工效和时间成反比例
5工效一定,工作总量和时间成正比例
6时间一定,工作总量和工效成正比例
7总价一定,单价和数量成反比例
8单价一定,总价和数量成正比例
9数量一定,总价和单价成正比例
10总产量一定,单产量和数量成反比例
11单产量一定,总产量和数量成正比例
12数量一定,总产量和单产量成正比例
13煤的总量一定,每天的烧煤量和烧的天数成反比
14长方形面积一定,它的长和宽成反比
15树的总棵数一定,每行种的棵数与行数成反比
16每天看书页数一定,天数和看书的总页数成正比
17分数的值大小一定,这个分数的分子与分成正比
18单价一定,数量和总价成正比
19正方形的边长和它的面积成正比
20工作时间一定,工作效率和工作总量成正比
21路程一定,速度和时间成反比
22一堆货物一定,运出的和剩下的成反比
23煤的总量一定,每天的烧煤量和烧的天数成反比
24长方形面积一定,它的长和宽成反比
25树的总棵数一定,每行种的棵数与行数成反比
26反比例:
1.百米赛跑,路程100米不变,速度和时间是反比例;
27排队做操,总人数不变,排队的行数和每行的人数是反比例;
28做纸盒子,总个数一定,每人做的个数和人数成反比例;
29买东西(实际就用文具用品),总钱数一定,它的单价和数量是反比例;
30长方形的面积一定,长和宽是反比例;
31长方体的体积一定,底面积和高是反比例。
32等分一块蛋糕,每人分到的蛋糕与人数成反比例。
33总价一定,单价与数量成反比例.
34长方体体积一定,底面积与高成反比例
35总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例
36当三角形的底一定时,面积和高成正比例
37当三角形的高一定时,面积和底成正比例
38当三角形的面积一定时,底和高成反比例
39当平行四边形的面积一定时,底和高成反比例
40当平行四边形的高一定时,面积和底成正比例
41当平行四边形的底一定时,面积和高成正比
42用大豆榨油时,出油率一定时,油的重量和大豆的重量反比例
43大豆的重量一定,油的重量和出油率正比例
44油的重量一定时,大豆的重量和出油率正比例
45分数值一定,分子和分母反比例
46分母一定,分数值和分子正比例
47分子一定,分数值和分母正比例
48前项一定,比的后项和比值反比例
49比值一定,比的前项和后项正比例
50后项一定,比的前项和比值正比例
正比例和反比例
一.正比例
1.用文字来描述:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系,正比例的图像是一条射线
2、用字母表示:
如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以用以下关系式表示:
x÷y=k(一定)还可表示为:
x=ky
3、正比例关系两种相关联的量的变化规律:
同时扩大,同时缩小,比值不变.
例如:
汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例?
以上各种商都是一定的,那么被除数和除数所表示的两种相关联的量,成正比例关系.
4.注意:
在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量,虽然也是一种量,随着另一种的变化而变化,但它们相对应的两个数的比值不一定,它们就不能成正比例.例如:
一个人的年龄和它的体重,就不能成正比关系,正方形的边长和它的面积也不成正比例关系.行驶的路程和时间是成比例的量。
二.反比例
1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系.
2.如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的积,(一定)反比例关系可以用下面关系式表示:
x×y=k(一定)
3.反比例关系是通过应用题的总数与份数关系帮助学生认识的。
在总数与份数关系中,包含总数、份数和每份数。
当总数一定时,每份数和份数是两种相关联的变量。
如果每份数变化,份数也随着变化。
同样如果份数变化,每份数也随着变化。
它们的变化,无论扩大还是缩小,相对应的两个量的乘积(也就是总数)一定。
具体说,当总数一定时,每份数(或份数)扩大或缩小若干倍,份数(或每份数)反而缩小或扩大相同的倍数。
简称为“一扩一缩(或一缩一扩)”。
具备这种变化关系的每份数和份数成反比例关系。
反比例关系在典型应用题中属于归总问题。
反映在除法中,当被除数一定,除数和商成反比例关系。
在分数中,当分数的分子一定,分母与分数值成反比例关系。
在比例中,比的前项一定,比的后项与比值成反比例关系。
如果再把总数与份数关系具体化为:
在购物问题中,总价一定,单价和数量成反比例关系。
在行程问题中,路程一定,速度和时间成反比例关系。
在做工问题中,工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例关系。
如果两种量成反比例,那么一种量的任意两个数的比,等于另一种量的两个对应数的反比。
如,加工零件的总数一定,是600个。
如果每小时加工10个,60个小时完成任务。
如果每小时加工20个,30个小时完成任务。
每小时加工数量的比1∶2,与它相对应的完成时间比是2∶1。
2∶1是1∶2的反比。
4.分析反比例的意义
成反比例的量包括三个数量,一个定量和两个变量。
研究两个变量之间的扩大(或缩小)的变化关系。
一种量发生变化,引起另一种量发生相反的变化。
这两种量是反比例的量,它们的关系成反比例关系。
5.成反比例的量
前提:
两种相关的量(乘法关系)
要求:
一个量变化,另一个量也随着变化,并且,这两个量中相对应的两个数的乘积一定。
结论:
这两个量就叫做反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
6.字母表示法:
设x与y是两个相关的量(具有相乘的关系),k是x与y的乘积(k一定),即:
x*y=k(一定)接着用字母x、y表示两种相关联的量,把正比例关系进一步抽象概括成=k(一定)。
三.正比例和反比例
相同点:
①正比例和反比例都含有三个数量,在这三个数量中,均有一个定量、两个变量。
②在正、反比例的两个变量中,均是一个量变化,另一个量也随之变化。
并且变化方式均属于扩大(乘以一个数)或缩小(除以一个数)若干倍的变化。
不同点:
正比例的定量是两个变量中相对应的两个数的比值。
反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。
②正比例的图像时上升直线;反比例是曲线。
③公式不同:
正比例是(x/y=k(一定)),反比例是(xy=k(一定))。
④规律不同:
正比例是一个数缩小,另一个数也缩小,一个数扩大,另一个数也扩大;反比例是一个数缩小,另一个数就扩大,一个数扩大另一个数就缩小。
四.正反比例之间的相互转化
当正比例中的x值(自变量的值),转化为它的倒数时,由正比例转化为反比例;当反比例中的x值(自变量的值)也转化为它的倒数时,由反比例转化为正比例。
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