广东省肇庆市高二上学期期末考试数学理试题.docx
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广东省肇庆市高二上学期期末考试数学理试题
试卷类型:
A
广东省肇庆市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题
本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区)、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用2B铅笔将准考证号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
参考公式:
球的体积公式:
,球的表面积公式:
,其中R为球的半径
锥体的体积公式:
,其中为底面积,是高.
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“,”的否定是
A.,B.,
C.,D.,
2.双曲线的离心率
A.B.C.D.
3.某四棱锥的三视图,如图1所示(单位:
cm),
则该四棱锥的体积是
A.B.C.D.
4.设命题p:
直线的倾斜角为135;命题q:
直角坐标平面内的三点A(-1,-3),B(1,1),C(2,2)共线.则下列判断正确的是
A.为假 B.为真 C.为真 D.为真
5.点P在圆:
上,点Q在圆:
上,则的最大值是
A.8B.5C.3D.2
6.已知直线与平面,则下列四个命题中假命题是
A.如果,那么B.如果,那么
C.如果,那么D.如果,那么
7.已知双曲线与抛物线有公共的焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的标准方程为
A.B.C.D.
8.已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,满分30分.
9.抛物线的焦点到它的准线的距离等于▲.
10.若,,三点共线,
则=▲.
11.过点且与有相同焦点的
椭圆的方程是▲.
12.过点且与圆相切的
切线方程是▲.
13.一个空间几何体的三视图如图2所示,则该
几何体的体积等于▲.
14.如图,四边形ABED内接于⊙O,AB∥DE,
AC切⊙O于A,交ED延长线于C.若,
,则▲.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,有三个点的坐标分别是
.
(1)证明:
A,B,C三点不共线;
(2)求过A,B的中点且与直线平行的直线方程;
(3)设过C且与AB所在的直线垂直的直线为,求与两坐标轴围成的三角形的面积.
16.(本小题满分13分)
如图4,在正四面体中,分别是棱的中点.
(1)求证:
四边形是平行四边形;
(2)求证:
平面;
(3)求证:
平面.
17.(本小题满分13分)
如图5,已知点是圆心为半径为1的半圆弧上从点数起的第一个三等分点,是直径,,平面,点是的中点.
(1)求二面角的余弦值.
(2)求点到平面的距离.
18.(本小题满分14分)
已知动点M到点的距离等于M到点的距离的倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若直线与轨迹C没有交点,求的取值范围;
(3)已知圆
与轨迹C相交于两点,求.
19.(本小题满分14分)
如图6,边长为4的正方形中,点分别是上的点,将折起,使两点重合于.
(1)求证:
;
(2)当时,
求四棱锥的体积.
20.(本小题满分14分)
设椭圆
的离心率为,其左焦点与抛物线的焦点相同.
(1)求此椭圆的方程;
(2)若过此椭圆的右焦点的直线与曲线只有一个交点,则
①求直线的方程;
②椭圆上是否存在点,使得,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.
2014—2015学年第一学期统一检测题
高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
A
C
A
B
二、填空题
9.10.011.
12.和(答对一个给3分)13.38414.2
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15.(本小题满分12分)
解:
(1)∵,(1分)
,(2分)
∴,(3分)
∴三点不共线.(4分)
(2)∵的中点坐标为,(5分)
直线的斜率,(6分)
所以满足条件的直线方程为,即为所求.(8分)
(3)∵,∴与AB所在直线垂直的直线的斜率为,(9分)
所以满足条件的直线的方程为,即.(10分)
因为直线在轴上的截距分别为4和,(11分)
所以与两坐标轴围成的三角形的面积为.(12分)
16.(本小题满分13分)
证明:
(1)∵分别是棱的中点,
∴,且
,(2分)
∴且,(3分)
∴四边形是平行四边形.(4分)
(2)由
(1)知,,(5分)
且平面,平面,(7分)
∴平面.(8分)
(3)∵是正四面体,
所以它的四个面是全等的等边三角形.(9分)
∵H是BC的中点,
∴.(11分)
又SH平面SAH,AH平面SAH,且,(12分)
∴平面.(13分)
17.(本小题满分13分)
解:
(1)∵是圆心为半径为1的半圆弧上
从点数起的第一个三等分点,∴∠AOC=60,
∴是等边三角形,∴.(1分)
∵C是圆周上的点,AB是直径,∴,∴
(2分)
又平面,∴两两垂直.以点为坐标原点,、、分别为、、轴的正向,建立空间直角坐标系,则,,,,,,(3分)
于是,,,.(4分)
设为平面的法向量,为平面的法向量,
,
,取得.(5分)
,
,
取得.(6分)
,(7分)
因此,二面角的余弦值是.(8分)
(2)方法一:
由
(1)知
(9分)
设为平面的法向量,则
,即
,取得.(10分)
设向量和所成的角为,则
(12分)
设点到平面的距离为,则
.(13分)
方法二:
由
(1)知,
因为直线平面,所以,,,
于是,
,
.
因为,点是的中点,所以.(9分)
因此,
,(10分)
从而,
,(11分)
.(12分)
因为,,设点到平面的距离为,则有
,即,于是,.(13分)
18.(本小题满分14分)
解:
(1)设,则
,(2分)
整理得,即动点M的轨迹C的方程为.(4分)
(2)由,消去并化简得
(6分)
因为直线与轨迹C没有交点,所以
(8分)
即,解得.(9分)
(3)圆
的圆心坐标为,半径(10分)
由
得这就是AB所在的直线方程,(11分)
又圆心到直线AB的距离
,(13分)
所以
.(14分)
或:
AB所在的直线方程与的交点坐标为,(13分)
所以
(14分)
19.(本小题满分14分)
证明:
(1)折起前,
折起后,.(2分)
∵,∴平面,(4分)
∵平面,∴.(6分)
(2)当时,由
(1)可得平面.(7分)
此时,,
.(8分)
的高为
(9分)
∴
(10分)
∴
(11分)
∵
(12分)
设点P到平面的距离为,则
∵,∴解得(13分)
∴四棱锥的体积
(14分)
20.(本小题满分14分)
解:
(1)抛物线的焦点为,
所以.(1分)
由,得,(2分)
所以(3分)
因此,所求椭圆的方程为(*)(4分)
(2)①椭圆的右焦点为,过点与轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为.(5分)
当时,则直线过点且与曲线只有一个交点,此时直线的方程为;(6分)
当时,因直线过点,故可设其方程为,将其代入消去,得
.
因为直线与曲线只有一个交点,所以判别式
,于是,即直线的方程为或.(7分)
因此,所求的直线的方程为或或.(8分)
②由①可求出点的坐标是或或.
当点的坐标为时,则.于是=,从而,代入(*)式联立:
或
,求得,此时满足条件的点有4个
.(10分)
当点的坐标为,则,点到直线:
的距离是,于是有
,
从而,与(*)式联立:
或
解之,可求出满足条件的点有4个
,
,,.(12分)
当点的坐标为,则,点到直线的距离是,于是有
,
从而,与(*)式联立:
或
,
解之,可求出满足条件的点有4个
,
,.(14分)
综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.
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- 广东省 肇庆市 高二上 学期 期末考试 学理 试题