高教社杯全国大学生数学建模竞赛.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛选拔赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
911
参赛队员(打印并签名):
1.张康莉
2.杨冉冉
3.万祖娟
日期:
2012年6月4日
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
题目:
面试问题的数学模型
摘要
“公务员报考热”成为社会舆论关注的热门话题。
几乎所有的国家机关和各省、市政府机关,以及公共事业单位都公开面向社会招聘公务员或工作人员,尤其是面向大中专院校的毕业生活动非常普遍。
一般都采取“初试+面试”的择优录取方法。
特别是面试,在招聘录取工作中占有突出地位。
因此研究如何选择打分专家,如何根据专家的打分情况对面试者录取具有重要意义。
本文中根据附表给出的调查数据,通过调查大量文献、事实资料和参考研究这方面的权威人士的理论,首先利用统计中的数学期望及标准差,根据概率最大原则,结合Excel补齐了表中的数据,并给出了面试者的录取顺序,然后根据各专家的打分情况建立了数学模糊模型,对各专家的打分严松情况进行评价,最后建立了层次分析模型,确定哪些面试者可以进入到第二轮面试进行了筛选。
通过对所建模型特点的描述:
模型优缺点、使用范围、建模思想或方法、结果检验等方面,得出模型可以普便推广及使用。
关键词:
数学期望标准差模糊数学模型层次分析模型
摘要
一、问题综述……………………………………………………………..3
1.1问题提出的背景……………………………………………………………………3
1.2问题分析……………………………………………………………………………3
二、模型假设………………………………………………………………3
三、模型建立………………………………………………………………3
3.1统计模型.........................................................3
3.2层次分析法........................................................3
四、模型求解………………………………………………………………3
4.1补齐表中缺失的数据,给出补缺的方法及理由…………………………………3
4.2给出101名初试者的录取顺序……………………………………………………5.
4.3五位专家中哪位打分比较严格,哪位专家打分比较宽松………………………8.
4.4你认为那些初试者应该给与第二次面试机会……………………………………8
4.5如果第二次面试的专家小组只由其中的三位专家组成,你认为这个专家组应有哪三
位专家组成………………………………………………………………………………9
五、模型评价……………………………………………………………9
六、参考文献……………………………………………………………10
七、参考附录……………………………………………………………10
7.1各位专家对初试者打分的原始数据……………………………………………10
7.2第四题参考数据…………………………………………………………………12
7.3第五题参考数据…………………………………………………………………15
一、问题综述
1.1问题提出的背景
“公务员报考热”成为社会舆论关注的热门话题。
几乎所有的国家机关和各省、市政府机关,以及公共事业单位都公开面向社会招聘公务员或工作人员,尤其是面向大中专院校的毕业生活动非常普遍。
一般都采取“初试+面试”的择优录取方法。
特别是面试,在招聘录取工作中占有突出地位。
因此研究如何选择打分专家,如何根据专家的打分情况对面试者录取具有重要意义。
1.2问题分析
该题目是某单位在一次招聘过程中,组成了一个五人专家小组,对101个应试者评分,如何运用数学建模的方法补齐表中数据,给出101名面试者的录取顺序,评价专家的打分严松情况。
二、模型假设
1、数据根据专家的打分情况而来,忽略打分时的客观情况,数据只受面试者的能力影响。
2、假设统计表格中的数据都是公平、真实的。
三、模型建立
3.1统计模型
通过分析可知,该题有着统计学的本质特征:
数据的随机性,以及大量随机性中的差异性可以发现统一性的趋势。
利用统计学中的分段统计数据,把每个专家的打分情况分成几段,然后根据最大概率原则,确定初试者的分数落在哪一个阶段。
并利用Excel进行辅助计算。
3.2层次分析法【1】
1、建立层次结构模型,将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层,最高层:
进入第二次面试的面试者;中间层:
五位专家的不同权重,最低层:
根据不同权重得到的不同组合。
2、构造判断(成对比较)矩阵A,wi代表权重
W1/w1w1/w2w1/w3…..w1/wn
W2/w1w2/w2w2/w3…..w2/wn
A=....
....
Wn/w1wn/w2wn/w3…..wn/wn
3、层次单排序及其一致性检验
n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n,而当λ=n时A是一致阵,如果成对比较阵A不是一致阵,但在不一致的容许范围内,用对应于A最大特征根λ的特征向量作为权向量。
CI定义为一致性指标,将AI与同阶的随机一致性指标RI之比成为一致性比率,当CR<0.1时,认为A的不一致程度在允许范围内。
四、模型求解
4.1补齐表中缺失的数据,给出补缺的方法及理由。
首先,把五位专家打分的情况进行分类,如图所示,甲专家的打分主要落在60-69,80-89这两个阶段,乙专家与丁专家打分情况类似,分数主要落在80-89这个阶段,丙专家在50-59这个阶段内没有打分,分数主要落在80-89,90-99这两个阶段内,戊专家在50-59这个阶段内打分个数较少,大部分落在80-89这个阶段。
根据最大概率原则【2】,9号面试者的成绩最可能落在60-69,80-89这两个阶段,由于甲专家打分比较严格,故落在60-69之间。
25号面试者成绩落在80-89之间。
58号面试者成绩落在80-89,90-99之间,由于丙专家打分比较宽松,故落在90-99之间。
序号
甲专家
乙专家
丙专家
丁专家
戊专家
9
65
97
76
87
64
25
68
85
65
84
87
58
63
94
95
82
76
4.2给出101名初试者的录取顺序
利用Excel算出每位面试者的总分,当总分相同时,可计算五位专家打分的标准差,标准差较小,说明五位专家对面试者的能力看法越一致,依此,对面试者的录取顺序如下:
排序
序号
专家甲
专家乙
专家丙
专家丁
专家戊
总分
标准差
1
39
92
99
79
86
90
446
2
19
94
95
64
96
95
444
3
51
94
85
94
74
93
440
4
47
88
88
96
80
87
439
5
5
83
79
95
83
98
438
6
4
81
73
84
98
94
430
7
40
84
82
92
95
76
429
7.694154
8
87
93
73
83
90
90
429
8.043631
9
66
74
94
96
89
76
429
10.20784
10
91
82
74
94
89
87
426
7.596052
11
64
90
63
95
91
87
426
12.73578
12
69
68
93
91
82
91
425
13
100
86
85
92
87
74
424
14
18
91
79
83
85
84
422
4.335897
15
86
90
93
72
94
73
422
10.96814
16
16
93
66
91
74
97
421
13.44247
17
53
90
68
88
92
83
421
9.654015
18
22
86
96
79
84
75
420
7.968689
19
82
90
82
92
66
90
420
10.77033
20
45
85
97
83
84
70
419
9.576012
21
77
63
93
97
90
76
419
14.06058
22
97
93
94
74
73
85
419
10.03494
23
101
92
78
85
70
93
418
24
15
94
81
80
66
92
413
11.21606
25
98
85
83
79
95
71
413
8.763561
26
14
94
84
70
78
86
412
8.988882
27
49
80
93
85
82
72
412
7.635444
28
11
85
95
81
81
69
411
9.338094
29
84
78
94
77
67
95
411
12.02913
30
58
63
94
95
82
76
410
31
72
97
83
97
64
68
409
32
43
67
89
84
75
93
408
10.57355
33
50
87
84
80
93
64
408
10.92245
34
76
91
73
90
79
74
407
8.619745
35
79
65
84
73
87
98
407
12.77889
36
63
81
94
73
63
95
406
37
67
63
74
91
94
83
405
38
29
86
68
95
71
84
404
11.16692
39
12
78
66
99
90
71
404
13.59044
40
8
53
96
65
95
94
403
41
10
66
93
80
90
73
402
11.32696
42
95
74
64
91
94
79
402
12.34099
43
38
65
93
62
99
83
402
16.48636
44
71
86
73
73
75
94
401
9.418068
45
32
82
84
97
78
60
401
13.34916
46
1
68
73
85
88
86
400
8.916277
47
70
70
83
75
96
76
400
10.07472
48
33
88
92
66
59
95
400
16.35543
49
80
78
64
82
85
90
399
9.859006
50
41
94
90
65
66
84
399
13.53514
51
36
65
87
86
64
96
398
52
81
81
92
65
77
82
397
9.762172
53
88
69
72
88
94
74
397
10.94532
54
31
60
85
96
67
87
395
14.94992
55
35
59
97
75
76
88
395
14.40486
56
30
64
83
61
90
96
394
15.61089
57
56
93
55
66
84
96
394
17.71158
58
78
87
83
65
91
68
394
11.62755
59
24
92
85
82
66
68
393
11.21606
60
42
90
79
85
81
58
393
12.25969
61
73
78
81
87
78
69
393
6.503845
62
37
84
78
83
61
85
391
63
3
88
76
76
70
80
390
64
9
65
97
76
87
64
389
14.23728
65
25
68
85
65
84
87
389
10.42593
66
48
62
98
74
93
62
389
16.97645
67
34
60
91
78
78
81
388
11.19375
68
55
98
63
80
63
84
388
14.90973
69
99
81
63
70
79
95
388
12.1161
70
75
67
82
87
63
86
385
71
2
92
69
74
65
83
383
72
17
63
74
90
63
92
382
14.0819
73
46
86
76
64
87
69
382
10.16366
74
89
88
63
88
76
66
381
75
74
63
71
92
86
68
380
76
94
79
74
78
63
85
379
77
27
61
74
76
87
78
376
78
28
63
80
69
76
84
372
8.443933
79
54
59
95
69
75
74
372
13.14534
80
96
70
55
95
83
69
372
15.1921
81
60
55
72
95
85
64
371
82
7
76
76
68
64
86
370
8.485281
83
93
75
84
66
70
75
370
6.745369
84
65
60
83
64
79
83
369
85
62
51
65
78
94
80
368
86
20
56
67
91
97
56
367
19.44994
87
26
71
66
61
75
94
367
12.66096
88
52
55
75
93
84
60
367
15.94679
89
92
60
65
84
85
73
367
11.14899
90
23
69
90
65
65
76
365
91
57
75
64
65
94
63
361
13.10343
92
68
58
63
84
84
72
361
11.88276
93
85
61
84
75
69
72
361
8.408329
94
90
76
56
72
75
82
361
9.757049
95
13
58
86
72
63
81
360
96
6
84
67
86
56
66
359
12.81405
97
21
61
80
79
70
69
359
7.854935
98
83
64
73
84
58
76
355
99
61
86
55
67
62
80
350
100
44
63
82
65
69
66
345
101
59
71
82
61
57
61
332
4.3五位专家中哪位打分比较严格,哪位专家打分比较宽松。
由专家打分的分段情况,我们可以看出甲专家在低分区段最多,与其他四位专家相差较大,高分区段最少,故甲专家最严。
丙专家在低分区断没有打分,打分主要集中在中高分区段,故丙专家最宽松。
戊专家在50-59,60-69这两个阶段打分也比较少,在中高区段的打分情况仅次于丙专家。
乙专家与丁专家打分情况在各区段类似,但通过计算他打分们的标准差可知,乙专家打分的标准差为11.43862,丁专家打分标准差为11.45067,即乙专家打分比较集中。
综上,五位专家打分从严到松依次为:
甲专家、丁专家、乙专家、戊专家、丙专家。
4.4你认为那些初试者应该给与第二次面试机会。
假设我们最终录取十名,需要有二十名选手进入第二次面试。
首先通过总分排序选择前十名应试者进入第二次面试。
然后从剩下的应试者中通过选择不同的评分标准再选取十名进入第二次面试,于是我们采取层次分析法,使五位专家的权重不同再进行一次排名,选择剩下的初试者中前十名第二次面试。
具体做法如下:
由上一题可知,打分最严格的专家依次为甲专家,丁专家,乙专家,戊专家及丙专家。
根据层次分析模型,将所要选的初试者设为目标层,甲丁乙戊丙专家的打分设为准则层,记做C1,C2,C3,C4,C5,所选出来的三位专家打分风格即为方案层。
在这里,我们假设三种情况,第一种是打分较为宽松的专家有较高的权重,记为权重1,第二种是打分最严与最松的专家有较低的权重,记为权重2,第三种是打分较严的专家有较高的权重,记为权重3。
一、C1:
C2:
C3:
C4:
C5=1:
1:
2:
3:
3,则得出成对比较矩阵
A=
求λ的步骤如下:
a.将A的每一列向量归一化得
b.对
按行求和得
;
c.将
归一化
,
,T即为近似特征向量;
d.计算
作为最大特征根的近似值.
根据上述方法得出λ=5,故矩阵
为一致阵,当n=5时,随机一致性指标RI=1.12,故一致性比率CR=CI/RI=0<0.1,故所选的权重是合理的。
除去依据总分及标准差差选出的前十名初试者,在剩余的91位初试者中选出给予第二次面试机会的初试者,根据所选的权重算出加权平均数,由数据选出前十名分别为69,77,64,16,82,100,58,43,55,101号.
二、若依据C1:
C2:
C3:
C4:
C5=1:
8/3:
8/3:
8/3:
1,利用前面的模型同样可得所选权重是合理的,并且除去依据总分及标准差差选出的前十名初试者,在剩余的91位初试者中选出给予第二次面试机会的面试者的出前十名为8,69,38,79,77,30,35,43,58,86号。
三、若依据C1:
C2:
C3:
C4:
C5=3:
3:
2:
1:
1,利用前面的模型同样可得所选权重是合理的,并且除去依据总分及标准差差选出的前十名初试者,在剩余的91位初试者中选出给予第二次面试机会的面试者的出前十名为97,72,45,22,86,100,82,11,18,49号。
4.5如果第二次面试的专家小组只由其中的三位专家组成,你认为这个专家组应有哪三位专家组成。
作为第二次面试,面试者能否录取与专家的分数能否公平的反应面试者的能力有关,所以对各位专家打分情况进行分析,以权重1为例,在甲专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者9名,在乙专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者7名,在丙专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者9名,在丁专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者6名,在戊专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者6名,即甲、乙、丙三位专家的打分比较能反映初试者的能力,故选择甲乙丙三位专家。
同理,在权重2的情况下,选择乙、丙、戊三位专家,在权重3的情况下,选择甲、乙、丙三位专家
五、模型评价
1、层次分析法将问题分解为不同的组成因素,并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次的分析结构模型,从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。
但是它只能从原有方案中选优,不能生成新的方案。
2、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受,所以采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。
3、运用EXCEL软件处理数据和进行运算,降低运算量,简单易行,有很大的可操作性。
且所得数据较为合理可靠。
六、参考文献
【1】姜启源谢金星叶俊编,数学模型(第四版),北京:
高等教育出版社,2011年
【2】徐玖平胡知能编,运筹学,北京:
科学出版社,2006
七、参考附录
7.1各位专家对初试者打分的原始数据
序号
专家甲
专家乙
专家丙
专家丁
专家戊
1
68
73
85
88
86
2
92
69
74
65
83
3
88
76
76
70
80
4
81
73
84
98
94
5
83
79
95
83
98
6
84
67
86
56
66
7
76
76
68
64
86
8
53
96
65
95
94
9
*
97
76
87
64
10
66
93
80
90
73
11
85
95
81
81
69
12
78
66
99
90
71
13
58
86
72
63
81
14
94
84
70
78
86
1
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