高中数学必修3第一章 111.docx
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高中数学必修3第一章111
§1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
学习目标
1.了解算法的含义和特征.2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.
知识点一 算法的概念
思考 解决一个问题的算法是唯一的吗?
答案 不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种,但不同的算法有优劣之分.
梳理 算法的概念
12世纪的算法
是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题
知识点二 算法的特征
算法的五个特征
(1)有限性:
一个算法的步骤是有限的,它应在有限步操作之后停止.
(2)确定性:
算法中的每一步应该是确定的,并且能有效地执行且得到确定的结果,而不是模棱两可的.
(3)逻辑性:
算法从初始步骤开始,分为若干个明确的步骤,前一步是后一步的前提,只有完成前一步,才能进行下一步,而且每一步都是正确无误的,从而组成具有很强逻辑性的步骤序列.
(4)普遍性:
一个确定的算法,应该能够解决一类问题.
(5)不唯一性:
求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,也可以有不同的算法.
特别提醒:
判断一个问题是不是算法,关键是明确算法的含义及算法的特征.
知识点三 算法的设计
思考 自然语言是唯一描述算法的语言吗?
答案 不是.描述算法可以有不同的方式,常用的有自然语言、框图(流程图)、程序设计语言等.
梳理
(1)设计算法的目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法,它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤,然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,从而达到让计算机执行的目的.
(2)设计算法的要求
①写出的算法必须能解决一类问题.
②要使算法尽量简单、步骤尽量少.
③要保证算法步骤有效,且计算机能够执行.
1.算法是解决一个问题的方法.( × )
2.一个算法可以产生不确定的结果.( × )
3.算法的步骤必须是明确的、有限的.( √ )
类型一 算法概念的理解
例1 下列关于算法的说法,正确的个数有( )
①求解某一类问题的算法是唯一的;
②算法必须在有限步操作之后停止;
③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊;
④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1B.2
C.3D.4
考点 算法的概念
题点 算法概念的辨析
答案 C
解析 由于算法具有有限性、确定性等特点,因而②③④正确,而解决某类问题的算法不一定唯一,从而①错.
反思与感悟 算法实际上是解决问题的一种程序性方法,它通常用来解决某一个或某一类问题,在用算法解决问题时,体现了特殊与一般的数学思想.
跟踪训练1 下列说法中是算法的有________.(填序号)
①从上海到拉萨旅游,先坐飞机,再坐客车;
②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项,系数化为1;
③求以A(1,1),B(-1,-2)两点为端点的线段AB的中垂线方程,可先求出AB的中点坐标,再求kAB及中垂线的斜率,最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程;
④求1×2×3×4的值,先计算1×2=2,再计算2×3=6,6×4=24,得最终结果为24;
⑤
x>2x+4.
考点 算法的概念
题点 算法的步骤问题
答案 ①②③④
解析 ①说明了从上海到拉萨的行程安排;
②给出了解一元一次不等式这类问题的解法;
③给出了求线段的中垂线的方法及步骤;
④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.
故①②③④都是算法.
类型二 算法的阅读理解
例2 下面算法要解决的问题是__________________________________________________.
第一步,输入三个数,并分别用a,b,c表示.
第二步,比较a与b的大小,如果a
第三步,比较a与c的大小,如果a 第四步,比较b与c的大小,如果b 第五步,输出a,b,c. 考点 算法的特点 题点 算法特点的辨析 答案 输入三个数a,b,c,并按从大到小的顺序输出 解析 第一步是给a,b,c赋值. 第二步运行后a>b. 第三步运行后a>c. 第四步运行后b>c,所以a>b>c. 第五步运行后,显示a,b,c的值,且从大到小排列. 反思与感悟 一个算法的作用往往并不显而易见,这需要我们结合具体数值去执行一下才 知道. 跟踪训练2 下面给出了一个问题的算法: 第一步,输入a. 第二步,若a≥3,则执行第三步,否则执行第四步. 第三步,输出a+5. 第四步,输出3a+4. 这个算法解决的问题是_________________________________________________________. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计 答案 求函数f(x)= 当x=a时的函数值f(a). 类型三 算法的设计与应用 例3 有一个底面半径为3,母线为5的圆锥,写出求该圆锥体积的算法. 考点 算法的设计与应用 题点 数值型的算法设计 解 如图,先给r,l赋值,计算h,再根据圆锥体积公式V= πr2h计算V,然后输出结果. 第一步,令r=3,l=5. 第二步,计算h= . 第三步,计算V= πr2h. 第四步,输出运算结果. 反思与感悟 利用公式解决问题时,必须先求出公式中的各个量,在设计算法时,应优先考虑未知量的求法. 跟踪训练3 已知一个等边三角形的周长为a,求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题. 考点 算法的设计与应用 题点 其它数值型的算法设计 解 第一步,输入a的值. 第二步,计算l= 的值. 第三步,计算S= ×l2的值. 第四步,输出S的值. 例4 所谓正整数p为素数是指: p的所有约数只有1和p.例如,35不是素数,因为35的约数除了1,35外,还有5与7;29是素数,因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n>1)是否为素数的算法. 考点 算法的设计与应用 题点 循环型算法设计 解 算法如下: 第一步,给出任意一个正整数n(n>1). 第二步,若n=2,则输出“2是素数”,判断结束. 第三步,令m=1. 第四步,将m的值增加1,仍用m表示. 第五步,如果m≥n,则输出“n是素数”,判断结束. 第六步,判断m能否整除n, ①如果能整除,则输出“n不是素数”,判断结束; ②如果不能整除,则转第四步. 反思与感悟 设计一个具体问题的算法,通常按以下步骤 (1)认真分析问题,找出解决该问题的一般数学方法. (2)借助有关变量或参数对算法加以表述. (3)将解决问题的过程划分为若干步骤. (4)用简练的语言将这个步骤表示出来. 跟踪训练4 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计? 考点 算法的设计与应用 题点 循环型算法设计 解 第一步,给定大于2的整数n. 第二步,令i=2. 第三步,用i除n,得到余数r. 第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示. 第五步,判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法;否则,返回第三步. 1.下列关于算法的说法正确的是( ) A.一个算法的步骤是可逆的 B.描述算法可以有不同的方式 C.算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列,并且这样的步骤或序列只能解决当前问题 D.算法只能用一种方式显示 考点 算法的概念 题点 算法概念的辨析 答案 B 解析 由算法的定义知A,C,D错. 2.计算下列各式中S的值,能设计算法求解的是( ) ①S= + + +…+ ; ②S= + + +…+ +…; ③S= + + +…+ (n≥1,n∈N*). A.①②B.①③C.②③D.①②③ 考点 算法的特点 题点 判断问题是否可以设计算法求解 答案 B 解析 由算法的有限性知②不能设计算法求解,①③都能通过有限步输出确定结果. 3.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步: (1)计算c= ; (2)输入直角三角形两直角边长a,b的值; (3)输出斜边长c的值. 其中正确的顺序是________. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计 答案 (2) (1)(3) 解析 算法的步骤是有先后顺序的,第一步是输入,最后一步是输出,中间的步骤是赋值、计算. 4.下面是解决一个问题的算法: 第一步: 输入x. 第二步: 若x≥4,转到第三步;否则转到第四步. 第三步: 输出2x-1. 第四步: 输出x2-2x+3. 当输入x的值为________时,输出的数值最小值为________. 考点 算法的特点 题点 数值型的算法设计 答案 1 2 解析 所给算法解决的问题是求分段函数f(x)= 的函数值问题,当x≥4时,f(x)=2x-1≥2×4-1=7;当x<4时,f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以f(x)min=2,此时x=1.即输入x的值为1时,输出的数值最小,最小值为2. 5.写出解二元一次方程组 的算法. 考点 算法的设计与应用 题点 解方程组的算法设计 解 第一步,①+2×②得7x=1.③ 第二步,解③得x= . 第三步,②×3-①×2得7y=5.④ 第四步,解④得y= . 第五步,得到方程组的解为 1.算法的特点: 有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性. 2.算法设计的要求: (1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数,求任意一个方程的近似解等),并且能够重复使用. (2)要使算法尽量简单,步骤尽量少. (3)要保证算法正确,且算法步骤能够一步一步执行,每步执行的操作必须确切,不能含混不清,而且在有限步后能得到结果. 一、选择题 1.下列可以看成算法的是( ) A.学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适当的练习题 B.今天餐厅的饭真好吃 C.这道数学题难做 D.方程2x2-x+1=0无实数根 考点 算法的概念 题点 算法概念的辨析 答案 A 解析 A是学习数学的一个步骤,所以是算法. 2.在用二分法求方程零点的算法中,下列说法正确的是( ) A.这个算法可以求所有的零点 B.这个算法可以求任何方程的零点 C.这个算法能求所有零点的近似解 D.这个算法可以求变号零点的近似解 考点 算法的特点 题点 判断问题是否可以设计算法求解 答案 D 解析 二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问题,并不能求所有零点的近似值. 3.有蓝、黑两个墨水瓶,但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中,黑墨水错装在了蓝墨水瓶中,要求将其互换,现有空墨水瓶若干,解决这一问题最少需要的步骤数为( ) A.2B.3C.4D.5 考点 算法的设计与应用 题点 应用问题的算法设计 答案 B 解析 第一步,将蓝墨水装到一个空墨水瓶中;第二步,将黑墨水装到黑墨水瓶中;第三步,将蓝墨水装到蓝墨水瓶中,这样就解决了这个问题,故选B. 4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个过程.下列选项中最好的一种算法是( ) A.第一步,洗脸刷牙.第二步,刷水壶.第三步,烧水.第四步,泡面.第五步,吃饭.第六步,听广播 B.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭.第五步,听广播 C.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭同时听广播 D.第一步,吃饭同时听广播.第二步,泡面.第三步,烧水同时洗脸刷牙.第四步,刷水壶 考点 算法的设计与应用 题点 应用问题的算法设计 答案 C 解析 最好算法的标准是方便、省时、省力. A中共需5+2+8+3+10+8=36(min), B中共需2+8+3+10+8=31(min), C中共需2+8+3+10=23(min), D中共需10+3+8+2=23(min),但算法步骤不合理,最好的算法为C. 5.对于求18的正因数,给出下列两种算法: 算法1: 第一步,1是18的正因数,将1列出. 第二步,2是18的正因数,将2列出. 第三步,3是18的正因数,将3列出. 第四步,4不是18的正因数,将4剔除. …… 第十八步,18是18的正因数,将18列出. 算法2: 第一步,18=2×9. 第二步,18=2×32. 第三步,列出所有的正因数1,2,3,32,2×3,2×32. 则这两个算法( ) A.都正确 B.算法1正确,算法2不正确 C.算法1不正确,算法2正确 D.都不正确 考点 算法的设计与应用 题点 数值型算法设计 答案 A 解析 算法1是用1~18的整数逐一验证,得出正因数.算法2是利用因数分解得到18的正因数.两种算法都正确.故选A. 6.下列各式中T的值不能用算法求解的是( ) A.T=12+22+32+42+…+1002 B.T= + + + +…+ C.T=1+2+3+4+5+… D.T=1-2+3-4+5-6+…+99-100 考点 算法的特点 题点 判断问题是否可以设计算法求解 答案 C 解析 根据算法的有限性知C不能用算法求解. 7.一个算法步骤如下: 第一步,S取值0,i取值1. 第二步,若i≤9,则执行第三步;否则,执行第六步. 第三步,计算S+i并用结果代替S. 第四步,用i+2的值代替i. 第五步,转去执行第二步. 第六步,输出S. 运行以上算法,则输出的结果S等于( ) A.16B.25 C.36D.以上均不对 考点 算法的设计与应用 题点 循环型算法设计 答案 B 解析 解本题关键是读懂算法,本题中的算法功能是求S=1+3+5+7+9=25. 8.对于算法: 第一步,输入n. 第二步,判断n是否等于2,若n=2,则n满足条件;若n>2,则执行第三步. 第三步,依次从2到(n-1)检验能不能被n整除,若不能被n整除,则执行第四步;若能整除n,则结束算法. 第四步,输出n. 满足条件的n是( ) A.质数B.奇数 C.偶数D.约数 考点 算法的设计与应用 题点 循环型算法设计 答案 A 解析 此题首先要理解质数,只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数,这个算法通过对2到(n-1)一一验证,看是否有其他约数,来判断其是否为质数. 9.结合下面的算法: 第一步,输入x. 第二步,判断x是否小于0,若是,则输出x+2,否则执行第三步. 第三步,输出x-1. 当输入的x的值为-1,0,1时,输出的结果分别为( ) A.-1,0,1B.-1,1,0 C.1,-1,0D.0,-1,1 考点 算法的概念 题点 算法功能的判断与结果的求解 答案 C 解析 依据算法可知,当x=-1时,满足x<0,则输出x+2=-1+2=1;当x=0时,不满足x<0,则输出x-1=0-1=-1;当x=1时,不满足x<0,则输出x-1=1-1=0.故选C. 二、填空题 10.下面给出了解决问题的算法: 第一步: 输入x. 第二步: 若x≤1,则y=2x-1,否则y=x2+3. 第三步: 输出y. (1)这个算法解决的问题是________; (2)当输入的x值为________时,输入值与输出值相等. 答案 (1)求分段函数y= 的函数值 (2)1 11.以下是解二元一次方程组 的一个算法,请将该算法补充完整. 第一步,①②两式相加得3x+9=0.③ 第二步,由③式可得________.④ 第三步,将④式代入①式得y=0. 第四步,输出方程组的解为________. 考点 算法的设计与应用 题点 解方程组的算法设计 答案 x=-3 解析 该算法的流程实质是解二元一次方程组的过程,由消元法易得. 12.下面是求15和18的最小公倍数的算法,其中不恰当的一步是________. 第一步,先将15分解素因数: 15=3×5. 第二步,然后将18分解素因数: 18=32×2. 第三步,确定它们的所有素因数: 2,3,5. 第四步,计算出它们的最小公倍数: 2×3×5=30. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计 答案 第四步 解析 素因数2,3,5的最高指数是1,2,1,算出它们的最小公倍数为2×32×5=90. 三、解答题 13.某商场举办优惠促销活动.若购物金额在800元以上(不含800元),打7折;若购物金额在400元以上(不含400元),800元以下(含800元),打8折;否则,不打折.请为商场收银员设计一个算法,要求输入购物金额x,输出实际交款额y. 考点 算法的设计与应用 题点 应用问题的算法设计 解 算法步骤如下: 第一步,输入购物金额x(x>0). 第二步,判断“x>800”是否成立,若是,则y=0.7x,转第四步;否则,执行第三步. 第三步,判断“x>400”是否成立,若是,则y=0.8x,转第四步;否则,y=x. 第四步,输出y,结束算法. 四、探究与拓展 14.如图所示,汉诺塔问题是指有3根杆子A,B,C,杆子上有若干碟子,把所有的碟子从B杆移动到A杆上,每次只能移动一个碟子,大的碟子不能叠在小的碟子上面.把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上,最少需要移动的次数是________. 考点 算法的设计与应用 题点 应用问题的算法设计 答案 7 解析 直接进行分析,将最小的碟子命名为①,中间的 碟子命名为②,最大的碟子命名为③,进行如下移动: ①→A,②→C,①→C,③→A,①→B,②→A,①→A,此时按要求全部放好,移动7次. 15.给出下列算法: 第一步,输入x的值. 第二步,当x>4时,计算y=x+2;否则执行下一步. 第三步,计算y= . 第四步,输出y. 当输入x=0时,输出y=________. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计 答案 2 解析 0<4,执行第三步,y= =2.
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