三维设计高三数学文江苏专用一轮总复习练习第一章集合与常用逻辑用语含答案解析.docx
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三维设计高三数学文江苏专用一轮总复习练习第一章集合与常用逻辑用语含答案解析
第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合的概念与运算
1.集合的含义与表示方法
(1)集合的含义:
研究对象叫做元素,一些元素组成的总体叫做集合.集合中元素的性质:
确定性、无序性、互异性.
(2)元素与集合的关系:
①属于,记为∈;②不属于,记为∉.
(3)集合的表示方法:
列举法、描述法和图示法.
(4)常用数集的记号:
自然数集N,正整数集N*或N+,整数集Z,有理数集Q,实数集R.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B,且∃x∈B,x∉A
AB或
BA
相等
集合A,B的元素完全相同
A⊆B,且B⊆A
A=B
空集
不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集
∀x,x∉∅,∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A,且x∈B}
A∩B
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A,或x∈B}
A∪B
续补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U,且x∉A}
∁UA
4.集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集,即A⊆A;
(2)子集关系的传递性,即A⊆B,B⊆C⇒A⊆C;
(3)运算性质
①A∩B=B∩A,A∩B=A⇔A⊆B.
②A∪B=B∪A,A∪B=B⇔A⊆B.
③∁S(∁SA)=A,(∁SA)∪(∁SB)=∁S(A∩B),(∁SA)∩(∁SB)=∁S(A∪B).
[小题体验]
1.(教材习题改编)下列关系中正确的序号为________.
①{0}=∅;②0∈{0};③∅{0};④{0,1}⊆{(0,1)};⑤{(a,b)}={(b,a)}.
解析:
由集合的有关概念易知②③正确.
答案:
②③
2.(教材习题改编)集合
,用列举法表示为________.
解析:
用列举法可知x可取0,1,2.
答案:
{0,1,2}
3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=________.
答案:
{2,4}
4.集合{a,b}的所有子集为________.
答案:
{a},{b},{a,b},∅
1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件.
2.要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系.
3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.
5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
[小题纠偏]
1.若集合A={a+1,a-1,a2-3}满足1∈A,则实数a的值为________.
解析:
若a+1=1,则a=0,A={1,-1,-3},满足;若a-1=1,则a=2,此时a2-3=1,与集合的互异性矛盾,舍去;
若a2-3=1,则a=±2,a=2舍去,当a=-2时,A={-1,-3,1},满足.
答案:
0或-2
2.已知集合M={x|y=x2+2x+4},N={y|y=2x2+2x+3},则M∩N=________.
解析:
因为M=R,N=
,所以M∩N=
.
答案:
3.集合A={x|x=-y2+6,x∈N,y∈N}的真子集的个数为________.
解析:
当y=0时,x=6;当y=1时,x=5;当y=2时,x=2;当y≥3时,x∉N,故集合A={2,5,6},共含有3个元素,故其真子集的个数为23-1=7.
答案:
7
[题组练透]
1.(易错题)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为________.
解析:
集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.
答案:
9
2.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
解析:
∵A=∅,∴方程ax2-3x+2=0无实根,当a=0时,
x=
不合题意,当a≠0时,Δ=9-8a<0,∴a>
.
答案:
3.(易错题)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
解析:
由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-
,当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-
时,m+2=
,而2m2+m=3,故m=-
.
答案:
-
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.如“题组练透”第1题.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.如“题组练透”第3题易忽视.
(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 解析: 当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则 解得2 综上,实数m的取值范围为(-∞,4]. 答案: (-∞,4] 2.(2016·苏州四市调研)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________. 解析: 由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. 答案: 4 3.集合A={0,1,x},B={x2,y,-1},若A=B,则y=________. 解析: 因为A={0,1,x},B={x2,y,-1},且A=B,所以x=-1,此时集合A={0,1,-1},B={1,y,-1},所以y=0. 答案: 0 [由题悟法] 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键 [即时应用] 1.已知集合A={x|2a-2 解析: ∁RB={x|x≤1或x≥2}. (1)当A=∅时,2a-2≥a,解得a≥2; (2)当A≠∅时,由A∁RB,得 或 解得a≤1. 综上可知,实数a的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞). 答案: (-∞,1]∪[2,+∞) 2.已知集合A={x|x2-2x+a=0},B={1,2},且A⊆B,求实数a的取值范围. 解: 若A=∅,则Δ=4-4a<0,解得a>1; 若A≠∅,则A={1}或{2}或{1,2}; 若A中只有一个元素,则Δ=4-4a=0,解得a=1.当a=1时,A={1},满足; 若A中有两个元素,则A={1,2},则 无解. 综上可知,实数a的取值范围为[1,+∞). (常考常新型考点——多角探明) [命题分析] 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力. 常见的命题角度有: (1)求交集或并集; (2)交、并、补的混合运算; (3)新定义集合问题. [题点全练] 角度一: 求交集或并集 1.(2014·江苏高考)已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则A∩B=________. 解析: A∩B={-2,-1,3,4}∩{-1,2,3}={-1,3}. 答案: {-1,3} 2.(2016·兰州诊断)已知集合A={x||x|<1},B={x|2x>1},则A∩B=________,A∪B=________. 解析: 由|x|<1,得-1 又由2x>1,解得x>0,所以B={x|x>0}. 所以A∩B={x|0 答案: {x|0 角度二: 交、并、补的混合运算 3.设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},且A∩B={2}. (1)求实数a的值以及集合A,B; (2)设全集U=A∪B,求(∁UA)∪(∁UB). 解: (1)由题意可知,2∈A,2∈B,将x=2代入集合A中得,8+2a+2=0,解得a=-5.则A={x|2x2-5x+2=0}= ,B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}. (2)U=A∪B= ,∁UA={-5},∁UB= ,所以(∁UA)∪(∁UB)= . 角度三: 新定义集合问题 4.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为________. 解析: 要使x-y∈A,当x=5时,y可取1,2,3,4; 当x=4时,y可取1,2,3; 当x=3时,y可取1,2; 当x=2时,y可取1.综上共有10个. 答案: 10 5.(2015·启东模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A= ,B={x|x<0,x∈R},则A⊕B=___________. 解析: 依题意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A= ,故A⊕B= ∪[0,+∞). 答案: ∪[0,+∞) [方法归纳] 解集合运算问题4个注意点 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.设集合M={x|x+1>0},N={x|x-2<0},则M∩N=________. 解析: 因为M={x|x+1>0}={x|x>-1},N={x|x-2<0}={x|x<2},所以M∩N=(-1,2). 答案: (-1,2) 2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则∁U(M∪N)=________. 解析: ∵M={2,3,4},N={4,5}, ∴M∪N={2,3,4,5},则∁U(M∪N)={1,6}. 答案: {1,6} 3.(2015·陕西高考改编)设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=________. 解析: M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},M∪N=[0,1]. 答案: [0,1] 4.已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=|x|,x∈R},则A∩B中的元素个数为________. 解析: 由题意联立方程组 消去y得x2=|x|,两边平方,解得x=0或x=-1或x=1,相应的y值分别为0,1,1,故A∩B中的元素个数为3. 答案: 3 5.(2016·海安实验中学检测)已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则A∪(∁RB)=________. 解析: ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0}={x|0 答案: (-∞,1]∪[2,+∞) 二保高考,全练题型做到高考达标 1.已知集合A= ,则集合A中的元素个数为________. 解析: ∵ ∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3, 又∵x∈Z,∴x值分别为5,3,1,-1, 故集合A中的元素个数为4. 答案: 4 2.(2016·南通中学月考)已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x∉M}的子集的个数为________. 解析: 由题意,得P={3,4},所以集合P的子集有22=4个. 答案: 4 3.设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=______________. 解析: 由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3}, ∵B={x|-1<x≤5},∴∁RB={x|x≤-1或x>5}. ∴A∩(∁RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}={x|-3<x≤-1}. 答案: {x|-3<x≤-1} 4.已知集合A={x|x2<3x+4,x∈R},则A∩Z中元素的个数为________. 解析: 由x2<3x+4,得-1 答案: 4 5. 设全集U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为________. 解析: 由2x(x-2)<1得x(x-2)<0,解得0 答案: [1,2) 6.已知集合M={(x,y)|y=x2+2x+4},N={(x,y)|y=2x2+2x+3},则M∩N=________. 解析: 由题可知, 解得 或 所以M∩N={(1,7),(-1,3)}. 答案: {(1,7),(-1,3)} 7.已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∩B=B,则实数a的值为________. 解析: 由题意A={1,2},当B≠∅时, ∵B⊆A,∴B={1}或{2}, 当B={1}时,a·1-2=0,解得a=2; 当B={2}时,a·2-2=0,解得a=1. 当B=∅时,a=0.故a的值为0或1或2. 答案: 0或1或2 8.(2016·贵阳监测)已知全集U={a1,a2,a3,a4},集合A是集合U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件: ①若a1∈A,则a2∈A;②若a3∉A,则a2∉A;③若a3∈A,则a4∉A.则集合A=________.(用列举法表示) 解析: 若a1∈A,则a2∈A,则由若a3∉A,则a2∉A可知,a3∈A,假设不成立;若a4∈A,则a3∉A,则a2∉A,a1∉A,假设不成立,故集合A={a2,a3}. 答案: {a2,a3} 9.已知集合A= ,B={x|x2+3x-a2-3a>0}. (1)当a=4时,求A∩B; (2)若A⊆B,求实数a的取值范围. 解: (1)由题意可知A=[-8,-4], 当a=4时,B=(-∞,-7)∪(4,+∞), 由数轴图得: A∩B=[-8,-7). (2)方程x2+3x-a2-3a=0的两根分别为a,-a-3, ①当a=-a-3,即a=- 时,B= ∪ ,满足A⊆B; ②当a<- 时,a<-a-3,B=(-∞,a)∪(-a-3,+∞),则a>-4或-a-3<-8,得-4 ; ③当a>- 时,a>-a-3,B=(-∞,-a-3)∪(a,+∞),则a<-8或-a-3>-4得- 综上所述,实数a的取值范围是(-4,1). 10.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若A∩B=[0,3],求实数m的值; (2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围. 解: 由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)因为A∩B=[0,3],所以 所以m=2. (2)∁RB={x|x 因为A⊆∁RB,所以m-2>3或m+2<-1, 即m>5或m<-3. 因此实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞). 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知集合A={x|x2-2015x+2014<0},B={x|log2x 解析: 由x2-2015x+2014<0,解得1 由log2x 答案: 11 2.(2016·无锡一中月考)设集合M={x|-2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a-1},若N⊆M,则实数a的取值范围是________. 解析: 当N=∅时,a+1>2a-1,解得a<2; 当N≠∅时,由N⊆M得, 解得2≤a≤3. 综上,实数a的取值范围是(-∞,3]. 答案: (-∞,3] 3.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围; (3)若全集U=R,A∩(∁UB)=A,求实数a的取值范围. 解: 由题意知A={1,2}. (1)因为A∩B={2},所以2∈B,所以4+4(a+1)+(a2-5)=0,整理得a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3. 经检验,均符合题意,所以a=-1或a=-3. (2)由A∪B=A知,B⊆A. 若集合B=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0. 即2a+6<0,解得a<-3; 若集合B中只有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=0,整理得2a+6=0,解得a=-3.此时B={x|x2-4x+4=0}={2}.满足; 若集合B中有两个元素,则B={1,2}. 所以a>-3,且 无解. 综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3]. (3)由A∩(∁UB)=A可知,A∩B=∅. 所以 解得a≠-1,a≠-3,a≠-1+ ,a≠-1- . 综上,实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-1- )∪(-1- ,-1)∪(-1,-1+ )∪(-1+ ,+∞). 第二节四种命题和充要条件 1.命题 概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假; (2)陈述句 分类 真命题、假命题 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系: (2)四种命题中真假性的等价关系: 原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4. 3.充要条件 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A是B的真子集 集合与 充要条件 p是q的必要不充分条件 P q且q⇒p B是A的真子集 p是q的充要条件 p⇔q A=B p是q的既不充分又不必要条件 p q且q p A,B互不包含 [小题体验] 1.(教材习题改编)条件p: x>2,条件q: x≥2,则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 答案: 充分不必要 2.(教材习题改编)已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m= ”是“A∩B={4}”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 解析: A∩B={4}⇒m2+1=4⇒m=± ,故“m= ”是“A∩B={4}”的充分不必要条件. 答案: 充分不必要 3.已知命题: 若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根.则其逆否命题为________________________________________________________________________. 答案: 若方程x2+x-m=0无实根,则m≤0 1.易混淆否命题与命题的否定: 否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论. 2.易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同. [小题纠偏] 1.命题“当a<0时,函数y=ax+b的值随x值的增大而减小”的否命题是________________________________. 解析: 本题的条件是“x的值增大”,结论是函数“y=ax+b的值减小”,故其否命题是“当a<0时,若x的值不增大,则函数y=ax+b的值不减小”. 答案: 当a<0时,若x的值不增大,则函数y=ax+b的值不减小 2.命题“全等三角形一定相似”的逆否命题是________________________. 解析: 由原命题与逆否命题的关系,得逆否命题是“若两个三角形不相似,则它们不全等”. 答案: 若两个三角形不相似,则它们不全等 3.若|x|0)的充分条件是|x|0),则a,b的大小关系是________. 解析: 由题意,得|x| 答案: a≥b 4.已知p: x≠2或y≠1,q: x+y≠3,则p是q的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 解析: 若p⇒q,即“x≠2或y≠1”⇒“x+y≠3”, 得其逆否命题为“x+y=3⇒x=2且y=1”, 显然不正确, 所以p⇒/q. 同理可得q⇒p. 所以p是q的必要不充分条件. 答案: 必要不充分 [题组练透] 1.命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是________________. 解析: 根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.该题中,p为a2>b2,q为a>b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为: 若a2≤b2,则a≤b. 答案: 若a2≤b2,则a≤b 2.已知命题p: 正数a的平方不等于0,命题q: 若a不是正数,则它的平方等于0,则p是q的________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”). 解析: 因为命题q的条件与结论恰好是命题p的条件与结论的否定,故两者之间互否. 答案: 否命题 3.(易错题)给出以下四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; ④若ab是正整数,则a,b都是正整数. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) 解析: ①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题. 答案: ①③ [谨记通法] 1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.命题真假的2种判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进
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- 三维设计 数学 江苏 专用 一轮 复习 练习 第一章 集合 常用 逻辑 用语 答案 解析
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