种群的相互竞争模型中数值计算及结果分析.docx
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种群的相互竞争模型中数值计算及结果分析
大学《数学模型》实验实验报告
一、实验目的
1.学会编写程序段。
2.能根据m文件的结果进行分析。
3.根据图像进行比较和分析。
二、实验要求
8-1捕鱼业的持续收获
运行下面的m文件,并把相应结果填空,即填入“_________”。
clear;clc;
%无捕捞条件下单位时间的增长量:
f(x)=rx(1-x/N)
%捕捞条件下单位时间的捕捞量:
h(x)=Ex
%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex
%捕捞情况下渔场鱼量满足的方程:
x'(t)=F(x)
%满足F(x)=0的点x为方程的平衡点
%求方程的平衡点
symsrxNE;%定义符号变量
Fx=r*x*(1-x/N)-E*x;%创建符号表达式
x=solve(Fx,x)%求解F(x)=0(求根)
%得到两个平衡点,记为:
%x0=______________,x1=___________
x0=x
(2);
x1=x
(1);%符号变量x的结构类型成为<2×1sym>
%求F(x)的微分F'(x)
symsx;%定义符号变量x的结构类型为<1×1sym>
dF=diff(Fx,'x');
dF=simple(dF)%简化符号表达式
%得F'(x)=________________
%求F'(x0)并简化
dFx0=subs(dF,x,x0);%将x=x0代入符号表达式dF
dFx0=simple(dFx0)
%得F’(x0)=_______
%求F’(x1)
dFx1=subs(dF,x,x1)
%得F’(x1)=________
%若E
性的准则);
%若E>r,则结果正好相反。
%在渔场鱼量稳定在x0的前提下(E %通过分析(见教材p216图1),只需求x0*使f(x)达到最大,且hm=f(x0*)。 symsrxN fx=r*x*(1-x/N); df=diff(fx,'x'); x0=solve(df,x) %得x0*=______ hm=subs(fx,x,x0) %得hm=_______ %又由x0*=N(1-E/r),可得E*=______ %产量模型的结论是: %将捕捞率控制在固有增长率的一半(E=r/2)时,能够获得最大的持续产量。 8-2种群的相互竞争 (1) 补充如下指出的程序段,然后运行该m文件,对照教材上的相应结果。 clear;clc; %甲乙两个种群满足的增长方程: %x1'(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2) %x2'(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2) %求方程的平衡点,即解代数方程组 %f(x1,x2)=0g(x1,x2)=0 8-3种群的相互竞争 (2) 补充如下指出的程序段,然后运行该m文件,对照教材上的相应结果。 clear;clc; %甲乙两个种群满足的增长方程: %x1'(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2) %x2'(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2) %求方程的平衡点,即解代数方程组 %f(x1,x2)=0g(x1,x2)=0 编写出该程序段。 三、实验容 8-1捕鱼业的持续收获——产量模型 %文件名: p178.m clear;clc; %无捕捞条件下单位时间的增长量: f(x)=rx(1-x/N) %捕捞条件下单位时间的捕捞量: h(x)=Ex %F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex %捕捞情况下渔场鱼量满足的方程: x'(t)=F(x) %满足F(x)=0的点x为方程的平衡点 %求方程的平衡点 symsrxNE;%定义符号变量 Fx=r*x*(1-x/N)-E*x;%创建符号表达式 x=solve(Fx,x)%求解F(x)=0(求根) %得到两个平衡点,记为: %x0=N(1-x/N),x1=0 x0=x (2); x1=x (1);%符号变量x的结构类型成为<2×1sym> %求F(x)的微分F'(x) symsx;%定义符号变量x的结构类型为<1×1sym> dF=diff(Fx,'x'); dF=simple(dF)%简化符号表达式 %得F'(x)=___________ %求F'(x0)并简化 dFx0=subs(dF,x,x0);%将x=x0代入符号表达式dF dFx0=simple(dFx0) %得F’(x0)=E-r %求F’(x1)=r-E dFx1=subs(dF,x,x1) %得F’(x1)=r-E %若E %若E>r,则结果正好相反。 %在渔场鱼量稳定在x0的前提下(E %通过分析(见教材p178图1),只需求x0*使f(x)达到最大,且hm=f(x0*)。 symsrxN fx=r*x*(1-x/N); a)df=diff(fx,'x'); x0=solve(df,x) %得x0*=N/2 hm=subs(fx,x,x0) %得hm=(r*N)/4 %又由x0*=N(1-E/r),可得E*=r/2 %产量模型的结论是: %将捕捞率控制在固有增长率的一半(E=r/2)时,能够获得最大的持续产量。 [提示] 符号简化函数simple的格式: simple(S) 对符号表达式S尝试多种不同的算法简化,以显示S表达式的长度最短的简化形式。 变量替换函数sub的格式: Subs(S,OLD,NEW) 将符号表达式S中的OLD变量替换为NEW变量。 8-2种群的相互竞争 %文件名: p186.m clear;clc; %甲乙两个种群满足的增长方程: %x1'(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2) %x2'(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2) %求方程的平衡点,即解代数方程组 %f(x1,x2)=0 %g(x1,x2)=0 %得4个平衡点: %P (1)=P1(N1,0) %P (2)=P2(0,N2) %P(3)=P3(N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1),N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)) %P(4)=P4(0,0) %平衡点位于第一象限才有意义,故要求P3: k1,k2同时小于1,或同时大于1。 %判断平衡点的稳定性(参考教材p200) fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); gx1=diff(g,'x1'); gx2=diff(g,'x2'); A=[fx1,fx2;gx1,gx2] symsx1x2; p=subs(-(fx1+gx2),{x1,x2},{P(: 1),P(: 2)}); p=simple(p);%简化符号表达式p q=subs(det(A),{x1,x2},{P(: 1),P(: 2)}); q=simple(q); [Ppq] %得到教材p186表2的前3列,经测算可得该表的第4列,即稳定条件。 8-3种群的相互竞争 (2) 求微分方程组 的数值解,分别画出教材p189中的图5-1,图5-2,图5-3。 有关数据参见教材p188中“计算与验证”。 [提示] (1)求微分方程组的数值解可参考教材p139的程序。 (2)在figure (1)中画图5-1,在figure (2)中画图5-2,在figure(3)中画图5-3。 在程序中,figure(图形编号)用于定位对应图形。 (3)使用text(x,y,’标识文本’),坐标点(x,y)在“标识文本”的左边,调整(x,y)值,使“标识文本”放在图中的适当位置。 (4)用axis([xminxmaxyminymax])控制坐标的刻度围。 (5)用gridon打开网格,gridoff关闭网格。 (6)用holdon把要画的图形保持在之前在同一figure上所画的图形中(同一坐标系)。 (7)图5-3中的两“点线”直线,一条的两个端点为(0,1)和(1,0),另一条的两个端点为(0,2)和(1.6,0)。 四、实验结果及其分析 8-1捕鱼业的持续收获——产量模型 8-2种群的相互竞争 (1) 1.实验代码: symsr1r2N1N2k1k2x1x2; f=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2); g=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2); [x1,x2]=solve(f,g,x1,x2) P=[x1,x2]; fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); gx1=diff(g,'x1'); gx2=diff(g,'x2'); A=[fx1,fx2;gx1,gx2] symsx1x2; p=subs(-(fx1+gx2),{x1,x2},{P(: 1),P(: 2)}); p=simple(p); q=subs(det(A),{x1,x2},{P(: 1),P(: 2)}); q=simple(q); [Ppq] 2.实验结果 8-3种群的相互竞争 (2) 1.实验代码 %脚本文件 functionf=fun(t,x) r1=2.5;r2=1.8; N1=1.6;N2=1; k1=0.5;k2=1.6; f=[r1*x (1).*(1-x (1)./N1-k1.*(x (2)./N2));r2*x (2).*(1-k2*x (1)./N1-x (2)./N2)]; % [t,x]=ode45('fun',[08],[0.1;0.1]); plot(t,x(: 1),t,x(: 2)); axis([0802]); gridon; [t,x]=ode45('fun',[08],[1;2]); plot(t,x(: 1),t,x(: 2)); axis([0802]); gridon; [t,x]=ode45('fun',[08],[0.1;0.1]); plot(x(: 1),x(: 2)); holdon; [t,x]=ode45('fun',[08],[1;2]); plot(x(: 1),x(: 2)); x1=0: 0.1: 1; y1=-x1+1; x2=0: 0.1: 2; y2=-1.25*x2+2; 2.实验结果
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- 种群 相互 竞争 模型 数值 计算 结果 分析