11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师版.docx
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11分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师版
1.1分类加法和分布乘法计数原理
1.分类加法计数原理
【基础梳理】
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
【典型例题】
题型一分类加法计数原理
【例1-1】(2020·全国高三专题练习)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有
A.8种B.9种C.10种D.11种
【答案】B
【解析】设四位监考教师分别为A㴳B㴳C㴳翿,所教班分别为a㴳b㴳c㴳d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理,共有3+3
+3=9(种)不同的监考方法,故选B.
x2y2
【例1-2】设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程
A.6个B.8个
C.12个D.16个
【答案】A
+=1表示焦点位于x轴上的椭圆的有()
mn
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n.当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,
n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6(个).
【举一反三】
1.(2020·重庆高二月考(理))小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有()
A.7种B.8种C.6种D.9种
【答案】A
【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”,分三类完成:
买1张IC卡,买2张IC卡,买3张IC卡.而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC卡有2种方法,即买一张20元面值的或买一张30元面值的;买2张IC卡有3种方法,即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20
元面值的和30元面值的各买一张,买3张IC卡有2种方法,即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的,故共有2+3+2=7(种)不同的买法.
2.(2020·全国高三专题练习)从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会,则不同的选法种数为
()
A.6B.5C.3D.2
【答案】B
【解析】选女同学有3种选法,选男同学有2种选法,所以共有5种选法.故选:
B.
3.(2020·全国高三专题练习)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有种不同的方法.
【答案】12
【解析】
(1)分三类:
一类是乘汽车有8种方法;一类是乘火车有2种方法;一类是乘飞机有2种方法,由分类加法计数原理知,共有8+2+2=12(种)方法.故答案为:
12.
题型二分步乘法计数原理
【例2-1】(2019·辽宁实验中学高三月考(理))高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有()
A.16种B.18种C.37种D.48种
【答案】C
【解析】根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有4×4×4th4种情况,其中工厂
甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有3×3×3th7种方案;则符合条件的有h4—h7t37种,故选:
C.
【例2-2】(2020·全国高三专题练习)如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有()
A.72种B.48种C.24种D.12种
【答案】A
【解析】先涂A的话,有4种选择,若选择了一种,则B有3种,而为了让C与AB都不一样,则C有2种,再涂D的话,只要与C涂不一样的就可以,也就是D有3种,所以一共有4x3x2x3=72种,故选A。
【举一反三】
1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为()
A.7B.12C.64D.81
【答案】B
【解析】要完成配套,分两步:
第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,
选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同的选法.故共有4×3=12(种)不同的配法.
2.已知a∈{3,4,6},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同圆的个数是()
A.6B.9C.16D.24
【答案】D
【解析】确定一个圆的方程可分为三个步骤:
第一步,确定a,有3种选法;第二步,确定b,有2种选法;第三步,确定r,有4种选法.由分步乘法计数原理得,不同圆的个数为3×2×4=24.
3.某运动会上,8名男运动员参加100米决赛,其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的
奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.
【答案】2880
【解析】分两步安排这8名运动员.
第一步,安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排,所以共有4×3×2=24(种)方法;
第二步,安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,共有5×4×3×2×1=120(种).所以安排这8人的方式共有24×120=2880(种).
题型三两个原理的综合运用
【例3-1】用0,1,2,3,4五个数字,
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码?
(2)可以排成多少个三位数?
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?
【答案】见解析
【解析】
(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125(种).
(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位
可以排0,因此,共有4×5×5=100(种).
(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12(种)排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18(种)排法.因而有12+18=30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
【例3-2】
(1)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有种.
【答案】42
【解析】分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.
(1)若第三块田放c:
a
b
c
第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4(种)方法.
(2)若第三块田放a:
a
b
a
第四块有b或c两种方法,
①若第四块放c:
a
b
a
c
第五块有2种方法;
②若第四块放b:
a
b
a
b
第五块只能种作物c,共1种方法.
综上,共有3×2×(2×2+2+1)=42(种)方法.
【举一反三】
1.(2019·上海市奉贤中学高二期中)现某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,
高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人,共有多少种不同的选法?
(2)每个年级选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法?
【答案】
(1)34;
(2)1404;(3)381.
【解析】
(1)根据题意,选其中一人为负责人,有3种情况,
若选出的是高一学生,有13种情况,若选出的是高二学生,有12种情况,
若选出的是高三学生,有9种情况,由分类计数原理可得,共有12+13+9=34种选法.
(2)根据题意,从高一学生中选出1人,有13种情况;
从高二学生中选出1人,有12种情况;从高三学生中选出1人,有9种情况;由分步计数原理,可得共有12×13×9=1404种选法.
(3)根据题意,分三种情况讨论:
若选出的是高一、高二学生,有12×13=156种情况,若选出的是高一、高三学生,有13×9=117种情况,若选出的是高二、高三学生,有12×9=108种情况,由分类计数原理可得,共有156+117+108=381种选法.
【强化训练】
1.(2020·浙江高三专题练习)空间中不共面的4点A,B,C,D,若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平面α的2倍,这样的平面α的个数为()
A.8B.16C.32D.48
【答案】C
【解析】第一种情况,A,B,C,D点在平面α的同侧.
当平面α∥平面BCD时,A与平面α的距离是α与平面BCD的距离的2倍.这种情况下有4个平面.
第二种情况,A,B,C,D中有3个点在平面α的一侧,第4个点在平面α的另一侧,这时又有两种情形:
一种情形是平面α与平面BCD平行,且A与平面α的距离是平面α与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.
另一种情形如图a所示,图中E,F分别是AB,AC的中点,K是AD的三等分点中靠近A的分点,A,B,C
到平面EFK(即平面α)的距离是D到平面EFK距离的一半.
∵EF可以是AB,AC的中点的连线,又可以是AB,BC的中点的连线,或AC,BC的中点的连线,
∴这种情形下的平面α有3×4=12(个).
第三种情况,如图b所示,在A,B,C,D四点中,平面α两侧各种有两点.
容易看出:
点A到平面EFMN(平面α)的距离是B,C,D到该平面距离的2倍。
就A,C与B,D分别位于平面α两侧的情形来看,就有A离平面α远,B离平面α远,C离平面α远,D离平面α远这四种情况.又“AC,BD异面,则这样的异面直线共有3对,∴平面α有4×3=12(个).
综上分析,平面α有4+4+12+12=32(个).故选:
C.
2.(2020·浙江高三专题练习)从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取2个数,则组成没有重复数字的四位数的个数为()
A.2100B.2200C.2160D.2400
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