Mathlab是一门高级语言.docx
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Mathlab是一门高级语言.docx
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Mathlab是一门高级语言
Matlab模型
Mathlab是一门高级语言,风格有点象C语言,但语法更简单,易学易用,由于自带很多科学计算工具箱,比较适合科学计算。
(下载网址:
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1.假定某种生命蛋白质是由四种氨基酸组合而成的。
这四种氨基酸的分子量分别为:
57,71,97,101。
实验测定蛋白质的分子量为800。
试问这种蛋白质的组成有哪几种可能?
〔讲评〕
生:
这是一个不定方程问题:
800=57×x1+71×x2+97×x3+101×x4
x1,x2,x3,x4为整数。
师:
我们可以用枚举的方法求出所有可能的x1,x2,x3,x4,x1可能的取值为0到15,x2可能的取值为0到11,x3可能的取值为0到8,x4可能的取值为0到7。
(参考:
m1.m)
2.当推销员从I城出发,经过每个城市一次且仅一次,最后回到I城,问按怎样的路线走,使总的行程路线最短.四个城市间的距离如下表:
I
II
III
IV
I
0
8
5
6
II
6
0
8
5
III
7
9
0
5
IV
9
7
8
0
〔讲评〕
师:
该问题可以用枚举法吗?
生:
可以,从I出发有3种选择,第二步只有2种选择,最后一步回I城。
师:
如何表示每一步的路长呢?
生:
设计一个4×4路长矩阵a,a(i,j)表示城i到城j的路长。
(参考:
m2.m)
3.某人从高为2000米载人热气球(此时气球静止)跳伞,重力加速度为g=10米/秒2,下落过程中,若打开降落伞,则空气阻力与速度的平方成正比:
f=0.0001mgv2(m为人伞的质量和),若一开始就打开降落伞,求落地时间。
〔讲评〕
生:
加速度a=10-0.001v2,变加速直线运动,没学过。
师:
在很短的时间内,变加速可不可以看做匀加速?
生:
可以,这样原运动过程可分割成很多段匀加速直线运动。
师:
难道跳伞的速度会无限的增大吗?
生:
当a=0时,速度就是常数了
讨论:
如果要控制落地时间,比如保证23秒时落地,求打开降落伞的时间,怎么办?
(参考:
m3.m)
4.求y=x2在区间[0,6]上的图像(曲线)长度。
〔讲评〕
师:
如何求曲线的长度?
生:
可将曲线分割成很多段,每段近似为直线段,这样曲线的长度近似为折线的长度。
讨论:
如何判断你的结果的精确程度?
(参考:
m4.m)
5.细菌在实验室封闭容器中养殖,每天都测一次细菌的数量,第一天,细菌数量为500,第二天为1000(此时生长率为2),后来随着细菌数量的剧增,生长率越来越低,当细菌数目为10000时,生长率才1.1,也就是说,该天的二天细菌数不过11000。
如果生长率是细菌数目的线性函数,问细菌数目最后有没有可能达到一个稳定的水平,是多少?
〔讲评〕
师:
如何描述生长率和细菌数目的关系?
生:
细菌数目p=500时,生长率r=2,细菌数目p=10000时,生长率r=1.1,
很容易求出r,p间的关系:
r=-0.0000947×p+2.0472
师:
如何计算第n天的细菌数目?
生:
利用递推关系p(n)=p(n-1)×(-0.0000947×p(n-1)+2.0472)从第二天开始算
师:
如何判断细菌数目达到稳定水平?
生:
作图,或看看|p(n+1)-p(n)|是否越来越接近0
讨论:
上述递推关系中的常数0.0000947,2.0472对细菌数目稳定性的影响如何?
(参考:
m5.m)
练习:
.
某池塘内的鱼的生长有以下递推关系:
p(n+1)=0.01(200-p(n))p(n)。
p(n)是第n年池塘内鱼的数目(单位:
千尾).当池塘内鱼的数目达到一定数目时,开始捕鱼,若每年16000尾,问池塘内的鱼能否达到某一稳定水平?
当池塘内鱼的数目达到什么水平时方可捕捞?
如果你是渔场经理,你的捕捞方案如何?
6.如图,线段旁边的数据表路长,箭头表路的方向,求节点1到节点9的最短路.
〔讲评〕
师:
如何用数据描述上图?
生:
用9×9矩阵a,a(i,j)表节点i,j间的路长
师:
a(4,1),a(3,1)等于多少?
生:
无穷大。
师:
a(1,1),a(2,2)等于多少?
生:
0
师:
如何找最短路径?
生:
枚举法,很简单!
师:
9个点,要算8!
=40320次,若20个点,要算19!
>1017次,计算机要算瘫了。
通常采用Dijkstra算法,
第一步:
设从点i到j的最短路长f(i,j),就是这点i到j的路长a(i,j)。
f也是一个9×9的矩阵。
第二步,寻找“两边之和小于第三边”,即在(k=1,2,…9)中寻找使d(k)=a(i,k)+f(k,j)最小的k,对应的d(k)的值,作为“改良”的点i到j的最短路长f(i,j)
第三步,重复第二步的工作,考虑到最短路径最多8条边,所以,第二步的重复次数不会超过8
(参考:
m6.m)
7.下图为一网络,节点1到节点2的宽带带宽为6兆,节点1到节点3的宽带带宽为2兆,节点2到节点4的宽带带宽为3兆,…节点4到节点6的宽带带宽为2兆,求节点1到节点6的最大网速。
3
2
6
3
1
7
2
7
〔讲评]
师:
这个问题用Lingo建模,非常简介,但是用Matlab也可以。
解决这种问题往往分两步:
第一步:
寻找从节点1到节点6的通道,并算出该通道的最大网速,并计算出该通道中各宽带剩下的带宽容量,例:
节点1,3,5,6通道,可获得网速2,节点1到3的容量变为0,节点3到5变为5,节点5到6变为5。
第二步:
重复第一步的工作,直到找不到从节点1到节点6的通道为止。
生:
如何寻找节点1到节点6的通道呢?
师:
通道就是路径,我们可以给容量不为0的宽带定义路长1,只要我们找到从节点1到节点6的最短路长,如果不是无穷大,那么相对应的路径就是一条通道。
(参考:
m7.m)
8.某伐木公司即将开始在同一地区的八大林区伐木,故须建造一伐木道路系统,以使每一林区皆与其他每一林区相通.任意两林区间距离间下表:
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1.3
2.1
0.9
0.7
1.8
2.0
1.5
2
0.9
1.8
1.2
2.6
2.3
1.1
3
2.6
1.7
2.5
1.9
1.0
4
0.7
1.6
1.5
0.9
5
0.9
1.1
0.8
6
0.6
1.0
7
0.5
试决定在各林区间如何造路,才能以最短路长连通全部林区.
〔讲评]
生:
连通8个林区只需修7条道
师:
随便7条道都能连通8个林区吗?
生:
不能,7条道中不能有圈
师:
如何用Matlab描述上述问题?
生:
林区间的距离可用8×8矩阵a表示,a(i,i)等于无穷大
师:
如何找出7条道?
生:
从a中挑出7个最小的数
师:
如何判断是否有圈?
生:
为了避免有圈,我们采用扩展的方法
第一步:
找出最短的道路,设为a(i,j),将节点i,j存在数组p(已连通的林区)中,其它节点存在数组u(没连通的林区) 中
第二步:
从p到u中找最短的道路,也就是从子矩阵a(p,u)中找出最小值a(m,n),将n从u中调入p中
第三步:
重复第二步,直到找到7条道
(参考:
m8.m)
练习:
一个小城市有六个小区。
市长JohnLion拟建设电话系统使得六个小区能相互通信。
假设小区1和小区4间不能架设电话线,问电话线的最短长度为多少?
5
5
5
3
7
7
3
4
5
9.12小时内,一小时测量一次室外温度.数据如下表:
小时
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
温度
5
8
9
15
25
29
31
30
22
25
27
24
试估计下列时间的温度:
9.3,3.2,6.5,7.1,11.7.
〔讲评]
师:
做出温度时间的散点图:
我们可以用折线拟合温度时间曲线:
根据以上的折线求某时间的温度,数学上叫做线性插值,可通过Matlab工具:
interp1实现
我们还可以用光滑的曲线拟合温度时间曲线:
根据以上的曲线求某时间的温度,数学上叫做样条插值,也可通过Matlab工具:
interp1实现
(参考:
m9.m)
10.一敌舰在某海域内沿正北方向航行时,我方战舰恰好位于敌舰的正西方1海里处,我舰向敌舰发射自动制导鱼雷,敌舰速度为0.42海里/分钟,鱼雷速度为敌舰速度的2倍,试问过多久敌舰被击中?
〔讲评]
生:
鱼雷的轨迹应是一条如上图的曲线,而且速率恒定。
师:
如何计算追击时间?
生:
可以,这样原运动过程可分割成很多段匀速直线运动。
也就是将曲线用折线拟合
(参考:
m10.m)
11.人们对某平板上的温度分布估计感兴趣,给定的温度值取自平板表面均匀分布的(5×3)
格栅.
长
宽
1
2
3
4
5
1
82
81
80
82
84
2
79
63
61
65
81
3
84
84
82
85
86
试估计各点的温度.
〔讲评]
师:
做出温度
分布图:
根据以上的图形求某点的温度,可通过Matlab工具:
interp2实现,称作2维线性插值.
我们还可以用光滑的曲面拟合温度分布,也可通过Matlab工具:
interp2实现,称作2维样条插值.
(参考:
m11.m)
12.航空公司经常会碰到订了票的乘客由于种种原因并没有登机,因而造成飞机上有空座位.航空公司为了提高收入常采用多订票的方法.假设订了票而由于种种原因并没有登机的乘客数服从二项分布,乘客未登机的概率为0.04.机上座位数为16.卖出一个座位赚225元.订了票由于机上已座满而被拒载的乘客除了退票外还可得100元的补偿.问航空公司订多少张票为宜.
〔讲评]
师:
二项分布:
随机数:
n次试验成功的次数.
实验是满足下列条件的:
每一次试验只有两种可能:
成功和失败.
成功的概率是常数p.
每一次实验是独立的,实验可以无限制的重复.
两个函数:
binopdf(x,n,p):
计算成功次数为x(x为非负整数)的概率
例:
binopdf(3,4,0.6)=0.3456.
binocdf(x,n,p):
计算成功次数小于或等于x(x为非负整数)的概率
例:
binocdf(3,4,0.6)=0.8704=sum(binopdf(0:
3,4,0.6)).
生:
本问题实际上就是计算当预订机票为n(n大于或等于16)时的期望收入
师:
如何发现期望收入最大的n?
生:
设p(n)为订票数为n时的期望收入,当p(n)>p(n-1)且p(n)>p(n+1)时,我们就发现了最好的n
(参考:
m12.m)
13.为了检验X射线的杀菌作用,用200千伏的X射线来照射细菌,每次照射6分钟.照射次数记为t,共照射15次,各次照射后所剩细菌数y见下表:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
y
252
211
197
160
142
116
104
90
76
60
46
32
21
10
3
试求y与t的关系.
[讲评]
师:
做出y,t的散点图:
y,t间有近似的线性关系:
y=b
(2)×t+b
(1)
求b
(2),b
(1)可利用Matlab工具:
regress
(参考:
m13.m)
注释:
线性回归
假设y与n个自变量x
(1),x
(2),x(3),…x(n)之间有下列关系:
y=b
(1)+b
(2)*x
(1)+b(3)*x
(2)+…b(n+1)*x(n).
b
(1),b
(2),b(3),…b(n+1)是常数。
为了使形式上更规范一些通常我们将上式改写为:
y=b
(1)*x
(1)+b
(2)*x
(2)+b(3)*x(3)+…b(n)*x(n).
其中自变量x
(1)是常数1。
我经常要根据测出的数据y,x(1:
n)来估计b(1:
n)的值。
参考:
helpregress
例如:
x=1.12500.23207.16000.08598.9050
0.92000.26808.80400.08657.3880
0.83500.27108.10800.08525.3480
1.00000.23706.37000.08388.0560
1.15000.19206.44100.08216.9600
0.99000.20205.15400.07925.6900
0.84000.18405.89600.08126.9320
0.65000.20005.33600.08065.4000
0.64000.18005.04100.07843.1770
0.58300.16505.01200.07934.4610
0.57000.15104.82500.07873.9010
0.57000.17104.39100.07805.0020
0.51000.24304.32000.07234.6650
0.55500.14703.70900.07494.6420
0.46000.28603.96900.07444.8400
0.27500.19803.55800.07254.4790
0.51000.19604.36100.05774.2000
0.16500.21003.30100.07183.4100
0.24400.32702.96400.07253.3600
0.07900.33402.77700.07192.5990
y'=1.55630.89760.74820.71600.31300.36170.1139
0.1139-0.2218-0.154900-0.0969-0.2218
-0.3979-0.1549-0.2218-0.3979-0.5229-0.0458
(参考:
m13e.m)
练习:
给定一个函数y=f(x)图像上的点:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
1.78
2.24
2.74
3.74
4.45
5.31
6.92
8.85
10.97
试估计函数的解析式。
14.给定一长方体,长为:
10cm,宽为:
14.5cm,高为19cm.长方体将为切割成长为:
3cm,宽为:
2cm,高为4cm的小长方体.小长方体的六个面与大长方体的六个面平行.已知小长方体的左侧面与大长方体的左侧面相距6cm,小长方体的正面与大长方体的正面相距7cm,小长方体的底面与大长方体的底面相距9cm.每平方厘米的切割费用为1元,如何切割费用最低.
[讲评]
生:
该问题可用枚举法实现,可用1,2,3...6表示前后,左右,上下6个方向,第一次切割有6种可能,第二次切割有5种可能... 第六次切割只有1种可能,总共有6!
=720种情况
师:
如何计算切割面积?
生:
考虑到前后面是平行的,切割的面积是由长和高决定的,而左右切割的面积是由宽和高决定的,上下切割面积是由长宽决定,所以前后,左右,上下的标号需配对,即:
1,4表前后,2,5表上下,3,6表左右.
(参考:
m14.m)
15.某店拟出售甲商品,每单位甲商品成本为50元,售价70元。
如不能售出必须减价为40元,减价后一定可以售出。
已知售货量服从普洼松分布,根据以往经验,平均售出数为6单位。
问该店订购量应为多少单位?
〔讲评]
师:
普洼松分布(Poisson)
随机数:
单位时间(区域)或一定阶段某事件发生的次数。
期望值和方差都是常数λ。
两个函数:
1.poisspdf(x,λ):
计算发生次数为x(x为非负整数)的概率
例:
poisspdf(3,6)=0.0892.
2.poisscdf(x,λ) 计算发生次数小于或等于x(x为非负整数)的概率
例:
poisscdf(3,6)=0.1512=sum(poisspdf(0:
3,6)).
(参考:
m15.m)
16.有一种同系繁殖的动物,某种属性的基因为:
DD(优),dd(劣),Dd(杂).试预测后代的属性.
〔讲评]
师:
假设Dd,Dd,配对,后代可能出现DD,dd,Dd,对应概率分别为1/4,1/4,1/2.这些后代能配对成:
DDDD,DDdd,DDDd,dddd,ddDd,DdDd,对应的概率分别为:
DDDD:
1/4×1/4=1/16,DDdd:
1/4×1/4×2=1/8(因为ddDD)
DDDd:
1/4×1/2×2=1/4(因为DdDD)同理;ddDd,1/4
dddd:
1/4×1/4=1/16,DdDd:
1/2×1/2=1/4
请同学们填写下表:
DDDD
DDdd
dddd
DdDd
Dddd
DDDd
DDDD
1
0
0
0
0
0
DDdd
0
0
0
1
0
0
dddd
0
0
1
0
0
0
DdDd
1/16
1/8
1/16
1/4
1/4
1/4
Dddd
0
0
1/4
1/4
1/2
0
DDDd
1/4
0
0
1/4
0
1/2
利用上表就可建立一代一代间的状态转移关系
(参考:
m16.m)
17.凭直觉,下列国家之间相对生产力如下表,试作出六国生产力的排序:
中国
法国
日本
俄罗斯
美国
英格兰
中国
1
1/3
1/8
3
1/9
1/4
法国
3
1
1/3
4
1/5
1/2
日本
8
3
1
9
1/2
2
俄罗斯
1/3
1/4
1/9
1
1/9
1/8
美国
9
5
2
9
1
3
英格兰
4
2
1/2
8
1/3
1
〔讲评]
师:
心理感觉指数取:
1—9的整数:
1:
相差不大;3:
有点不同;5:
显然不同;7:
差异较大;9:
异常不同;2,4,6,8,分别介于1,3;3,5;5,7;7,9.之间.
心理感觉矩阵a:
a(i,j)=如果i强于j,则取心理感觉指数,否则取心理感觉指数的倒数.
求出a的最大特征值(可通过Matlab函数eig(a)实现)所对应的特征向量m,原对象的排序就变为相对应向量m的分量(往往是取模,有时折算成分值)的排序
上述排序的方法,叫做层次分析法
(参考:
m17.m)
18.有三所中学:
A,B,C,你将为你的朋友选择一所就读.有六个方面需要考虑:
学习,友谊,生活,职业培训,升学,音乐.六个方面心理感觉指数如下表:
学习
友谊
生活
职业培训
升学
音乐
学习
1
4
3
1
3
4
友谊
1/4
1
7
3
1/5
1
生活
1/3
1/7
1
1/3
1/5
1/6
职业培训
1
1/3
3
1
1
3
升学
1/3
5
5
1
1
3
音乐
1/4
1
6
1/3
1/3
1
三所中学在各方面的心理感觉指数如下表:
学习
友谊
A
B
C
A
B
C
A
1
1/3
1/2
A
1
1
1
B
3
1
3
B
1
1
1
C
2
1/3
1
C
1
1
1
生活
职业培训
A
B
C
A
B
C
A
1
5
1
A
1
9
7
B
1/5
1
1/5
B
1/9
1
1/5
C
1
5
1
C
1/7
5
1
升学
音乐
A
B
C
A
B
C
A
1
1/2
1
A
1
6
4
B
2
1
2
B
1/6
1
1/3
C
1
1/2
1
C
1/4
3
1
〔讲评]
师:
此问题是层次分析法的应用
生:
先算出学习,友谊,生活,职业培训,升学,音乐的排序得分(权重),再算出A,B,C在6方面的排序得分,分别乘以对应权重并求和就是A,B,C的综合排序的分
(参考:
m18.m)
19.有一家自行车铺,老板有5中存储方案:
方案
订货点
订货数
1
125
150
2
125
250
3
150
250
4
175
250
5
175
300
(1)订货和收货的时间间隔为3天(订货和收货都在早上)
(2)每辆自行车每天存储费为$0.75,每天每辆自行车的缺货费为$1.80.订货费$75.
(3)每天自行车的销售量服从0到99的均匀分布.
现老板存有115辆自行车,还没有订货,试帮老板选出一种最佳的方案.
〔讲评]
师:
销售量服从0到99的均匀分布就是说销售量是从0到99这100个整数中等可能的随机挑出的1个数,这个数可通过Matlab函数:
unifrnd(0,99),因为销售量是整数,所以再对unifrnd(0,99)进行四舍五入:
round(unifrnd(0,99))
处理这种问题通常是建立一个自行车铺模型,模拟营业一定的天数,根据模拟结果,决定最佳方案.
早上开门:
检验是否有货到
随机制造销售量,计算存储量,根据存储量,订货点,和订货记录,决定是否订货
注:
为了得到更可靠的结果,模拟的过程可重复若干次,取结果的平均值
(参考:
m19.m)
20.一售票处只有一个窗口,每分钟购票人数服从参数为0.2的普哇松分布.售一张票耗时服从均值为
3.2分钟,标准差为0.6的正态分布.求平均队长及平均每人等候时间.
[讲评]
师:
同学们做实验,在测量过程中的测量值,往往服从正态分布,给定仪器和操作者的前提下,当测量次数接近无穷时,这时的平均值就是真实值u,标准差σ,主要衡量每次测量值偏离真实值的程度
正态分布随机数(测量值)是实数,它的取值由u和σ控制。
如下图为
概率密度函数图像(Matlab函数:
normpdf)(图中u=3.2,σ=0.6),阴影部分面积(可通过Matlab函数:
normpdfnormcdf算出)表示随机数小于或等于2的概率
正态分布的随机数可通过Matlab函数:
normrnd(3.2,0.6)生成
普洼松分布(Poisson)
随机数:
单位时间(区域)或一定阶段某事件发生的次数。
期望值和方差都是常数λ。
相邻两事件的时间间隔也是随机数,服从参数为1/λ(平均时间间隔)的指数分
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