直角三角形单元训练答案及解析.docx

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直角三角形单元训练答案及解析

直角三角形

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题）

1．（2009•西宁）身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？

动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：

（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；

（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F．

则∠AFE=（　　）

A．

60°

B．

67.5°

C．

72°

D．

75°

考点：

翻折变换（折叠问题）。

808375

分析：

主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可求出．

解答：

解：

（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E点，∠AEB=45°，

（2）中，可得∠FEC=

=67.5（度）

∵AF∥EC，

∴∠AFE=∠FEC=67.5°．

故选B．

点评：

本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

2．（2009•丽水）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

A．

B．

C．

D．

7

考点：

勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定。

808375

专题：

计算题。

分析：

过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．

解答：

解：

作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠CBE=90°

又∠DAB+∠ABD=90°

∴∠BAD=∠CBE

又AB=BC，∠ADB=∠BEC

∴△ABD≌△BCE

∴BE=AD=3

在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=

=

，

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=

×

=2

；

故选A．

点评：

此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形．运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．

3．（2006•锦州）将下列各纸片沿虚线剪开后，能拼成如图的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

剪纸问题。

808375

分析：

动手操作，剪一剪可知，能拼成右图的是C，也可以发挥空间想象力来判断．

解答：

解：

动手操作，剪一剪可知，能拼成右图的是C．故选C．

点评：

本题考查了空间想象的能力，对于此类问题可以多动手操作，注意观察思考．

4．（2006•贵港）小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

考点：

等腰三角形的判定。

808375

分析：

根据腰三角形的判定定理，由已知可证∠A=∠D=30°∠B=∠E=60°，则∠EGM=∠EMG=∠BMH=∠BHM=60°，故图中是等腰三角形的有：

△EMG，△BMH，△MAD．

解答：

解：

已知两个直角三角形全等，且有一个角是60°，

则可知∠A=∠D=30°∠B=∠E=60°

则∠EGM=∠EMG=∠BMH=∠BHM=60°

∴图中是等腰三角形的有：

△EMG，△BMH，△MAD．

故选B．

点评：

本题主要考查等腰三角形的判定；做题时，首选明显的、简单的，由易到难，不重不漏．

5．（2003•重庆）如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：

①∠PBC=15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

考点：

轴对称的性质；全等三角形的性质；等边三角形的性质。

808375

分析：

（1）先求出∠BPC的度数是360°﹣60°×2﹣90°=30°，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可求出；

（2）根据题意：

有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④正确．

解答：

解：

根据题意，∠BPC=360°﹣60°×2﹣90°=30°

∵BP=PC，

∴∠PBC=180°﹣60°×2﹣45°=15°，

①正确；

根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，

∴②AD∥BC，③PC⊥AB正确；

④也正确．

所以四个命题都正确．

故选D．

点评：

本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．

6．（2007•乌兰察布）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（　　）

A．

45°

B．

60°

C．

55°

D．

75°

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

808375

分析：

通过证△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE；运用外角的性质求解．

解答：

解：

等边△ABC中，有

∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE

∴△ABD≌△BCE

∴∠BAD=∠CBE

∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°．

故选B．

点评：

本题利用了等边三角形的性质：

三边相等，三角等于60°，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．

7．（2006•孝感）光线以如图所示的角度α，照射到平面镜I上，然后在平面镜I、II之间来回反射，已知∠α=50°，∠β=60°，则∠γ等于（　　）

A．

40°

B．

50°

C．

60°

D．

70°

考点：

镜面对称；三角形内角和定理。

808375

分析：

光线照射到平面镜上的入射角等于反射角，并根据三角形内角和求解．

解答：

解：

如图所示，分别过入射点作垂线，根据入射角等于反射角可知：

∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，

∴∠α+∠1=∠2+∠BAC，

∵∠α=50°，

∴∠BAC=50°，

∵∠β=60°，

∴∠ABF=180°﹣2×60°=60°，

∴∠BFA=180°﹣50°﹣60°=70°．

∴∠γ=70°．

故选D．

点评：

此题主要考查了镜面对称，根据镜面反射原理，入射角与反射角相等的性质求出．

8．（2007•贵阳）如图A所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图B所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（　　）

A．

34cm2

B．

36cm2

C．

38cm2

D．

40cm2

考点：

翻折变换（折叠问题）。

808375

分析：

根据折叠的性质，已知图形的折叠就是已知两个图形全等．由图知，着色部分的面积是原来的纸条面积减去两个等腰直角三角形的面积．

解答：

解：

着色部分的面积=原来的纸条面积﹣两个等腰直角三角形的面积=20×2﹣2×

×2×2=36cm2．

故选B．

点评：

本题考查图形的折叠变化及等腰直角三角形的面积公式．关键是要理解折叠是一种对称变换．

9．（2007•山西）如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

轴对称-最短路线问题。

808375

专题：

方案型。

分析：

先分别计算出四个选项中铺设的管道的长度，再比较即可．

解答：

解：

A、铺设的管道的长度为：

PQ+PM=8+2=10（千米）；

B、∵P′Q2=82﹣（5﹣2）2+（5+2）2=104，

∴铺设的管道的长度为：

PM+QM=P′M+QM=P′Q=

＞10（千米）；

C、铺设的管道的长度为：

+5=

+3＞7+3=10（千米）；

D、显然铺设的管道的长度PM+QM大于B中铺设的管道的长度，即PM+QM＞

（千米）．

故选A．

点评：

此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．

10．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（　　）

A．

d＞h

B．

d＜h

C．

d=h

D．

无法确定

考点：

等边三角形的性质。

808375

专题：

应用题。

分析：

如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交于BC，AB于点D，E，则△ABC分成两个三角形：

△BPC和△BPA，根据两三角形面积之和等于等边三角形的面积可推得：

d=h．

解答：

解：

如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交于BC，AB于点D，E，

∴S△ABC=S△BPC+S△BPA=

BC•PD+

AB•PE=

BC•PD+

BC•PE=

BC（PD+PE）=

d•BC=

h•BC

∴d=h．

故选C．

点评：

本题通过作辅助线，把等边三角形分成两部分，利用三角形的面积公式求得d=h．

11．（2009•云南）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　）

A．

13

B．

14

C．

15

D．

16

考点：

等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质。

808375

专题：

计算题。

分析：

要求△BEC的周长，现有BC=5，只要求得CE+BE即可，根据线段垂直平分线的性质得BE=AE，于是只要得到AC问题可解，由已知条件结合等腰三角形的周长不难求出AC的大小，答案可得．

解答：

解：

∵△ABC为等腰三角形，

∴AB=AC，

∵BC=5，

∴2AB=2AC=21﹣5=16，

即AB=AC=8，

而DE是线段AB的垂直平分线，

∴BE=AE，故BE+EC=AE+EC=AC=8

∴△BEC的周长=BC+BE+EC=5+8=13．

故选A．

点评：

本题考查线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质．由题中DE是线段AB的垂直平分线这一条件时，一般要用到它的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．从而结合图形找到这对相等的线段是解决问题的关键．

12．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（　　）

A．

三边垂直平分线的交点

B．

三条角平分线的交点

C．

三条高的交点

D．

三边中线的交点

考点：

线段垂直平分线的性质。

808375

分析：

根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．

解答：

解：

△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．

故选A．

点评：

本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．

13．（2004•南山区）下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

轴对称图形。

808375

分析：

关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，看各个图形有几条对称轴即可．

解答：

解：

A、有两条对称轴，符合题意；

B、C、都只有一条对称轴，不符合题意；

D、有六条，对称轴，不符合题意；

故选A．

点评：

轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

14．（2009•威海）如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（　　）

A．

20°

B．

30°

C．

35°

D．

40°

考点：

等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。

808375

专题：

计算题。

分析：

利用三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”定理计算．

解答：

解：

由AB=AC、BD=BC得∠ABC=∠ACB、∠C=∠BDC，

在△ABC中，∠A=40°，∠C=∠ABC，

∴∠C=∠ABC=

（180°﹣∠A）=

（180°﹣40°）=70°；

在△ABD中，由∠BDC=∠A+∠ABD得

∠ABD=∠BDC﹣∠A=70°﹣40°=30度．

故选B．

点评：

本综合考查了三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”定理．

15．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：

①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　）

A．

3个

B．

2个

C．

1个

D．

0个

考点：

等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。

808375

分析：

根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案．

解答：

解：

∵△DAC和△EBC都是等边三角形

∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°

∴∠ACE=∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确）

∴∠AEC=∠DBC

∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°

∴∠DCE=∠ECB=60°

∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC

∴△EMC≌△BNC（ASA）

∴CM=CN（②正确）

∵AC=DC在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以③错误，所以正确的结论有两个．

故选B．

点评：

考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，要求学生做题时要能灵活运用．

二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）

16．（2008•临沂）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=　2n﹣2　．

考点：

等腰直角三角形。

808375

专题：

规律型。

分析：

本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出Sn的表达式．

解答：

解：

根据直角三角形的面积公式，得S1=

=2﹣1；

根据勾股定理，得：

AB=

，则S2=1=20；

A1B1=2，则S3=21，

依此类推，发现：

Sn=2n﹣2．

点评：

本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．

17．（2007•陕西）如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是　115　度．

考点：

线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质。

808375

专题：

计算题。

分析：

先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC，BE=EC，由题意可得∠C=∠EBC=

×50°=25度，所以∠AEC=90°+25°=115°．易求解．

解答：

解：

∵AD垂直且平分BC于点，

∴BE=EC，

∴∠DBE=∠DCE，

又∵∠ABC=50°，BE为∠ABC的平分线，

∴∠EBC=∠C=

，

∴∠AEC=∠C+∠EDC=90°+25°=115°，

∴∠AEC=115°．

点评：

此题考查角的平分线、线段的垂直平分线及外角的相关知识，难度不大，

18．（2005•温州）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=　4　．

考点：

勾股定理。

808375

专题：

规律型。

分析：

运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．

解答：

解：

观察发现，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠BAC=∠BED，

∴△ABC≌△BDE，

S1和S2之间的两个三角形可以证明全等，

则S1+S2即直角三角形的两条直角边的平方和，

根据勾股定理，即S1+S2=1，

同理S3+S4=3．

则S1+S2+S3+S4=1+3=4．

点评：

运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．

19．（2009•黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于　70°或20°　．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。

808375

专题：

分类讨论。

分析：

此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20度．

解答：

解：

当∠A为锐角时，

∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，

∴∠A=40°，

∴∠B=

=

=70°；

当∠A为钝角时，

∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，

∴∠1=40°，

∴∠BAC=140°，

∴∠B=∠C=

=20°．

故填70°或20°．

点评：

此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．

20．（2007•成都）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=　64　度．

考点：

平行线的性质；翻折变换（折叠问题）。

808375

专题：

计算题。

分析：

因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．

解答：

解：

∵AD∥BC，

∴∠EFG=∠CEF=58°，

∵∠FEC=∠FEG，

∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，

∴∠BEG=180°﹣58°﹣58°=64°．

点评：

此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．

三、解答填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）

21．如图，在△ABC中，AB=AC，过腰AB的中点D作AB的垂线，交另一腰AC于E，连接BE．

（1）若BE=BC，∠A的度数是　36°　；

（2）若AD+AC=24cm，BD+BC=20cm．△BCE的周长是　28　cm．

考点：

线段垂直平分线的性质。

808375

分析：

（1）设∠A=x．根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE，则∠ABE=∠A=x；根据BE=BC，得∠C=∠BEC=2x；根据AB=AC，得∠C=∠ABC=2x，再根据三角形的内角和定理即可求解；

（2）根据AD=BD，AC=AB，得AC=2AD，结合AD+AC=24cm，BD+BC=20cm，即可求得AC、BC的长，从而求得△BCE的周长．

解答：

解：

（1）设∠A=x．

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=x．

∴∠BEC=∠ABE+∠A=2x

∵BE=BC，

∴∠C=∠BEC=2x．

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=2x，

∴x+2x+2x=180°，

x=36°．

即∠A=36°．

（2）∵AC=AB=2AD=2BD，AD+AC=24cm，BD+BC=20cm，

∴AD=8cm，AC=16cm，BC=12cm．

∴△BCE的周长=BC+AC=12+16=28cm．