历年专升本高等数学试题.docx
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历年专升本高等数学试题
2007年成人高考专升本数学模拟试题
一、选择题(5X10分=50分)
2-n
1.lim(1+-)=()
nn7
A.0
2.下列函数在(-
Ay=-x
-n
2-2
CeD2e
+o)内单调递减的是(
小2
Cy=-x
Be-2
oo
2
By=x
+5,设y=(
D11
B-^X2
3.…
Dy=cosx
3.设y=x
八1-3
A-2x2
曲线y=x3-6x+2的拐点坐标(
(0,4)B(0,2)
cosxdx等于()
C-1x£+5
D-1x£+5
4.
A
5.
6.
—inx+cBsinx
1
.xexdx等于(
0
2
7.,‘(x2+4x)
0
八32
AyB11
dx
=(
)
C(0,3)
Ccosx+c
D-1
8.设函数z=e.x\y,则dx=()
1
dx+^j^dy)
1
dx帀dy)
B2ex+.y
C1e
x+y11
;y(—dx+一dy)
'xy"
11
"xkydy)
D-2e-x+y(
D(0,-2)
D—osx
9.右cotx是f(x)一个原函数,则f(x)等于()
八2f2小2小2
AcscxB-cscxCsecxD-secx
10.对于任意两个事件A和B,下面结论正确的是()
A若A盼?
,则事件A、B一定独立B若A盼?
,贝UA、B可能独立
C若A吐?
,则A、B一定独立D若A吐?
,则A、B一定不独立
、填空题(4分X10=40分)
11.lim(2x2-5x+4)=
X—
12.
sin5x
2x
X
13.设函数y=■,求y〃=
lnx
14.y=x3拐点坐标是
15.xex2dx=
1
16.xeXdx=
0
n
4
17.tan29d0=
0
18.设二元函数y=sin(x2+y2),贝U兴=
19.已知z=arcsin(xy),dz=
20.曲线y=e-X在点(0,1)处的切线斜率k=
、解答题(70分)
21.计算lim
x2-2x-3
x2-1
22.设函数Z=ey(x2+y2)求dz=(8分)
23.xsin(x2+1)dx(8分)
e
24.竽dx(8分)
1
25.设离型变量X的分布列为(8分)
X
1
2
4
p
0.2
a
0.4
(1)求常数
a的值
(2)求X的期望EX
22
26.求函数f(x,y)=4(x-y)-x-y的极值(10分)
27.
(1)求直线y=2xy=xx=2x=4所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(5分)
S
2007年成人高考本科数学模拟试题参考答案
一、选择题(5X10分=50分)
1.
5.A6.B7.A&A
B2.A3.A4.B
9.B10B
二、填空题(4分X10=40分)
11.712.
16.117.1-
213.-p1"(2-lnx)14.(0,0)15.1ex2+C
2xlnx2
n
—18.2xcos(x
2+y2)19.
_1_
1-x2y2
(ydx+xdy)20.-1
、解答题(21、22、23、24、25每个题各8分;26、
27、28各10分,共70分)
21.
讪呼=lim寫帘=讪完
X7X-1X2(x-1)(x+1)-7(X-1)
-4
=lim-2=2
22.dz=dey(x2+y2)=ey(x2+y2)d(yx2+y3)=ey(x2+y2)(x2dy+2xydx+3y2dy)=ey(x2+y2)[2xydx+(x3+3y2)dy]
C2dx1,2212
sin(x+1)=2.sin(x+1)d(x+1)=-qcos(x+1)+Ce
rlnx12e1
24.|dx=-linxf
JX2J2
11
25.
(1)0.2+a+0.4=1a=0.4
(2)Ex=1X0.2+2X0.4+4X0.4=2.6
26.解:
az
=4-2x=01—:
x=2
ax
4
二x2dx
2
2
=2*
1
az
Ox=-4-2y=0|y=_2
可解得A=-2B=0C—2
B-AC=-4<0,A=-2v0•••f(2,-2)=8为极大值
4
27.
(1)Vx<二(2x)2dx-
2
4234
=i]3x2dx=二x=56二
22
12313
卢2-22xX
⑵S=.(-x+1)dx+,(-x+1)dx=(-3+x)+(3-x)
010
28.F(x,y,z)=yz2-xz3-1
zF
zX
=-z
zF2
=z
zy
zF
zz
zz=Fx=Z2zX=-Fz=2y-3xzzz_Fy_zzyFx2y-3xz
2010年成考专升本高等数学试题一
【模拟试题】
一.选择题:
本大题共5个小题,每小题4分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。
*1.设函数f(x)-4x4,x•[2,•:
:
),g(x)是f(x)的反函数,贝U()
A.g(x)=2-:
xB.g(x)=2..x
C.g(x)--2-xD.g(x)--2、x
令y二f(x)=x2-4x4二(x-2)2
=x-2=y=x-...y•2,反函数为y=2x,选B
*2.若X。
是f(x)的极值点,贝U()
A.f'(x。
)必定存在,且f'(x°)=0
B.f'(Xo)必定存在,但f'(X。
)不一定等于零
C.f'(x0)可能不存在
D.f'(x0)必定不存在
应选C。
例:
y=x在x=0处取得极小值,但该函数在x=0处不可导,而f'(0)不
存在
*3.设有直线-=y=—,则该直线必定()
04-3
A.过原点且垂直于x轴
B.过原点且平行于x轴
C.不过原点,但垂直于x轴
D.不过原点,且不平行于x轴
直线显然过(0,0,0)点,方向向量为1=3,4,-31,x轴的正向方向向量为
v亠1,0,0?
Iv=1040•(-3)0=0=l_v,故直线与x轴垂直,故应选A。
cdoo
*4.幕级数aanxn在点x=2处收敛,则级数a(-1)nan()
n=0n=0
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与an有关
qQqQ
打anxn在点x=2处收敛,推得对-X。
(一2,2),二anx0绝对收敛,特别对X。
一1n」n卫
qQqQ
有Ja.x。
八一an(_1)n绝对收敛,故应选A。
n亠n卫
5.对微分方程y「3y',2y二e「禾U用待定系数法求其特解y时,下面特解设法正确
的是()
A.y*二Ae」B.y*二(AxB)e」C.y*二Axe」D.y*二Ax2e»
二.填空题:
本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在题中横线上。
limJx3+X+1-X
—x^
lim■■■■x'(Jx1-Xlim/彳111、彳
…尹"J;、x』「严)
X
7.设
则y'=
*8.设F(n4(x)
F(n)(x)=(F
x22x2
=2e4xe
2x2x2
二4xe2e
e2
*9.
dx
e2
解1
dx
x、1Inx
e2d(1Inx)
1、1Inx
=21Inx
x2
=fetdt,则F(n)(x)=
X
X22
解:
F(n')(x)=(F(g(x))'=(etdt)^2xe-ex
bx
(n」)(x))'=(2xe"-ex)'
X
一e
=2,3-2=2(.3-1)
1
10.设z=,In(1+x2+y2),贝Udz⑴o=.
1
面的法向量为n=a汇b=1
2
jk…—
21=3亠打—5k
-11
平面的方程为3(x-1)(y_1)_5(z_1)=0即3xy_5z1=0
*13.幕级数、:
n=0
2n
(X-1)
9
的收敛区间是
解:
令Un(X)
2n
(X-1)
2n2
(X-1)
lim
Un卅(X)
lim
(x1严
9n
_(X-1)2
n—sc
Un(x)
n^c
/八2n
(x—1)
9
Un1(X)二
9n
9n1
(X-1)2
9
:
:
:
1解得,
-2X:
4,于是收敛区间是(-2,4)
12.微分方程欽3y』的通解是
14.设a=i+j+2k,则与a同方向的单位向量a0=.
1x
*15.交换二次积分I=MX.f(x,y)dy的次序得I=
解:
积分区域如图所示:
D:
八x—y,0曲乞1,于是
1X1訂
I=[dx[2f(X,y)dy=(dyff(x,y)dx
X
3.解答题:
本大题共13个小题,共90分,第16题〜第25题每小题6分,第26题〜第28题每小题10分,解答时应写出推理,演算步骤。
*16.计算
2
(arctanx)
dx
解:
dx
2
x(arctanx)1
dx
(arctanx)
dx
1d(1x)2
2+[(arctx)nd(arct)a)n
21x
1213
In1+x)十(arctxi)n+c
23
*17.设f(x)
limh_0
f(1h)f
(1)
h
解:
limf(1h^f
(1)
「°h
二f'
(1)
3
18.判定函数y的单调区间
3—x
19.求由方程yx2-j+t2dt=0所确定的隐函数y=y(x)的微分dy
ee
*20.设函数f(x)=lnx-(f(x)dx,求(f(x)dx
e
解:
设Af(x)dx,贝Uf(x)=lnx-A,两边求定积分得
ee
Af(x)dx(Inx-A)dx
=(xlnx—x—Ax):
=—Ae+A+1
21.
旳(_1)n
判定级数v—(」丿——
n壬#n2+Jn
的收敛性,若其收敛,指出是绝对收敛,还是条件收敛?
解得:
A=1,于是
e
1
22.设z二x2siny2xy3,求一一
^x^y
23.求微分方程y「3y「2y二xex的通解*24.将函数f(x)二arctan2x展开为麦克劳林级数
2乂
解:
f'(x)=(arct2» 1+4Xn=0 QO n2n12n =j(-1)2x n=0 f(x)-f(0)= XX: : 0f'(t)dt「0「(_1)n22n1x2n]dx n-0 oOx n2n1八2n. =2(—1)2气xd^Z(—1) nq0nq0 2n1n22n屮 x 2n1 oO? 2n卅 即f(x)=arctan2x=、(_1)n n^2n+1 2n1x d1 25.设一f(x2)=—,求f'(x) dxx 26.求函数z=寸1一x2 "y2在条件八2"之下的最值。 *27.求曲线y=&d2 的渐近线 解: (1);xjy*,: 3 x (x1)2 .曲线没有水平渐近线 3x lim (2)x* _lim=x_.1 2 (x1) 曲线有铅直渐近线X=-1 (3)xm/ x lim ~x—i: 2 (x1) lim—— 7((x1) 3-2x-x (x1)2 所以曲线有斜渐近线 y=x-2 *28.设区域为D: 1 y—2,-0,计算.•dxdy2 d_x-y 解: 积分区域如图所示 (阴影部分) d4「x2 dxdy 2 -y n■ 0吧 、2〒鼻=dr 4-r2 d(4-r2) 【试题答案】 1.令y=f(x)=x2—4x4=(x一2)2 =x—2二y二•x-y•2,反函数为y=2x,选B 2.应选C。 例: y=x在x=0处取得极小值,但该函数在x=0处不可导,而f'(0)不存在 3.直线显然过(0,0,0)点,方向向量为I=g,4,-3},x轴的正向方向向量为 v二「1,0,0? ,Iv=1040•(-3)0=0=l_v,故直线与x轴垂直,故应选A。 qQqQ 4.「anXn在点x=2处收敛,推得对-x。 •(-2,2),': a.x0绝对收敛,特别对 nn"0 □0QO Xo=-1有vanX0an(-1)n绝对收敛,故应选A。 n~0n~0 5.r23r^0特征根为r^-1,r2=—2,由此可见〉二-1(;e」=e(」)x=e*) 是特征根,于是可设y*=xAe»=Axe」,应选C。 6. lim=X'X1一Xlim/*11 x尹…(1*3 x2x22x e(1xe(1x)'(1x-2x)e /.y— 2x (x-1)e (1x2)2 (1x2)2 X2 8.解: F (2)(x)=(F (2)(x))'=(xetdt)^2xe 2 F(n)(x)=(F(nJ)(x))^(2xeX-ex)' =2ex24x2ex2-ex =4x2e"2e"-ex edxe2d(1lnx) 21lnx 11lnx1 (1x2)2 X2 X 「e dx 9.解一dX x山+1nx e2 =2一3-2=2(.3-1) 10.—¥2,ex1+x+y .: zy11 =22=dz(1八=—dx+—dy -y1x2y2(1,1)33 dz(i,1) .: z 玫(i, dx+竺 dy) y) jk…一 21=3「+j」—5k -11 1 11.平面的法向量为F==1 2 二0即3xy「5z1二0 平面的方程为3(^1)(y一1)_5(z-1) 12.解: p(x)=3,q(x)二e2x _p(x)dxp(x)dx 」(Jq(x)e」dx+c) =e_'dx(e2xe^Xdxc) 二e3(e5xdxc) .3x15x =e(—ec) 5 12xJ3x ece 5 (1)2n 13.解: 令Un(xH(x_) (x_1)2n2 9n1 lim Un卅(X) lim (x1严 9n n~买 Un(x) n—SC 9“ /八2n (x—1) (x-1)2 9 9n,Un1(x) 由(x~1): : : 1解得, 9 -2x: 4,于是收敛区间是(-2,4) 14. a=.121222 0_a_1.1.2. a廿&.6」J 15. 解: 积分区域如图所示: D: y、y,0^yE1,于是 16. 解: .x (arctanx) 1x2 dx x 1x2dx (arctanx) dx 1x 1d(1x2) 2 厂(arctx)nd(arctxi)n 21x 1213 =—ln1+x)+—(arctxi)n+c 23 17.解: [mJ1"⑴ rh 二f' (1) 1 ~x21 二ex(3)x厂2e x 22 18•解: 八3x(3—x) x3(3-x2)' /c2x2 (3-X) x2(9-x2) (3-x2)2 当-3: : : x: : : 3时,y、0,函数单调增加;当x: : : -3或x3时,y*0,函数单调减 少,故函数的单调递减区间为(-: : ,-3)(3,•: ■),单调递增区间为(-3,3) 19.解: 方程两边对x求导(注意y=y(x)是x的函数): y'x22xy-.1y2y'=0 解得 y'= 2xy 2xy dy二y'dxdx 7^7-x2 e 20.解: 设A=(f(x)dx,则f(x)=1nx-A,两边求定积分得 ee Af(x)dx(Inx-A)dx e =(xlnx—x—Ax)1=-Ae+A+1 解得: A=1,于是 e f(x)=lnx-1 e 21.解: 的收敛性 .n2n一(n1)2n1 oO 丁送Vn cdq —发散 oO COA 1—发散 (2)由于所给级数是交错级数且 <1>un=-―”= Jn2+n讥n+1)2+(n+1) lim— <2>n_.Un=0 由莱布尼兹判别法知,原级数收敛,且是条件收敛。 22.解: 三二2xsiny2y3 : 2z ex dL、.L、 Z23 s二丁(丁)=丁(2xsiry2+y3) xy: y: x: y =4xycosy23y223.先求方程y''3y'2^0的通解: 特征方程为r23r•2=0,特征根为=-1,r2=-2,于是齐次方程通解为 y=ckC2e2x,, (1) 方程中的f(x)二xex=xex,其中: =1不是特征根,可令 y*=(axb)ex 则y*'=(axab)ex,y*''=(ax2ab)ex 代入原方程并整理得 (6ax5a6b)ex二xex=6a=1, 5 36 15x/ y*=(1^36)e„( 2) 15 所求通解为y=y•y*乂代“c2e^x■(-x-一)ex 636 24.解: 200 f'(x)=(arctan2x)'2二2(-4x2)n 1+4x心 八口2计2n/11、 =Z(-1)2x(-$<^-) n卫22 xx■■ 2n1 n22n1 x f(x)-f(0)「°f'(t)dt=。 [\(_1)n22n1x2n]dxn=0 x: : =L(—1)n22n*|x2nd^Z(—1)nJ0nJ2n1 oO f(x)=arctan2x=、(_1)n n=0 2n1 2n1 2n1x 25.解: 因—f(x2^f'(x2)2x由—f(x2^-得 dxdxx 11 f'(x2)p,从而f'(x)- 2x2x 26.解: 把条件极值问题转化为一元函数的最值 z—x—; 当x=0时,函数取到最大值 J3 当x3时,函数取到最小值0 2 27.解: lim——_Jim—— (1)■x]: y=x[: 3 x (x1)2 .曲线没有水平渐近线 3x 2 (x1) lim (2)x^y _lim_xA‘1 二,曲线有铅直渐近线X--1 lim 2 X (x1)2 化: (y-ax) lim x—.( 3 x (x1)2 -x) x3-X3-2x2-X (X1)2 所以曲线有斜渐近线 y=x_2 28.解: 积分区域如图所示(阴影部分) dr dr dxdy ~22-x-y =_HJ4_r2f=兀(_J2) 2009上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题 考生类别(文、理) 选择题(每题3分,共15分) 1. lim x—;n.2x-1 A.0 B.-C.不存在 1 D.e" 2.两个无穷大的和一定是___D。 D.上述都不对 A.无穷大量B.常数C.没有极限 3.在抛物线y=x2上过D点的切线与抛物线上横坐标为%=1和 X2=3的两点连线平行。 A.(1,1)B.(3,9)C.(0,0)D.(2,4) 4.在下列函数中,在[-1,1]上满足罗尔定理条件的是C。 A.ex B.ln|x| C.1-x2 D. 1 1-x2 1 5.x=0是f(x)=xsin—的A。 x A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.震荡间断 点 八、、 二、填空题(每空3分,共15分) 2 1.(|x-1|dx=___1 2.f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的充分件 3.方程xy"+2x2y"+x3y4y"=sinx是三阶微分方程。 4.平行于向量m={6,7,6}的单位向量是J—,—,—>和 -J11111; 676 Ao 11,1111' 5.若直线y=x+b是抛物线y=x2在某点处的法线,则b= 二、计算题(每题6分,共36分) 2x In(1t)dt 1.lim— x01-cosx 2ln(12x)「22x/ 原式=limlim4 xt°sinxx 2. ln2,求dy 设y=xarcsin—-x2 3 3.设u二xf(x2y2,exsiny),且f(u,v)有二阶连续偏导数,求Uy和Uxy -U -: y
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