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长除法步骤
篇一:
长除法教案
多项式除以多项式——长除法
江红
教学目标
1、把握“长除法”的运算特征,能运用“长除法”进行多项式除以多项式的运算。
2、感受“长除法”在多项式除以多项式及因式分解中的作用。
教学重点和难点
1、多项式除以多项式的方法。
2、长除法的运用。
教学过程:
一、试一试:
请同学尝试解决一组计算问题。
1、计算:
(1)(x3?
3x2?
2x)?
2x
(2)(x3?
3x2?
2x)?
(x?
1)
(3)(x3?
3x2?
2x)?
(x?
1)
二、读一读:
1、阅读课本P65的拓展内容:
多项式除以多项式——长除法。
2、完成第一组计算问题。
三、议一议:
1、交流第一组计算问题的方法和结果。
2、交流想法和启示。
四、做一做:
计算:
(2x4?
3x3?
7x?
9)?
(x2?
2)
五、说一说:
1、
(1)因式分解6x4?
x3?
7x2?
x?
1,已知它有一个因式是2x+1.
(2)将上述多项式因式分解,已知它有两个因式分别是2x+1和x+1.
六、小结:
学习本节课的收获体会?
篇二:
长除法
3.长除法
根据Z变换的定义,X(z)是复变量z的幂级数,即
因此,如果X(z)是有理分式,则通过长除法把X(z)展开成z的幂级数后,所得级数的系数就是序列x[n]。
同样,利用长除法求逆变换时也必须考虑X(z)的收敛域。
当收敛域在极点外侧,也即X(z)对应的是右边序列时,由于X(z)是向z的负幂级数拓展,也就是说,X(z)的级数展开式将按z的降幂排列,因此,在进行长除时,X(z)的分子、分母必须按z的降幂排列相除。
同理,当收敛域在极点内侧,也即X(z)对应的是左边序列时,由于X(z)是向z的正幂级数拓展,也就是说,X(z)的级数展开式将按z的升幂排列,因此,在进行长除时,X(z)的分子、分母必须按z的升幂排列相除。
如果收敛域在两个相邻的极点之间,则X(z)对应的是双边序列,此时,必须根据具体的极点情况,将双边序列按照不同的收敛域分解为一个右边序列和一个左边序列,然后分别进行长除。
长除法
俗称「长除」,适用于正式除法、小数除法、多项式除法(即因式分解)等较重视计算过程和商数的除法,过程中兼用了乘法和减法。
长除法格式示意图:
商数
┌———————————————————————除数│被除数
最接近但小过或等于商数最大位或最高项与除数的积
减法————————————————————————以上两项之差
最接近但小过或等于商数次一位或次一项与除数的积
减法————————————————————————以上两项之差
最接近但小过或等于商数次二位或次二项与除数的积
减法————————————————————————……
减法————————————————————————余数
就是平时在草稿纸上笔算用的,先画一个“厂”字形的符号,再在里边写上被除数,左边写除数,再一步步求商的过程。
与短除法相对。
如9
————
2|19
18
———
1
篇三:
多项式除法
利用竖式进行多项式除法
例1
.计算
解:
将被除式与除式均按x降幂排列
∴原式=
。
例2.计算
解:
先将被除式与除式均按x的降幂(y的升幂)排列
原式=
∴原式=5x+y.
小结:
利用竖式进行多项式除法的步骤
(1)被除式和除式都要按同一字母降幂排列
(2)若被除式或除式中缺项,要补零(或留有空位)
(3)余式的次(来自:
WWw.:
长除法步骤)数应低于除式的次数。
例3.已知关于x的多项式A被
为7。
求这个多项式A。
解:
根据带余除法的关系式,
除所得的商式为2x-3,余式
篇四:
多项式长除法精讲精练
多项式长除法是代数中的一种算法,用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
是常见算数技巧长除法的一个推广版本。
它可以很容易地手算,因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
例计算
写成以下这种形式:
然后商和余数可以这样计算:
1.将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x)。
结果写在横线
之上(x3÷x=x2).
2.将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项),乘积写在分子前两项之下(x2·(x?
3)
=x3?
3x2).
3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积(注意减一个负项相当于加一个正项),结果写
在下面。
((x
3
?
12x2)?
(x3?
3x2)=?
12x2+3x2=?
9x2)然后,将分子的下一项“拿下来”。
4.重复前三步,只是现在用的是刚写作分子的那两项
5.
重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商,而剩下的(?
123)就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有x被替换为10的情形。
除法变换
使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式(经常很有用)。
考虑多项式P(x),D(x)((D)的次数<(P)的次数)。
然后,对某个商多项式Q(x)和余数多项式R(x)((R)的系数<(D)的系数),
这种变换叫做除法变换,是从算数等式
.[1]得到的。
应用:
多项式的因式分解
有时某个多项式的一或多个根已知,可能是使用rationalroottheorem得到的。
如果一个n次多项式P(x)的一个根r已知,那么P(x)可以使用多项式长除法因式分解为(x-r)Q(x)的形式,其中Q(x)是一个n-1次的多项式。
简单来说,Q(x)就是长除法的商,而又知
r是P(x)的一个根、余式必定为零。
相似地,如果不止一个根是已知的,比如已知r和s这两个,那么可以先从P(x)中除掉线性因子x-r得到Q(x),再从Q(x)中除掉x-s,以此类推。
或者可以一次性地除掉二次因子x2-(r+s)x+rs。
使用这种方法,有时超过四次的多项式的所有根都可以求得,虽然这并不总是可能的。
例如,如果rationalroottheorem可以用来求得一个五次方程的一个(比例)根,它就可以被除掉以得到一个四次商式;然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。
寻找多项式的切线
2一元多项式及整除性
下面主要讨论带余除法,最大公因式,互素的性质,因式分解,重根判定,求有理根的方法。
学习本章应掌握:
求最大公因式,求有理根的方法。
定义4设P是一个数域,
x是一个文字,形式表达式
anxn?
an?
1xn?
1?
?
?
a1x?
a0
(1)
其中
ai
是数域P中的数,
n是非负整数)
k
ax
称为数域P上的一元多项式,通常记为f(x)。
k称为k次项的系数。
1
f(x)?
x3?
5x
2例如:
是多项式
g(x)?
x3?
x2?
x?
1不是多项式,因为?
1不是非负整数。
定义5如果数域P上多项式f(x),g(x)同次项系数都相等,称f(x)与g(x)相等
记为:
f(x)=g(x)
ii
一个多项式里可以人员添上系数为0的项,约定1?
x?
x
定义6在
(1)中如果
an?
0
f(x)?
anxn?
?
?
a1x?
a0n,称为多项式的次数,记
为?
f(x),或次f(x)。
零多项式不定义次数。
下面给出多项式加法与乘法:
设定
f(x)?
?
aixg(x)?
?
bixi
i
i?
1
i?
1
nm
m?
nan?
0bm?
0
是数域P是的多项式。
规
n
f(x)?
g(x)?
?
(ai?
bi)xi
i?
1
。
其中bm?
1?
?
?
bn?
0f(x)?
g(x)?
?
cixi
i?
1m?
n
易验证多项式加法与乘法满足下列算律:
ck?
akb0?
ak?
1b1?
?
a0bk
10加法交换律:
f(x)?
g(x)?
g(x)?
f(x)
20加法结合律:
[f(x)?
g(x)]?
h(x)?
f(x)?
[g(x)?
h(x)]30乘法交换律40乘法结合律
50乘法对加法的分配律
关于多项式次数,我们有
定理2设f(x),f(x)?
0,是数域P上的两个多项式,f(x)?
0,g(x)?
0则
(1)当f(x)+g(x)?
0时
?
(f(x)+g(x))?
max{?
f(x),?
g(x)}
(2)当f(x)?
g(x)?
0时证明:
略。
明显地利用定理5不难证明
一个三位数1:
三个数相加为20。
2:
百位上的数字比十位上的数大5。
3:
个位上的数是十位上数的3倍,这个3位数是什么?
设十位数为x,百位数(x+5),各位3x。
相加为20,所以x+x+5+3x=20。
所以x=3,也就是839.
?
(f(x)?
g(x))?
?
f(x)?
?
g(x)
推论:
若f(x)g(x)?
f(x)h(x)f(x)?
0,则g(x)?
h(x)
第五讲多项式
1.(一、多项式的整除概念)2.(二、最大公因式)(本页)3.(三、多项式的因式分解)
4.(四、重因式五、多项式的函数)5.(六、复与实系数多项式的因式分解)6.(七、有理数域上的多项式)
如果多项式
的公因式.定义3设
(1)
(2)则称引理如果有等式
是与是
既是的因式,又是的因式,那么称为与
.如果与
上多项式满足以下条件:
的公因式;
的因式,
的任何公因式都是与
的一个最大公因式.
成立,那么
和
有相同的公因式.
由于在上述引理中,我们可得到次数比的次数小的.因此求
的最
的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式大公因式的问题.如此下去,这就是下面辗转相除法的思想.定理3数域
上任意两个多项式
与
与
一定有最大公因式,且除相差一个非零
与
的任意最中的多项式
常数倍外,大公因式
的最大公因式是唯一确定的,且
与
的一个组合,即有
都可以表示成
使得
当与不全为零时,其最大公因式
的形式,其中为
而与的任一
最大公因式必为上非零数.在这些最大公因式中
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