微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解.docx
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微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解
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微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解
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第9章
习题9-1
1.判定下列级数的收敛性:
(1)(a>0);
(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8).
解:
(1)该级数为等比级数,公比为,且,故当,即时,级数收敛,当即时,级数发散.
(2)
发散.
(3)是调和级数去掉前3项得到的级数,而调和级数发散,故原级数发散.
(4)
而,是公比分别为的收敛的等比级数,所以由数项级数的基本性质知收敛,即原级数收敛.
(5)
于是
故,所以级数发散.
(6)
不存在,从而级数发散.
(7)
级数发散.
(8)
,故级数发散.
2.判别下列级数的收敛性,若收敛则求其和:
(1);
(2)※;
(3);(4).
解:
(1)都收敛,且其和分别为1和,则收敛,且其和为1+=.
(2)
故级数收敛,且其和为.
(3),而,故级数发散.
(4),而,
故不存在,所以级数发散.
3※.设(Un>0)加括号后收敛,证明亦收敛.
证:
设加括号后级数收敛,其和为S.考虑原级数的部分和,并注意到,故存在,使
又显然对一切成立,于是,是单调递增且有上界的数列,因此,极限存在,即原级数亦收敛.
习题9-2
1.判定下列正项级数的收敛性:
(1);
(2);
(3);(4);
(5)(a>0);(6)(a,b>0);
(7)(a>0);(8);
(9);(10)※;
(11);(12);
(13)※;(14);
(15);(16).
解:
(1)因为而收敛,由比较判别法知级数收敛.
(2)因为,故原级数发散.
(3)因为,而发散,由比较判别法知,级数发散.
(4)因为,而是收敛的级数,由比较判别法知,级数收敛.
(5)因为
而当时,收敛,故收敛;
当时,=发散,故发散;
当时,故发散;
综上所述,当时,级数发散,当时,收敛.
(6)因为
而当时,收敛,故收敛;
当时,发散,故而由,,故也发散;
当时,故发散;
综上所述知,当时,级数发散;当b>1时,级数收敛.
(7)因为
而发散,故级数发散.
(8)因为
而收敛,故级数收敛.
(9)因为由达朗贝尔比值判别法知,级数发散.
(10)因为,由达朗贝尔比值判别法知,级数发散.
(11)因为
由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.
(12)因为,由达朗贝尔比值判别法知,级数收敛.
(13)因为
由
知
由达朗贝尔比值判别法知,级数收敛.
(14)因为,由柯西根值判别法知级数收敛.
(15)因为
而是收敛的等比级数,它的每项乘以常数后新得级数仍收敛,由比较判别法的极限形式知,级数收敛.
(16)因为而与(12)题类似地可证级数收敛,由比较判别法知级数收敛.
2.试在(0,+∞)内讨论x在什么区间取值时,下列级数收敛:
(1);
(2).
解:
(1)因为
由达朗贝尔比值判别法知,当时,原级数发散;
当时,原级数收敛;
而当时,原级数变为调,它是发散的.
综上所述,当时,级数收敛.
(2)因为,由达朗贝尔比值判别法知,当即时,原级数发散;
当即时,原级收敛.
而当即时,原级数变为,而由知发散,综上所述,当时,级数收敛.
习题9-3
1.判定下列级数是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛:
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7).
解:
(1)这是一个交错级数,,
由莱布尼茨判别法知.
又,由,及发散,知级数发散,所以级数条件收敛.
(2)因为,故
而收敛,故亦收敛,由比较判别法知收敛,所以级数绝对收敛.
(3)因为而级数收敛,由比较判别法知收敛,因此,级数绝对收敛.
(4)因为
而收敛,由比较判别法的极限形式知,级数收敛,从而级数绝对收敛.
(5)因为,而级数收敛的等比级数;由比值判别法,易知级数收敛,因而收敛,由比较判别法知级数收敛,所以原级数绝对收敛.
(6)当x为负整数时,级数显然无意义;当x不为负整数时,此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件,故它是收敛的,但因发散,故原级数当x不为负整数时仅为条件收敛.
(7)因为
由比值判别法知收敛(),从而由比较判别法知收敛,所以级数,绝对收敛.
2.讨论级数的收敛性(p>0).
解:
当时,由于收敛,故级数绝对收敛.
当时,由于,由莱布尼茨判别法知交错级数收敛,然而,当时,发散,故此时,级数条件收敛.
综上所述,当时,原级数条件收敛;当p>1时,原级数绝对收敛.
3※.设级数及都收敛,证明级数及也都收敛.
证:
因为
而由已知及都收敛,故收敛,从而收敛,由正项级数的比较判别法知也收敛,从而级数绝对收敛.又由
及,以及收敛,利用数项级数的基本性质知,收剑,亦即收敛.
习题9-4
1.指出下列幂级数的收敛区间:
(1)(0!
=1);
(2);
(3);(4).
(5);(6).
解:
(1)因为,所以收敛半径,幂级数的收敛区间为.
(2)因为,所以收敛半径.
当x=e时,级数,此时,因为是单调递增数列,且
类似地,可证当x=-e时,原级数也发散(可证),综上所述,级数的收敛区间为(-e,e).
(3)因为,所以收敛半径为r=2.
当时,级数是收敛的p一级数(p=2>1);
当x=-2时,级数是交错级数,它满足莱布尼茨判别法的条件,故它收敛.
综上所述,级数的收敛区间为[-2,2].
(4)此级数缺少偶次幂的项,不能直接运用定理2求收敛半径,改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.
令,则.
当时,即时,原级数绝对收敛.
当时,即时,级数发散,从而发散,当时,级数变为;当时,级数变为;它们都是交错级数,且满足莱布尼茨判别法的条件,故它们都收敛.
综上所述,级数的收敛区间为[-1,1].
(5)此级数为(x+2)的幂级数.
因为.
所以收敛半径,即时,也即时级数绝对收敛.当即或时,原级数发散.
当时,级数变为是收敛的交错级数,
当x=0时,级数变为调和级数,它是发散的.
综上所述,原级数的收敛区间为[-4,0).
(6)此级数(x-1)的幂级数
故收敛半径.
于是当即时,原级数绝对收敛.
当即或时,原级数发散.
当时,原级数变为是调和级数,发散.
当时,原级数变为,是收敛的交错级数.
综上所述,原级数的收敛区间为.
2.求下列幂级数的和函数:
(1);
(2);
(3);(4).
解:
(1)可求得所给幂级数的收敛半径r=1.
设,则
又当x=1时,原级数收敛,且在x=1处连续.
(2)所给级数的收敛半经r=1,设,当时,有
于是
又当时,原级数发散.
故
(3)可求所给级数的收敛半径为1.
令
令,则
所以;
所以且.
当时,级数为和,它们都收敛.且显然有.
故.
(4)可求得所给级数的收敛半径为r=1且时,级数发散,设,则
于是,即.
所以
3.求下列级数的和:
(1);
(2);
(3);(4).
解:
(1)考察幂级数,可求得其收敛半径,且当时,级数的通项,,因而,故当时,级数发散,故幂级数的收敛区间为(-1,1).
设,则
令,则.
再令,则.
故,从而有.
于是
取,则.
(2)考察幂级数,可求得收敛半径r=1,设
令,则.
即.
于是,从而
取则
(3)考察幂级数,可求得其级数半经为r=1,因为
令,则.
所以,于是
取,得
.
(4)考察幂级数,可求得其收敛半径r=1.
设
则.
又设则.
从而,
取,则
习题9-5
1.将下列函数展开成x的幂级数:
(1);
(2);(3);(4);(5).
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.将下列函数在指定点处展开成幂级数,并求其收敛区间:
(1),在x0=1;
(2)cosx,在x0=;
(3),在x0=1;(4),在x0=3.
解:
(1)因为,而
即).
所以.
收敛区间为:
(-1,3).
(2)
收敛区间为.
(3)
由且得,故收敛区间为(-1,3)
(4)因为
而
由得.
故收敛区间为(0,6).
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