旅游景点最短路径设计.docx

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旅游景点最短路径设计

景点旅游规划

摘要

 旅游路线的设计问题属于优化问题，是通过排列组合，离散程度比较等知识求最短路径的问题。

旅游路线设计的是否合理直接关系游客的旅游体验和景区的经济效益，所以我们需要通过数学建模科学的研究旅游路线的设计问题。

在本问题中景区共10个景点，其中1、3、6、9、10 五个景点为景区特色景点。

要求每个旅游套餐要有 4个景点，其中至少包括 2个特色景点。

又因景点1、6和景点9、10分别是同类景点，游览内容很相近，所以旅游套餐中的特色景点不能只是同类景点。

景区特色景点的客流容纳人数是其他景点的两倍。

针于问题一，找出4个景点（其中包含至少两个且不全只是同类的特色景点），将这 4个景点之间相连的路径长度求和即为这个旅游套餐的路径长度。

我们可用排列组合算出有多种景点组合，由于游览顺序取总行程最短的顺序，所以不存在因游览顺序不同而导致路径不同的情况。

通过邻接矩阵，用Matble编写程序计算出各种组合的路径，经过Excel排序筛选出6种符合题意且路径最短的 套餐。

    针对问题二，在问题一的基础上，可以用0-1规划以及 6个旅游套餐中所有景点的客流量的离散程度来刻画景点客流量的离散程度，离散程度是描述数据离散程度的量，离散程度越小各景点的客流量越均衡。

要使离散程度尽量小，首先 6个套餐应覆盖尽量多的景点，再由每种套餐的比例来约束离散程度，使得离散程度尽量小。

要说明的是，由于特色景点的客容量是普通景点的两倍，所以这里的离散程度在表达式上要进行简单处理，具体见模型建立。

关键词：

排列组合邻接矩阵0-1规划离散程度matlab

一、问题重述

某景区有10个景点，各景点的交通示意图如图1。

其中1，3，6，9，10五个景点为景区特色景点。

景区特色景点的客流容纳人数是其他景点的两倍。

在特色景点中，1和6都是海滨景点，9和10都是山区景点。

图1

为了合理规划景区的旅游，景区旅游经营者计划推出6种不同的旅游套餐，每种旅游套餐包括4个景点，其中至少2个特色景点。

由于景点1、6和景点9、10分别是同类景点，游览内容相近，景区规定，旅游套餐中的特色景点不能只是同类景点。

问题一：

按照上述旅游套餐选择的要求，找出6种路程最短的套餐。

问题二：

设计出6种不同旅游套餐，并计算出各种套餐的人数比例，使得景点的客流量基本均衡，且总行程尽可能短。

二．问题的分析

针对问题一：

找出6种路径最短的方案，每种方案都是四个景点，其中至少两个不重复的特色景点。

由于四个景点的顺序不影响游客的观赏情况，且路径的长短相同，所以把不同次序的四个相同景点的情况看做一种方案。

采用排列组合的方法算出约束条件不完全的情况，因为方案较少，采用列举法算出所有的可能，通过matlab软件计算出每种方案的路程，再比较路径的长短，求解出路径最短的六种方案。

针对问题二：

在第一问求解的所有符合要求的方案中，找出六种人数比例均衡且路径尽可能短的六种方案。

可以用六个旅游方案中所有景点的客流量的离散程度来刻画景点客流量的均衡程度，离散程度越小，各景点的客流量越均衡。

由于特色景点的客容量是普通景点的两倍，所以在计算离散程度时，表达式上要进行简单处理，具体见模型建立。

为使离散程度方尽量小，要六个方案应覆盖尽量多的景点，再由每种方案的比例来约束离散程度，最终得出六个最优方案。

三．模型假设与符号说明

模型假设

假设一：

所有旅客都按照设计的旅游方案进行游玩，且每经过一个景点都进入，不存在到而不玩的情况。

假设二：

每个景点接待游客的数目是很大的，可以同时接纳所有方案同时到达的旅客。

假设三：

不同次序的但景点相同的方案视为一个方案。

且按路程最短的道路计算。

符号说明

，i=1～10：

表示第i个景点

，j=1～10：

表示第j个景点

，i=1～10，j=1～10，（i≠j）：

第i个景点到第j个景点的距离

:

表示每种方案的总路程

:

表示客流量总人数

，k=a,b,c,d,e,f:

表示第k种方案占总人数的比例

，i=1～10：

第i个景点的客流量

：

景点客流量的离散程度

:

每个景点平均客流量

四．模型的建立与求解

问题一

要求每种旅游套餐包括4个景点，其中至少2个特色景点，由于景点1、6和景点9、10分别是同类景点，游览内容相近，景区规定，旅游套餐中的特色景点不能只是同类景点。

一共有10个景点，特色景点为5个。

在不考虑每个景点是否有通路时：

所有的方案有：

=135（种）

计算结果为135种，但由于不是每个景点都可以直接到达另外一个景点，所以可行的方案应小于135种。

根据图片给的道路信息，通过列举法计算所有可行的方案。

以经过1景点的可行方案为例。

列举法如图：

从每一个景点出发，计算所有的情况如下表：

景点

一

二

三

四

景点

一

二

三

四

3

4

5

6

2

3

8

9

3

2

4

6

6

7

8

9

6

5

2

3

5

4

3

10

5

6

7

9

3

10

8

4

6

4

8

10

7

9

8

3

9

7

6

4

7

8

10

3

2

3

8

10

5

2

3

10

6

7

8

10

6

4

3

10

3

4

6

7

4

3

8

9

3

8

4

6

2

4

3

10

3

4

5

1

4

3

2

1

9

8

4

6

3

10

8

9

10

8

9

7

7

4

3

10

3

8

7

6

8

3

2

1

3

4

7

9

1

2

3

10

3

2

5

1

根据给出的旅游景点路线图可以得到各景点之间的邻接矩阵，由于一些景点不能直接到达，假设为距离无限远，为了在进行矩阵运算时便以计算，把无限远距离用1000代替。

邻接矩阵如图所示：

0

31.5

1000

1000

19

1000

1000

1000

1000

1000

31.5

0

7.5

12.7

17

1000

1000

1000

1000

1000

1000

7.5

0

14.5

1000

1000

1000

17.6

1000

24.6

1000

12.7

14.5

0

6.8

10.8

16.8

11.2

1000

1000

19

17

1000

6.8

0

7.8

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

10.8

7.8

0

12.8

1000

1000

1000

1000

1000

1000

16.8

1000

12.8

0

12.6

11.8

1000

1000

1000

17.6

11.2

1000

1000

12.6

0

18.6

11.6

1000

1000

1000

1000

1000

1000

11.8

18.6

0

1000

1000

1000

24.6

1000

1000

1000

1000

11.6

1000

0

把方案与邻接矩阵代入matlab软件中运行出每种方案的路程，并从中得出六个最短路程的方案。

所有的方案

路程

3

4

5

6

29.1

3

2

4

6

31

6

5

2

3

32.3

5

6

7

9

32.4

6

4

8

10

33.6

9

7

6

4

35.4

2

3

8

10

36.7

6

7

8

10

37

3

4

6

7

38.1

3

8

4

6

39.6

3

4

5

1

40.3

9

8

4

6

40.6

10

8

9

7

42

3

8

7

6

43

3

4

7

9

43.1

3

2

5

1

43.5

2

3

8

9

43.7

6

7

8

9

44

5

4

3

10

45.9

3

10

8

4

47.4

7

9

8

3

48

7

8

10

3

48.8

5

2

3

10

49.1

6

4

3

10

49.9

4

3

8

9

50.7

2

4

3

10

51.8

4

3

2

1

53.5

3

10

8

9

54.8

7

4

3

10

55.9

8

3

2

1

56.6

1

2

3

10

63.6

有上图可以确定如下六中方案路程最短：

序号

旅游套餐

总路程

1

3→4→5→6

29.1

2

3→2→4→6

31

3

6→5→2→3

32.3

4

5→6→7→9

32.4

5

6→4→8→10

33.6

6

9→7→6→4

35.4

问题二

我们为了使各景点游客量均衡，通过不同的6种旅

游线路按比例组合，模型如下：

目标函数：

条件

或

每个景点接待游客的人数：

因为总游客数是k,每个游客要游览四个景点，所以每个景点平均接待游

客量：

为使所有景点客流量较均衡，所选的6个套餐及其比例应使所有景点接待游客量的离散程度尽量小，且考虑到特色景点游客的容纳量是普通景点的两倍：

通过软件计算出结果，选择最短的六条路径，得到最优的六种方案。

方案如图：

套餐景点

路程

套餐人数比例

5→6→7→9

32.4

3

9→7→8→10

36

2

6→7→8→10

37

2

1→5→4→3

40.3

4

6→4→8→9

40.6

3

1→2→3→10

63.6

4

五．模型结果的分析

问题一中，通过排列组合以及matlab软件的应用，计算出符合要求的多种方案的路程长短，通过排序，找出了六条最短的路径，符合要求。

问题二中，通过计算每个景点人流量的离散程度的方法，来保证客流量基本均衡，在客流量基本均衡的情况下，又选择了路径最短的方案，找出来最优的六个方案，满足题目的要求。

六．模型的推广与改进方向

本题在解决实际的问题中，计算最短路径设计方案，以及通过每个景点的游客量的离散程度来估计景点的人流量平衡问题，都有很强的移植性，可以应用在不同的优化问题中，对实际问题有较强的解决能力。

七．模型的优缺点

在本题的方案设计以及计算的过程中，运用了严谨的数学知识和一些数学方法，建立了简单的模型，对实际生活中的方案选择问题找出了比较合理的方案，对实际的问题有较大的参考意义。

但是，在问题一的计算中，只考虑了两个景点之间的路程长短，没有考虑现实生活中的其他因素，比如危险路段，河流等，都会影响路程的选择；在第二个问题中，没有考虑每个人游玩各个景点的时间是否相同等问题，使模型不够全面，所有要想选出更加合理的可行性方案，需要考虑更加的因素，再对方案作出合理的改进。

八.参考文献

[1]姜启源.数学模型（第三版）[M].北京：

高等教育出版社，1999.

[2]韩中庚.数学建模方法及其应用（第二版）[M].北京：

高等教育出版社，2009

[3]韩中庚，数学建模竞赛——获奖论文精选与点评，北京：

科学出版社，

[4]卓金武.MATLAB在数学建模中的应用（第一版）.北京航空航天大学出版社.2011.

[5]赵静但琦.数学与数学实验（第三版）.高等教育出版社.2008.

[6]胡守信李伯年.基于MATLAB的数学实验.科学出版社.2004.

附录

计算各方案路程长度：

functionf=f1（A,B）

[m,n]=size（B）;

fora=1:

m

d（a）=A（B（a,1）,B（a,2））+A（B（a,2）,B（a,3））+A（B（a,3）,B（a,4））;

B=[B;d（a）];

End

B

运行结果：

3

4

5

6

29.1

3

2

4

6

31

6

5

2

3

32.3

5

6

7

9

32.4

6

4

8

10

33.6

9

7

6

4

35.4

2

3

8

10

36.7

6

7

8

10

37

3

4

6

7

38.1

3

8

4

6

39.6

3

4

5

1

40.3

9

8

4

6

40.6

10

8

9

7

42

3

8

7

6

43

3

4

7

9

43.1

3

2

5

1

43.5

2

3

8

9

43.7

6

7

8

9

44

5

4

3

10

45.9

3

10

8

4

47.4

7

9

8

3

48

7

8

10

3

48.8

5

2

3

10

49.1

6

4

3

10

49.9

4

3

8

9

50.7

2

4

3

10

51.8

4

3

2

1

53.5

3

10

8

9

54.8

7

4

3

10

55.9

8

3

2

1

56.6

1

2

3

10

63.6

for（inti=0;i<10;i++）

{

chisu[i]=0;

}//六种套餐的人数

chisu[a.i]+=（double）aRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[a.j]+=（double）aRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[a.k]+=（double）aRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[a.l]+=（double）aRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[b.i]+=（double）bRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[b.j]+=（double）bRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[b.k]+=（double）bRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[b.l]+=（double）bRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[c.i]+=（double）cRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[c.j]+=（double）cRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[c.k]+=（double）cRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[c.l]+=（double）cRadio/1000.0*（double）PersonMun;;

chisu[d.i]+=（double）dRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[d.j]+=（double）dRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[d.k]+=（double）dRadio/1000.0*（double）PersonMun;chisu[d.l]+=（double）dRadio/1000.0*（double）PersonMun;chisu[e.i]+=（double）eRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[e.j]+=（double）eRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[e.k]+=（double）eRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[e.l]+=（double）eRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[f.i]+=（double）dRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[f.j]+=（double）dRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[f.k]+=（double）dRadio/1000.0*（double）PersonMun;

chisu[f.l]+=（double）dRadio/1000.0*（double）PersonMun;

intsum=0;

for（inti=0;i<10;i++）

{//总共过a景点的人数

sum+=chisu[i];}

doubleavaert=sum/10;

doublesum2=0;//实现的是离散程度的

for（inti=0;i<10;i++）

{

sum2+=（chisu[i]-avaert）*（chisu[i]-avaert）;

}

fangCha=sum2/10.0;